拓展专题01 巧用基向量法妙解立体几何题（期中复习讲义）（知识必备+5大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

拓展专题01 巧用基向量法妙解立体几何题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 共线、共面问题 能不建系，利用基向量法解决三点共线，四点共面问题 基础常考点，一般为解答题的某一小问 空间平行、垂直关系的证明 能不建系，利用基向量法证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系 期中必考点，涉及各种题型 空间角 能不建系，利用空间向量夹角公式求各类空间角，提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 期中必考点，涉及各种题型 空间距离 能不建系，利用空间向量的模长公式求解空间距离问题，提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 常考考点，常出现在解答题中 知识点01 基向量法 1、基向量法的概念 所谓基向量法，是指不依赖坐标系，用题中三个不共线的向量作为一组基向量(也称基底)，表示其他向量,再通过向量的运算去计算或证明，这种依赖基向量解题的方法便称为基向量法. 合理运用此法,往往会起到“峰回路转”的神奇效果,尤其是一些不便建系的问题. 2、基向量法的核心思路 核心思路是 “用已知表未知”：先从图形中选 3 个不共面的向量（如从同一点出发的棱向量）作为基向量，设为，再将所求的线线角、线面角、面面角或距离，转化为这 3 个基向量的运算（如数量积运算）.基向量法的优势很明显：不用花时间建系、找坐标，尤其适合图形不规则（如斜棱柱、非直棱锥）或不易建系的场景，能直接利用已知边长和夹角计算. 知识点02 基向量法的必备知识 1、共线向量定理及推论 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （2）共线向量定理的推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （3）拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 作用：（1）证明两直线平行：要证明两直线平行，只需证明它们的方向向量平行 （2）解决三点共线问题：如果存在实数λ，使得则平行且有公共点A，从而A,B,C三点共线. 2、共面向量定理及相关结论 （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （3）拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 作用：证明四点共面 3、空间向量的数量积及夹角、模长公式 (1)向量的数量积定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作； 即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. ·易错点:两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; （2）空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 作用：基向量法的核心公式，常用于平行、垂直的判定，求空间角和距离. 题型一 解决三点共线或四点共面问题 解｜题｜技｜巧 1.证明三点共线： 空间中三点共线的充要条件是，其中 2．证明四点共面：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【典例1-1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【典例1-2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【答案】(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可； （2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可． 【详解】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 【变式1-1如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【分析】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； （2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； 【详解】（1）由题意，，， 故 , , 故，由于有公共点A， 故A、、三点共线； （2）由题意，点是平行四边形的中心， 故 ， 故 ,因为有公共点D， 故、、三点共线． 【变式1-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算结合平行六面体的特点求解； （2）分别用向量表示和，根据两向量相等得到四点共线. 【详解】（1）在底面为菱形的平行六面体中， 易得 . （2）因为， , 所以， 所以共面. 题型二 空间平行、垂直的判定 解｜题｜技｜巧 利用基向量法处理垂直问题时,一般将线面、面面垂直问题最终转化为证线线垂直,再利用“⊥=0”来证明相应的方向向量垂直;而平行问题则往往最终转化为证线线平行,再利用共线向量定理证明相应的方向向量共线. 【典例2-1】如图，已知是正方形所在平面外一点，分别是上一点，且，求证：平面. 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理，利用线面平行的判定定理即可求解. 【详解】由题意知. 在上取点，使，于是， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【典例2-2】如图，在平行六面体中，分别是的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)平面 (2)若该平行六面体为一正方体，则⊥平面EFG. 【分析】用三个不共线的向量(如)作为基底表示题中的各向量,再由向量的运算证明出相关向量平行或垂直,得到线线平行或垂直,便可证得面面平行与线面垂直. 【详解】取一组基向量(基底)：. (1)因为，所以 ，所以（共线向量定理），所以. 因为，， 所以，由两平面平行的判定定理知，平面 (2) =. = =. =. 因为平行六面体为一正方体， 所以. ∴,.即，.∴EFG. 【变式2-1】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【分析】(1)选出向量的基底，利用向量共线基本定理，可判断两条直线平行． (2)根据向量的线性运算，可判断直线与直线的平行，进而得到平面与平面的平行． 【详解】证明把{}作为空间的一个基底. (1)因为,所以=2. 所以EG∥AC. (2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C. 因为,所以=2.所以FG∥AB1. 又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C, 所以FG∥平面AB1C. 又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C. 【变式2-2】（24-25高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 题型三 求空间角 解｜题｜技｜巧 基向量法求空间角的基本思路是：将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角、余角)，再构造基向量并借助向量的运算求出角来. 【典例3-1】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心. (1)求异面直线与BC的夹角; (2)求侧棱与底面所成角的正弦值. 【分析】 由于的长度和相互夹角都已知，所以可将这三个向量作为一组基向量，再考虑用转化思想求解本例，对于(1),可转化为求向量与的夹角;对于(2),作出在底面内的射影AO,则所求角即为向量与的夹角的余角. 【详解】设O 是在底面ABC内的射影，选作为基向量.由已知可得的两两间的夹角均为，设棱长均为，则 （1） . 所以,所以异面直线与BC的夹角为. (2)平面的法向量为, . 所以侧棱与底面所成角的正弦值=|cos|=. 【典例3-2】（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用向量的数量积可证，，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直. （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【详解】（1）由题意，. 又，，. 所以， . 所以，，又平面，， 所以直线平面. （2）因为， 且，所以； ，所以； 且， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 【变式3-1】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点. (1)求四边形的面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）方法一：过点作平面，垂足为，连接，再过点作于点，作于点，证明是的平分线，证明平面，得，所以,从而可计算面积； 方法二：令，，，用向量法证明，再计算面积； （2）在（1）方法二基础上由空间向量法计算异面直线所成的角． 【详解】（1）法一：过作平面，垂足为， 过作于，连，则， 作于，连，则， 又， ∴，， ∴，从而在平分线上， ∵是正三角形， ∴， 由，平面， 知平面， 平面， ∴， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴四边形的面积为； 法二：令，，，则，， ，， ， ∴， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴四边形的面积为；    （2）如图，连接， 由（1）方法二得， ，    所以， ， 所以， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 【变式3-2】（25-26高二上·浙江·开学考试）如图，在三棱锥中，且的中点分别为，且． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）法1，根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证；法二，根据给定条件，借助空间向量数量积，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （3）作出并确定二面角的平面角，再利用余弦定理求解. 【详解】（1）在中，是的中点，则，同理， 因此，而平面，平面，所以平面. （2）法一：由，，得，， 由勾股定理得，在中，由， 得，则，同理， 则，由，得， 则，即，又，得， 在中，，则， 于是，由平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 法二：由，，得， 由勾股定理得，在中，由， 得，由， 得 得，又平面，得平面， 又由面，所以平面平面. （3）连接，是的中点，得， 由，得，则的平面角为． 中，， 由（1）同理得，则， 所以二面角的余弦值. 题型四 求空间距离 解｜题｜技｜巧 两点间的距离常利用向量的模长公式求得,对于其他的空间距离,若能转化为点点距(即确定表示距离的垂线段的具体位置)，则也可考虑用基向量法求解. 【典例4-1】如图,已知线段AB在平面内,线段AC⊥,线段BD⊥,线段,∠,如果AB＝求C、D间的距离. 【分析】要求C、D间的距离，从空间向量角度考虑，就是求向量的模.由于线段AB、AC、BD的长度和相互夹角都已知，所以可把这三条线段所对应的三个向量作为一组基向量. 【解析】 选作为基向量.由AC⊥，可知AC⊥. 由可知, ， ∴= =.∴. 【典例4-2】（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，四棱柱中，.    (1)若四边形为菱形，. ①证明：平面； ②若四边形的面积为，证明：四棱柱的体积； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①先由菱形性质得，再通过全等证，利用等腰性质得， 结合证平面，进而得.然后在中根据边的关系得，由平行关系得，最后根据线面垂直判定得平面.   ②先根据平行且相等证四边形是平行四边形，得与关系.由平面，得点到面距离. 用四棱锥体积公式求体积，再根据等底等高及平行四边形性质得三棱锥体积关系，最后算出四棱柱体积.   （2）根据不共面，可以作为一组基底， 根据平面法向量的性质，法向量与平面内的向量垂直，据此列出方程组求解法向量. 然后，利用点到平面的距离公式（其中为点，为平面的法向量，为点到平面上一点的向量）计算点到平面的距离. 【详解】（1）①因为四边形为菱形，所以， 因为， 所以，所以.    又是的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，因为，从而，所以. 又，所以， 又平面，所以平面. ②连接，因为，所以四边形为平行四边形，从而与互相平分， 又平面，所以点到平面的距离为， 从而四棱锥的体积， 因为三棱锥与三棱锥等底等高，所以； 又四边形为平行四边形，所以，从而， 所以，所以四棱柱的体积 （2）解：因， 所以， 因为不共面，以作为一组基底， 设平面的一个法向量为，则    即 化简，得令，解得，所以， 所以， ， 设点到平面的距离为，则. 【变式4-1】（25-26高二上·海南·阶段练习）如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，.    (1)求的长度； (2)求证：平面. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【详解】（1）设，，， 由于四边形为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 因为，计算： ， 所以， 又因为，、平面． 所以平面. 【变式4-2】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 题型五 解决新定义问题 解｜题｜技｜巧 对于立体几何中的一些新定义问题，往往也构建基向量，利用向量的运算转化求解. 【典例5】（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，几何意义为以向量构成的平行六面体的体积； (3). 【分析】（1）利用数量积的定义式以及同角三角函数的平方式，结合题意，可得答案； （2）根据叉乘积的定义以及点面距的向量公式，结合平行六面体的体积公式，可得答案； （3）由（2）可得向量运算的几何意义，求得三棱锥的体积，根据图象以及（1）的等式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）左边由定义可得：， 右边左边． 故等式得证. （2）设，由定义可得底面的面积为：， 又因为同时与垂直的向量，故为底面的法向量， 则平行六面体的体高为：， 所以平行六面体的体积为：， 又因，故点在底面的投影为的重心，易得， 所以． 所以，，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积． （3）如图，设正四面体的棱长为，其中 设，且平面与交于，与交于， 故有，又由（2）可得： ， ， 同理， 由（1）可得：， 所以， ， 所以，即． 【变式5】（24-25高二上·上海崇明·期中）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 【答案】(1) (2)、、线性无关 【分析】（1）用表述，结合向量垂直的数量积形式可求线段的长； （2）设，利用基底法可求，故可判断它们线性无关. 【详解】（1）由题设可得， ， 故， 整理得到，故. （2）令， 则， 整理得到， 故，解得， 故、、线性无关. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则线段的长为（    ） A．16 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由题可知：是棱长都为2的直平行六面体，则，且， 由，所以两边平方可得： 所以，则. 故选：C 2．(多选)（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因为， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 3．（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体，是的中点，是直线上的动点，则以下判断中正确的是（    ） A．直线和恒为异面直线 B．直线上存在点，使得 C．直线上存在点，使得 D．直线上存在点，使得与相交 【答案】CD 【分析】当点与点重合时，易得A错误，D正确，设，可得，则，得出，，，四点共面即可判断B；设设正四面体的棱长为1，，然后由求解判断C. 【详解】 当点与点重合时，和相交于点，故A错误，D正确； 假设，可得，即， 可得，即，，，四点共面， 则与已知条件中的正四面体矛盾，故B错误； 若不妨设正四面体的棱长为1，设， 因为，则， 即， 解得，所以C正确． 故选：CD. 4．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 5．如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，.用向量法求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析. 【分析】根据题意得出，利用空间向量共线定理证明即可. 【详解】证明：连接. 点E，H分别是边，的中点，且，， ， 且. 又不在上，四边形是梯形. 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）． （2）； 则， 又有公共起点，，，三点共线．    7．（21-22高二下·江西南昌·期中）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，. (1)求证：四点共面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算可得,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面.（2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行. 【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴， ∵， ∴、、、四点共面； （2）∵，∴ 又因为平面,平面,所以平面 又∵，∴， 平面,平面,平面， 又，平面 所以，平面平面. 8．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： (1)的长； (2)直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，连接，设，，， 依题意， 而， ， 所以. （2）连接，， 所以 ， 又，， 所以， 故直线和所成角的余弦值为. 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，四棱锥中，四边形为菱形，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【详解】（1）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，且，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以. （2）过作，垂足为，可知， 在中，由余弦定理可得， 则， 过作，垂足为，则， 可得， 因为， 则， 即，解得， 则， 可得， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 10．（25-26高二上·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 11．（多选）（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）边长为1的正方体中，向量，则（    ） A．若，则存在点，有 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则三棱锥的体积为定值 【答案】BC 【详解】 如图所示： 已知， 当时，即， 解得，由，所以不满足条件，不存在点使得，所以A错误； 当时，，， ，所以，所以B正确； 由题意知， 所以， 由不等式可知， 因为，所以，所以； 由均值不等式可知， 所以，所以C正确； 当时，点与三点共面，即面， 由正方体的性质可知， 所以面面，可得三棱锥的体积为定值； 即，正方体棱长为1，则，所以D错误； 故选：BC. 12．(多选)（25-26高三上·安徽·开学考试）在平行六面体中，各棱长均为2，．则下列命题中正确的是（   ） A．不是空间的一个基底 B． C． D．四边形的面积为2 【答案】AC 【分析】由基底定义可判断A；由结合向量数量积运算率计算可判断B；由线面垂直判断定理可得平面，由线面垂直性质及可得，可判断C；由线面垂直性质可得，进而可得四边形是正方形，计算可判断D. 【详解】对于A，由，所以向量，，共面， 所以不是空间的一个基底，故A正确； 对于B， ， 所以，故B错误； 对于C，连接交于点，连接，，，如图所示： 由题意可得四边形为菱形，， 所以，， 由且平面，可得平面， 由于，平面，所以，故C正确． 对于D，因为平面，平面，所以， 又，所以，所以四边形是正方形， 又因为边长为2，故四边形的面积为4，故D错误． 故选：AC． 13．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： (1)的长； (2)直线和所成角的余弦值； (3)平行六面体的体积． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）令，，， ，，，， 所以，，， 则， 所以， 所以； （2），则， 设直线和所成角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为； （3）过作平面，垂足为， 设，所以， 由得，即， 所以，解得， 由得，即， 所以，解得， 所以， 所以平行六面体的高为． 所以平行六面体的体积． 14．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 【分析】(1)选择为基底将表示出来，从而证明，（2）利用数量积的定义求向量的模，从而求的长， （3）利用结合使用作为基底求出直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1），， 故，故； （2）, 故 ； （3）由，，， 故， 又， 故, 又平面，且, 故平面，即是平面的法向量， 令直线与平面所成角为， 则， 又， 故 ， 故 ， 即. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故，而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故，而，故， 而平面，平面，故，故. （2） 因为为的重心，连接并延长交与，连接，则， 故，故， 故， 而，，又平面，平面，故， 故，故. 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，即， 所以 （2）因为，且， 所以， 配方得：， 即， 故，即， 所以的最大值为. （3）解法一：， ， 则，即， ， 即 ， ， 令 ， . 解法二：因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以直线和的所成角为， 当点和点重合时，最小为，即最大为1； 当点和点重合时，最大，即最小， ， 此时. 所以. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 17．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知平行六面体，底面是边长为1的正方形，，，为的中点，与平面相交于点. (1)求证：平面； (2)求线段的长； (3)求与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 【详解】（1）因为， 其中，，，， 所以，所以，， 因为， 其中，，，， 所以，所以，， ，平面， 所以平面. （2）， 所以，，， 设， 即， 因为四点共面，所以，解得， 因此，即， 故. （3）解法一：因为平面，所以点到平面的距离为， 又平面，所以点到平面的距离也为， 因为为的中点，所以点到平面的距离， ， 即，所以. 解法二：设与底面所成角为， 设在平面上的投影向量为，， 可得， 由平面，平面，得， 由,得， 解得， 由平面，平面，得， 由,得， 解得， 故， ， 则，， ， 则，， ， 故. 18．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2);(3) 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 设，则，， 在中，， 又，即，解得或（舍去）， 所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接， 底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点，所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为. （3）依题意，，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得， 连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 44 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题01 巧用基向量法妙解立体几何题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 共线、共面问题 能不建系，利用基向量法解决三点共线，四点共面问题 基础常考点，一般为解答题的某一小问 空间平行、垂直关系的证明 能不建系，利用基向量法证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系 期中必考点，涉及各种题型 空间角 能不建系，利用空间向量夹角公式求各类空间角，提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 期中必考点，涉及各种题型 空间距离 能不建系，利用空间向量的模长公式求解空间距离问题，提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 常考考点，常出现在解答题中 知识点01 基向量法 1、基向量法的概念 所谓基向量法，是指不依赖坐标系，用题中三个不共线的向量作为一组基向量(也称基底)，表示其他向量,再通过向量的运算去计算或证明，这种依赖基向量解题的方法便称为基向量法. 合理运用此法,往往会起到“峰回路转”的神奇效果,尤其是一些不便建系的问题. 2、基向量法的核心思路 核心思路是 “用已知表未知”：先从图形中选 3 个不共面的向量（如从同一点出发的棱向量）作为基向量，设为，再将所求的线线角、线面角、面面角或距离，转化为这 3 个基向量的运算（如数量积运算）.基向量法的优势很明显：不用花时间建系、找坐标，尤其适合图形不规则（如斜棱柱、非直棱锥）或不易建系的场景，能直接利用已知边长和夹角计算. 知识点02 基向量法的必备知识 1、共线向量定理及推论 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （2）共线向量定理的推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （3）拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 作用：（1）证明两直线平行：要证明两直线平行，只需证明它们的方向向量平行 （2）解决三点共线问题：如果存在实数λ，使得则平行且有公共点A，从而A,B,C三点共线. 2、共面向量定理及相关结论 （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （3）拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 作用：证明四点共面 3、空间向量的数量积及夹角、模长公式 (1)向量的数量积定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作； 即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. ·易错点:两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; （2）空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 作用：基向量法的核心公式，常用于平行、垂直的判定，求空间角和距离. 题型一 解决三点共线或四点共面问题 解｜题｜技｜巧 1.证明三点共线： 空间中三点共线的充要条件是，其中 2．证明四点共面：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【典例1-1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【典例1-2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【变式1-1如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【变式1-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面. 题型二 空间平行、垂直的判定 解｜题｜技｜巧 利用基向量法处理垂直问题时,一般将线面、面面垂直问题最终转化为证线线垂直,再利用“⊥=0”来证明相应的方向向量垂直;而平行问题则往往最终转化为证线线平行,再利用共线向量定理证明相应的方向向量共线. 【典例2-1】如图，已知是正方形所在平面外一点，分别是上一点，且，求证：平面. 【典例2-2】如图，在平行六面体中，分别是的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)平面 (2)若该平行六面体为一正方体，则⊥平面EFG. 【变式2-1】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【变式2-2】（24-25高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 题型三 求空间角 解｜题｜技｜巧 基向量法求空间角的基本思路是：将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角、余角)，再构造基向量并借助向量的运算求出角来. 【典例3-1】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心. (1)求异面直线与BC的夹角; (2)求侧棱与底面所成角的正弦值. 【典例3-2】（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值. 【变式3-1】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点. (1)求四边形的面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式3-2】（25-26高二上·浙江·开学考试）如图，在三棱锥中，且的中点分别为，且． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值． 题型四 求空间距离 解｜题｜技｜巧 两点间的距离常利用向量的模长公式求得,对于其他的空间距离,若能转化为点点距(即确定表示距离的垂线段的具体位置)，则也可考虑用基向量法求解. 【典例4-1】如图,已知线段AB在平面内,线段AC⊥,线段BD⊥,线段,∠,如果AB＝求C、D间的距离. 【典例4-2】（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，四棱柱中，.    (1)若四边形为菱形，. ①证明：平面； ②若四边形的面积为，证明：四棱柱的体积； (2)若，求点到平面的距离. 【变式4-1】（25-26高二上·海南·阶段练习）如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，.    (1)求的长度； (2)求证：平面. 【变式4-2】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 题型五 解决新定义问题 解｜题｜技｜巧 对于立体几何中的一些新定义问题，往往也构建基向量，利用向量的运算转化求解. 【典例5】（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 【变式5】（24-25高二上·上海崇明·期中）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则线段的长为（    ） A．16 B． C．4 D． 2．(多选)（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 3．（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体，是的中点，是直线上的动点，则以下判断中正确的是（    ） A．直线和恒为异面直线 B．直线上存在点，使得 C．直线上存在点，使得 D．直线上存在点，使得与相交 4．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 5．如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，.用向量法求证：四边形是梯形. 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 7．（21-22高二下·江西南昌·期中）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，. (1)求证：四点共面； (2)平面平面. 8．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： (1)的长； (2)直线和所成角的余弦值. 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，四棱锥中，四边形为菱形，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 10．（25-26高二上·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）边长为1的正方体中，向量，则（    ） A．若，则存在点，有 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则三棱锥的体积为定值 12．(多选)（25-26高三上·安徽·开学考试）在平行六面体中，各棱长均为2，．则下列命题中正确的是（   ） A．不是空间的一个基底 B． C． D．四边形的面积为2 13．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求： (1)的长； (2)直线和所成角的余弦值； (3)平行六面体的体积． 14．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， 侧棱的长为2，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，.求： (1)证明：； (2)的长； (3)直线与平面所成角的余弦值. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 17．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知平行六面体，底面是边长为1的正方形，，，为的中点，与平面相交于点. (1)求证：平面； (2)求线段的长； (3)求与底面所成角的余弦值. 18．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $