学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷02（浙江专用，浙教版九上全部：二次函数+概率+圆+相似三角形）

西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学口口□□□学□□口□□□ 口学口口口案 口口口口口（口口口口10口口口口口口3口口口口30口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口 口口口▣) 1 2 3 4 5 6 8 9 10 B C B B C C A C 口口▣口▣（口▣口▣6口▣▣▣▣▣3▣▣口▣18口） 11.9 12.25° . 3 14.27m 15.5+1 2 16.①③⑤ ▣口口口口（口▣口▣8口▣口▣口72口口口口口口口▣口口口口口口▣口口口口▣） 17.(8分)【详解】(1)解：依题意有， 解得：k=-3, ∴.k的值为-3；…(4分) (2)解：把k=-3代入函数解析式中得：y=-6x2+2x-1, 当x=1时，y=-6×12+2×1-1=-5. y的值为-5.…(4分) 18.(8分)【详解】证明：，△ABC是等边三角形， .∠C=∠A=60°， .∠ADE=∠C+∠CED=60°+∠CED,…(2分) 又.'∠ADE=∠EDF+∠ADF,∠EDF=60°， .∠ADE=60°+∠ADF, ·∠ADE=∠C+∠CED=60°+∠CED ∴.∠CED=∠ADF,…(2分) 1/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 在△CDE和△AFD中， ∠C=∠A ∠CED=∠ADFH …（3分) ∴△CDE一△AFD.…(1分) 19.(8分)【详解】(1)解：游戏方案不公平.…(2分) 开始 白 白2 红 蓝 个 个 白2红蓝白，红蓝白，白2蓝 白，白2红.…(2分) 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种，… (2分) .21 故小颖获胜的概率为4-，，小亮获胜的概率为126？ ,所以这个游戏不公平 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变.游戏就公平了.…(2分) 20.(8分)【详解】(1)解：如图，△A1BC1即为所求.…(4分) (2)解：如图，△A2B2C2即为所求， B 点B2的坐标为2，-6.…(4分) 21.(8分)【详解】(1)证明：，AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°，即AE⊥BC, 又.AB=AC, ∠CAE=∠BAE=LCAB,,(2分) 2 :∠CAB+∠DEB=180°，∠DEB+∠CED=180°， 219 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 :∠CED=∠CAB, .∠CED=2∠CAE;…(2分) (2)解：.∠DAE=∠EAB, ∴.BE=DE=15, ∴AB=AE2+BE=25, .AC=25. 连接BD,如图： ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°，即BD⊥AC,·(2分) SAABC= AG-BD-BGAE, BD=BC·AE Ac, ,'AB=AC,AE⊥BC, .BC=2BE=30 :BD=30×20=24, 25 ∴.CD=BC2-BD=18.…(2分) 22.(10分)【详解】(1)解：由图象可知，顶点C的坐标6,4. 设y=ax-62+4(a≠0)， 代入点A0,0,得0=a0-62+4, 1 解得Q=-g' 3/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 所以解标式为y=行义-6+4=司+手x3分 9 3 (2)①：y= 1x2+3x+16=-1x-62+5 20+5X+5=20 品抛物线y=3 ++的D65.1分) .CD=5-4=1m.…(2分) ②格E应根坐标=-2代入y=茹×+号x+台得 y=-x+2x+16=-x-22+3x-2+16=9 20 5 +5=-20× 5 551 则EG=9 …(2分) 当水面宽为10m时， 将x=1入y=一日+，得y=号 9 …(2分) 9、11 因为亏>9，所以点E在水平面上方. 23.(10分)【详解】(1)：∠A=120°，∠B=50°，∠C=a, .∠D=360°-120°-50°-a=190°-0， 若∠A=∠D-∠B,则120°=190°--50°，解得a=20°； 若∠A=∠B-∠D,则120°=50°-190°-a,解得a=260°（舍去）； 若∠D=∠A-∠C,则190°-Q=120°-a,无解，舍去： 若∠D=∠C-∠A,则190°-a=a-120°，解得a=155°； 若∠C=∠D-∠B,则a=190°-a-50°，解得a=70°； 若∠C=∠B-∠D,则a=50°-190°-a,无解，舍去； 若∠B=∠A-∠C,则50°=120°-a,解得a=70°： 若∠B=∠C-∠A,则50°=a-120°，解得a=170; 故答案是：20°或70°或155°或170°（写出一个即可）；…(3分) (2)证明：如图， 4/9 @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 B AE=DE, .∠A=∠ADE, ,∠BDE+∠ADE=180°， ∴.∠BDE+∠A=180°， ,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.∠BDE+∠A=∠A+∠B+∠C,…(2分) ∴.∠BDE=∠B+∠C, .∠B=∠BDE-∠C, .四边形DBCE为幸福四边形；…(1分) (3)①证明：连接DG, B G BF=FC, ∴.∠B=∠BCF, ,∠BCF=∠BDG, ∠B=∠BDG, ,四边形DBCE为幸福四边形， .∠B=∠BDE-LBCE, 而∠BDG=∠BDE-∠GDE, ∴.∠BCE=∠GDE, ,D、G、C、E四点共圆， .∠BCE+∠GDE=180°， ∴.∠BCE=∠GDE=90°， ∴.EG是⊙O的直径；…(2分) ②过E作EH⊥AB于点H, 5/9 @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ,∠B=∠BDG, ∴.DG=BG=7, ∠BCE=∠GDE=90°， ∴.∠A+∠B=90°，∠BDG+∠EDA=90°， ∵∠B=∠BDG .∠A=∠EDA, .DE=AE=1, ∴.在Rt△GDE中，由勾股定理得就=DE2+DG=5V2.…(2分) 24.(12分)【详解】(1)解：由题意可得， 1-b+c=0 9+3b+c=0 b=-2 解得， c=-31 .抛物线的解析式为：y=x2-2x-3;…（2分) (2)解：由(1)知抛物线的解析式为：y=x-2x-3=x-12-4, ∴D(1,-4) 当x=0时，y=-3, ∴.C(0,-3), 点E是点D关于x轴的对称点， .E(1,4), .直线y=mx+1过点A(-1,0),则-m+1=0, 解得，m=1, .直线AF:y=x+1,…(2分) 如图1，分别过点B,E作BG‖y轴，EH‖y轴，与AF交于点G,H, 6/9 @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 B S,=x,w小E阴S=x,x小BG D 图1 S.=EH S2 BG :过点B作BG‖y轴与直线AF交于点G, ∴.y=3+1=4, .G(3,4),BG=4, .E(1,4), .当x=1时，y=1+1=2, ∴.H(1,2),EH=2, :S=h-21 S2BG-421 1 的值是一个定值，这个定值为习 …(2分) (3)解：如图2，过点B作BP⊥AC于点P,交y轴于点K,作∠BTC=∠BMC,过点O作ON‖BT交 AC于点N, B x∴.∠ONC=∠BTC=∠BMC M 图2 .BT=BM,点P是TM的中点， :A(-1,0),C(0,-3),设直线AC的解析式为y=kx-3k≠0， 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .-k-3=0, k=-3, .直线AC:y=-3X-3,…(2分) .BP⊥AC,B(3,0 ∴.OB=3,OA=1.OC=3,∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OBK=90°， ∴.∠OCA=∠OBK,且∠AOC=∠KOB=90°， .△AOC△KOB,…(1分) 88% 即1、3 K031 解得，KO=1, .K0,-1, 设直线BK的解析式为y=f-1f≠0， .3f-1=0, 解得，1子 .直线BP:y=5X-1, y=-3x-3 联y=1 1 解得乙， 36 .B(3,0),D(1,-4),设直线BD的解析式为y=mx+nm≠0， :3m+n=0 m+n=-41 m=2 解得， n=-6 .直线BD:y=2X-6, 联立(， 解得就， M3,-24 5,-5 …(1分) :点P是TM的中点， 8/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ∴由中点坐标公式可得，P= Ty+My tMx,卫 2 3 24 ·3 T+ 56 =2,5 2 i=- 12 912 55 设直线BT的解析式为y=kx+b'k≠0， . k=- 1 2 解得， b=. -2 y=-x3 1 直线ON的表达式为：y=-号 联立就， X三 6 5 解得 y3 .N …(2分) 9192025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][√][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.AIIBIICIIDI 5.Al[BIICI[DI 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1AJIBIICIIDI 10.[AJIBIICIID] 3.1AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 4.A1[B1[CI[D] 81A]IB]ICI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12. 14. 15. 6 和脑口h体晒一上华山切：么k忙山阳宀从体声干效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共8个小邀，共儿分.胼合应与出义子况明，址明心罹叱演异步探） 17.(8分) 18.(8分) B D 请椿车题馆题酸城作售等，超超典黑形衣敌球馆等家效！ 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) E D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) E DA D F B G C B G C 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~4章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线的判断中，错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 4．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 6．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 7．如图，四边形是菱形，经过点A，C，D与相交于点E，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．二次函数的一次项系数是 ． 12．如图，已知为的直径，过点的弦，，则 ． 13．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 14．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    15．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 16．已知二次函数的图象如图，有下列个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （将你认为正确的结论序号都填出来） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 18．（8分）已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 19．（8分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 21．（8分）如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（10分）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 23．（10分）定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 24．（12分）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 12 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D A B 22.(10分) D C 4m 4 F A 12m B 12m B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分) DA F B B G C B G 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ :※￥孝易阳年☒弘的到项联母盖吊避‘易年☒易阴目圆号丑典 乙阁 阁 x \K (I)忆 1g￥嵩易佣海☒马的到狂毋盖甲避·易卦￥海☒暗易，目疆号丑巢 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~4章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项不符合题意； B、图形只能通过旋转变换得到，所以B选项不符合题意； C、图形可以通过上下翻折、左右翻折得到，也可以通过旋转变换得到，所以C选项符合题意； D、图形可以通过左右翻折得到，但不能通过旋转变换得到，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 则， 故选：B． 3．下列关于抛物线的判断中，错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【详解】解：A、抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，此选项不符合题意． C、对于抛物线，由于，当时，函数值y随x值的增大而减小，当时，函数值y随x值的增大而增大，则当当时，y随x的增大而减小或增大，此选项错误，符合题意； D、抛物线，，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为，，所以当时，，因而当时，说法正确，此选项不符合题意． 故选：C． 4．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 6．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 【答案】B 【详解】解：∵大矩形的长边为25， 则切割后的小矩形的短边长为5， 又∵大矩形的短边与小矩形的长边都为x， ∴由相似可得， 即，且， 解得 故选：B ． 7．如图，四边形是菱形，经过点A，C，D与相交于点E，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， 则， ∵点是线段的黄金分割点且， ∴ ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推，则线段的长度是． 故选：A． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴，， 的周长为，且是定值，所以只需最小； 如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，； ，，，，， ∴， 此时的周长为； 同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，， ，，，，， ∴， 此时△PMN的周长为； ，， ∴， ∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 12．如图，已知为的直径，过点的弦，，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 13．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 【答案】 【详解】解：所有的渐升数为123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个， 其中126，135，234能被9整除， 故所求概率为． 故答案为：． 14．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    【答案】27π 【详解】解：观察图可知， 图中有个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个扇形的圆心角． ∴    ∵，， ∴， ∵ ， ， ； 故答案为：． 15．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，即， ∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动， 如图，作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于点C， ∵O为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， 当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大， 在中，，，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 故答案为：． 16．已知二次函数的图象如图，有下列个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （将你认为正确的结论序号都填出来） 【答案】①③⑤ 【详解】解：由图可知开口向下，则， 与轴交于正半轴，则， ∵， ∴， 则，①正确； 则， ∵， ∴，②错误； ∵时，，对称轴是直线， ∴当时，， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误， ∵， ∴，⑤正确； 故答案为：①③⑤． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为；······（4分） （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为．······（4分） 18．（8分）已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴，······（2分） 又∵，， ∴， ∵， ∴，······（2分） 在和中， ，······（3分） ∴．······（1分） 19．（8分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【详解】（1）解：游戏方案不公平．······（2分） ······（2分） 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种，······（2分） 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了．······（2分） 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求．······（4分） （2）解：如图，即为所求， ∴点的坐标为．······（4分） 21．（8分）如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵， ∴，······（2分） ∵， ∵， ∴；······（2分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 连接，如图： ∵是的直径， ∴，即，······（2分） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．······（2分） 22．（10分）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【详解】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为．······（3分） （2）①∵ ∴抛物线的顶点，······（1分） ∴． ······（2分） ②将E点横坐标代入，得， 则，······（2分） 当水面宽为时， 将代入，得，······（2分） 因为，所以点E在水平面上方． 23．（10分）定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 【详解】（1）∵，，， ∴， 若，则，解得； 若，则，解得（舍去）； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，无解，舍去； 若，则，解得； 若，则，解得； 故答案是：或或或（写出一个即可）；······（3分） （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，······（2分） ∴， ∴， ∴四边形为幸福四边形；······（1分） （3）①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为幸福四边形， ∴， 而， ∴， ∵D、G、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴是的直径；······（2分） ②过E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得．······（2分） 24．（12分）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：；······（2分） （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， ∴， 当时，， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ， 直线过点，则， 解得，， 直线，······（2分） 如图1，分别过点，作轴，轴，与交于点，， ， ， ∵ 过点作轴与直线交于点， ∴， ，， ， ∴当时，， ，， ， 的值是一个定值，这个定值为；······（2分） （3）解：如图2，过点作于点，交轴于点，作，过点作交于点， ， ，点是的中点， ，，设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线，······（2分） ，， ∴，， ∴，且， ∴，······（1分） ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ，······（1分） ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式可得，， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， ， 解得，， ， 直线的表达式为：， 联立， 解得， ．······（2分） 12 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~4章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线的判断中，错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 4．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 6．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 7．如图，四边形是菱形，经过点A，C，D与相交于点E，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．二次函数的一次项系数是 ． 12．如图，已知为的直径，过点的弦，，则 ． 13．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 14．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    15．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 16．已知二次函数的图象如图，有下列个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （将你认为正确的结论序号都填出来） 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 18．（8分）已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 19．（8分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 21．（8分）如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（10分）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 23．（10分）定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． (1)已知，请直接写出一个α的值______，使四边形为幸福四边形； (2)如图1，中，D、E分别是边上的点，．求证：四边形为幸福四边形； (3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作，与边交于另一点F，与边交于点G，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，求的长． 24．（12分）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $