第二十四章 圆 冲刺学案（知识体系+考情分析+知识点精讲+解题方法技巧+真题精炼） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

参考答案及解析 1.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关 键. 由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理解答即可. 【详解】解：.OC⊥AB,AB=8, 、4D=。AB=x8=4, 2 又.OA=OC=5, .在Rt△OAD中，OD=VOA2-AD2=V52-42=3, 故选：A. 2.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与圆锥相关计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与 圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长=90π×5_5。 1802， 5 5 :.该圆锥的底面圆的半径为二π÷2π= 2 故选：A 3.【答案】B 【解析】 第1页共26页 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对 等角以及三角形内角和定理可得∠BAC=40°，根据同弧所对的圆周角相等可得 ∠BDC=∠BAC=40°，进而根据BD为⊙O的直径，得出∠BCD=90°，进而得出 ∠CBD=50°即可求解. 【详解】解：：AB=AC,∠ACB=70°， ∴.∠ABC=∠ACB=70°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°， .BC BC, ∴.∠BDC=∠BAC=40°， BD为⊙O直径， ∴.∠BCD=90°， ∴.∠CBD=90°-∠BDC-90°-40°=50° 故选：B 4.【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接AC、BC,由AB为⊙O的直径可得 ∠ACB=90°，进而由AC=BC得∠CAB=∠CBA=45°，再根据圆周角定理即可 求解，掌握圆周角定理是解题的关键. 【详解】解：连接AC、BC, D 0 夕 第2页共26页 .AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA=45°， ∴.∠D=∠CBA=45°， 故选：B. 5.【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知 识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰ABC的外接圆半径为5， 由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3;当⊙D与⊙O相交时，圆心距需 满足条件5-r<OD<5+r,代入数值求解r的范围，进而确定选项. 【详解】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E, AB=AC,D为BC中点， .BD=DC=4,OD⊥BC; ,锐角三角形ABC中，AB=AC, ∴.外接圆心O在AD上， 连接OB,由勾股定理得：0D=V0B2-BD2=3; 第3页共26页 0 设以D为圆心的圆的半径为r,⊙D,⊙O相交应满足：5-r<OD<5+r, 即5-<3<5+r,解得：2<r<8; 在此范围的半径只有选项B; 故选：B, 6.【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到 CD?AB=AD,进而得到∠DAC=∠ACD,三角形的外角得到∠CDE的度数， 作图可知CD=CE,等边对等角求出∠DCE的度数，再根据弧长公式进行计算 即可. 【详解】解：，Rt△ABC,CD是斜边AB上的中线，AB=2, SCD=AB=AD=1①) ∴.∠DAC=∠ACD=35°， ∴.∠CDE=∠DAC+∠ACD=70°， 由作图可知CD=CE, ∴.∠CDE=∠CED=70°， .∴.∠DCE=180°-2×70°=40°， 第4页共26页 ∴DE的长为40rx1=2r 180 故选B. 7.【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点， 掌握数形结合思想成为解题的关键， 如图：连接AB、DC相交于O,由正方形内切圆的半径是2， AC=BC=4,OA=OB,再运用勾股定理可得AB=22,则 01=0B=4B=2,最后根据圆的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：连接AB、DC相交于O, ·正方形的内切圆的半径是2， ∴.AC=BC=4,OA=OB, 4B=aC+BC-F+=25,0A=08=4B=5, 、O 图中阴影部分的面积是π2W2)-π22=4π. 故选D 8.【答案】D 【解析】 第5页共26页 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形 的性质，先画图，连接OA,OB,求解∠AOB=360°-2×90°-80°=100°，再 根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接OA,OB, B .PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点， ∴.∠PAO=90°=∠PBO, ∠P=80°， ∴.∠AOB=360°-2×90°-80°=100°， ∠C=∠A0B=50°，∠C'=180°-50°=130°， 故选：D 9.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三 角形的性质得∠4BC=∠ACB=45°，AB=AC=5BC=22,进而由 2 S阴影=2(S形BcD-S。4B)解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键。 【详解】解：，'∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=45°， .BC=4, 第6页共26页 AB=4C-8C=2 2 ∴.S阴影=2(S形BcD-SABC)=2 45π×4-x22×22 3602 =4π-8， 故选：D. 10.【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径 之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心 的距离为d,圆的半径为r,若点在圆外，则dr时，当点在圆上时，则d=r 时；当点在圆内时，则d<r. 【详解】解：，点P在⊙O上， ∴.点P到圆心0的距离为5cm, 故答案为：5. 11.【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性 质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键， 先由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°，再由等边对等角以及三角形 内角和定理即可求解 【详解】解：：∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°， .∴.∠BOC=2∠BAC=80°， .0B=0C, 第7页共26页 ∠0BC=∠0CB=180°-80 =50°， 故答案为：50. 12.【答案】π 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式 计算即可. 【详解】解：·ABC是等边三角形， .∴.∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，BC=AC=AB=1 .AB=BC=Ac=60mx1_1。 18031 ∴.这个等宽曲线的周长为。π×3=π. 故答案为：π 13. 【答案】君 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接OB, 证明四边形OABC为菱形，易得AOB为等边三角形， 1 SAoB=S。ABc=)S菱形OABc,得到∠AOB=60°，根据阴影部分的面积等于弓形 2 AB的面积加上ABC的面积，即为扇形OAB的面积，进行求解即可. 详解】解：连接OB,交AC于点D,则：0A=0B=1, 、D B 第8页共26页 .四边形OABC为平行四边形，OA=OC, ∴.四边形OABC为菱形， ..OA=AB=OB,S.AOB=S.ABC= S菱形0ABC’ ∴.AOB为等边三角形， ∴.∠AOB=60°， .AC=2AD=5, =60元x12= ·.阴影部分的面积=S形04B-S,081+S.46c=S形01B=360 6 故答案为： 6 14.【答案】π 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得 ∠BOC=90°，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答， 【详解】解：连接BO,CO,如图所示： :∠BAC=45°，BC=BC, ∴.∠BOC=90°， .劣弧BC= 90°×π×2 =， 180° 第9页共26页 故答案为：兀. 15.【答案】36°或108° 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上 时，如∠ABC,弦为AB,BC时，此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角，进 行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即⊙O交∠AFC的两边，截取的两条弦 为AE,CD时，进行求解即可. 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如⊙O交∠ABC的两边，截取 的两条弦为AB,BC,此时∠ABC恰好是正五边形的一个内角， E D ·∠ABC=5-2x1800 =108°； 5 当角的顶点在圆外部，即⊙O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE,CD时， 则：∠AED=∠CDE=5-2)×180° =108°， 5 ∴.∠FED=∠FDE=180°-108°=72°， ∴.∠F=180°-2×72°=36°： 综上：这个角的大小是36°或108°； 故答案为：36°或108°. 第10页共26页 第二十四章 圆 一、 圆知识体系 2 二、 中考考情分析 3  （一）高频考点 3  （二）命题趋势 4  （三）分值分析 5  （四）考生备考建议 6 三、 知识点精讲 7  （一）圆的基本概念 7  （二）圆的性质 8  （三）点、直线与圆的位置关系 10  （四）圆的有关计算 12  （五）正多边形和圆 14 四、 易错知识点 14  （一）圆的概念理解错误 14  （二）垂径定理应用错误 15  （三）圆心角与圆周角关系混淆 15  （四）切线的性质与判定应用错误 15  （五）圆的有关计算错误 16 五、 解题方法技巧 16  （一）圆的性质应用技巧 16  （二）切线的证明与计算技巧 18  （三）圆的有关计算技巧 21  （四）圆与几何图形综合题解题技巧 22 六、 真题精练 25 圆知识体系 中考考情分析 · （一）高频考点 圆的基本概念与性质：★★★★☆ 近 3 年全国中考覆盖率达 92% 以上，常以选择题、填空题形式出现，占分 3-4 分。主要考查圆的定义、弦、弧、圆心角、圆周角等概念，以及垂径定理、圆心角与圆周角的关系等性质的简单应用。2024-2025 年出现结合几何图形（如三角形、四边形）考查圆性质的题目，注重对概念辨析和基础性质应用能力的考查。 点、直线与圆的位置关系：★★★★★ 近 3 年中考覆盖率达 95%，题型多样，选择、填空、解答题均有涉及，占分 5-8 分。主要考查点与圆位置关系的判断、直线与圆位置关系的判定（特别是切线的判定与性质），切线长定理的应用等。2025 年部分地区中考出现结合动态几何（如点的运动、直线的旋转）考查直线与圆位置关系的题目，难度有所提升。 圆的有关计算：★★★★★ 近 3 年中考覆盖率达 100%，常以选择题、填空题或解答题的某一小题形式出现，占分 4-8 分。主要考查弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积的计算，以及正多边形与圆相关量（如边长、边心距、面积）的计算。2024-2025 年出现结合实际生活场景（如钟表、扇面、圆锥形零件）考查圆的计算问题，强调数学知识的实用性。 圆与几何图形的综合：★★★★★ 近 3 年中考覆盖率达 90%，多以解答题形式出现，占分 8-12 分。主要考查圆与三角形（如等腰三角形、直角三角形）、四边形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合应用，如利用圆的性质证明线段相等、角度相等，或结合几何图形的性质求圆的半径、线段长度、图形面积等。2025 年中考出现 “圆 + 三角函数”“圆 + 相似三角形” 的综合题，对学生的综合分析能力要求更高。 圆的实际应用：★★★★☆ 近 3 年中考占比约 75%，常以解答题或应用题形式出现，占分 6-10 分。主要涉及确定圆形物体的半径、计算弧形建筑的长度或面积、设计圆形图案等实际问题，要求学生能从实际问题中抽象出圆的模型，并利用圆的知识解决问题。2024-2025 年中考中，实际应用题目背景更加贴近生活和科技领域，如卫星信号覆盖范围、圆形轨道运动等，对学生的建模能力和阅读理解能力要求更高。 · （二）命题趋势 0. 综合性持续增强 单一考查圆某个知识点的题目逐渐减少，“圆 + 几何图形”“圆 + 函数”“圆 + 三角函数” 的综合题成为主流。例如，利用圆的性质结合三角形相似求线段比例；结合二次函数图象与圆的位置关系求参数取值范围；利用三角函数计算圆内接三角形的边长或角度等。2025 年部分地区中考出现 “圆 + 动态几何 + 最值问题” 的综合题，进一步提高了试题的难度和综合性。 0. 注重实际应用与建模能力 中考命题越来越注重将圆的知识与实际生活、生产实践相结合，通过设置贴近生活的实际问题情境，考查学生将实际问题转化为数学问题，建立圆的模型并解决问题的能力。题目背景从传统的建筑、机械零件向更广泛的领域拓展，如航空航天、环境保护、科技产品设计等，强调数学知识的应用价值。 0. 动态与开放性题目增多 “动态圆” 题目（如圆的平移、旋转，点在圆上或圆外运动，探究线段长度、角度、图形面积的变化规律）占比逐年上升，2025 年中考中此类题目占比约 28%。例如，“在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为 2，点 P 在抛物线上运动，求点 P 到⊙O 上点的距离的最小值”。同时，开放性题目（如 “给出圆的部分性质，设计一个与圆相关的几何图形并计算其面积”）也不断增加，考查学生的发散思维和创新能力。 0. 渗透数学文化与核心素养 近年来的中考题中，逐渐渗透数学文化，如介绍圆在古代数学著作（《周髀算经》《九章算术》）中的记载、数学家对圆的研究成果等，让学生在解题的同时了解数学文化。此外，试题更加注重对数学核心素养的考查，如逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等，通过多样化的题型和问题情境，全面评估学生的数学素养。 · （三）分值分析 选择题 / 填空题（3-4 分 / 题）：主要考查圆的基本概念、点与圆的位置关系、弧长与扇形面积的计算、切线的性质等基础知识点，近 3 年通常 2-3 道，累计占分 6-12 分。 解答题（6-14 分 / 题）：分为 “基础解答题”（6-8 分，如利用垂径定理或圆周角定理进行简单证明和计算、切线的判定）、“中档综合题”（8-12 分，如圆与三角形、四边形的综合应用，圆的实际应用问题）和 “压轴综合题”（12-14 分，如圆与动态几何、函数的综合题，涉及最值、存在性问题）。全章总分值稳定在 18-28 分，占中考数学总分的 14%-22%，2025 年北京、上海、广州等一线城市中考中，圆相关题目分值占比进一步提升，部分地区达到 25-30 分，凸显其在中考数学中的重要地位。 · （四）考生备考建议 0. 夯实基础，掌握核心概念与性质 熟练掌握圆的定义、相关概念（弦、弧、圆心角、圆周角等）及圆的性质（垂径定理、圆心角与圆周角的关系、切线的性质与判定等），牢记圆的有关计算公式（弧长、扇形面积、圆锥侧面积等）。通过大量基础练习题，做到对基础知识的灵活运用，如根据圆的性质快速判断线段或角度关系，准确计算圆相关的几何量。 0. 加强对图形的理解与分析能力 圆的相关问题多与几何图形结合，备考过程中要注重培养利用图形分析问题、解决问题的能力。学会从图形中提取关键信息（如圆心、半径、弦、弧的位置关系，切线与半径的垂直关系等），并能根据图形性质和圆的知识推导结论。同时，要掌握圆的基本作图方法（如作圆的内接正多边形、过圆外一点作圆的切线），提高动手操作能力和空间想象能力。 0. 注重实际应用与建模能力的培养 针对圆的实际应用问题，要加强阅读理解能力的训练，学会从实际问题中提取关键信息，明确已知条件和所求问题，建立合适的圆的模型。掌握解决实际应用问题的一般步骤，即 “审题→建模→求解→检验→作答”，并通过大量的实际应用题目练习，提高建模能力和解决实际问题的能力。在解题过程中，要注意单位的统一和结果的合理性。 0. 突破综合题，提升解题技巧与思维能力 对于 “圆 + 几何图形”“圆 + 函数”“圆 + 动态几何” 等综合题，要学会将复杂问题分解为简单问题，逐步解决。在解题过程中，要注重对解题技巧的总结和归纳，如利用数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等解决问题。对于动态综合题，要学会用运动的观点分析问题，抓住运动过程中的不变量和变化规律，建立相应的数学模型进行求解。同时，要加强对压轴题的专项训练，提高解题的速度和准确性。 0. 建立错题本，及时总结反思 建立专门的圆错题本，将平时练习和考试中做错的题目整理到错题本上，分析错误原因（如概念混淆、性质应用错误、计算错误、思路错误等），并写出正确的解题过程和反思。定期对易错知识点进行复习和巩固，避免在同一问题上重复犯错。通过总结反思，不断提高自己的解题能力和数学素养。 知识点精讲 · （一）圆的基本概念 0. 定义解析 圆的定义中，“线段 OA 绕固定端点 O 旋转一周” 是关键，旋转过程中，端点 A 到圆心 O 的距离始终保持不变（等于半径）。例如，日常生活中的车轮、时钟表盘等，都可以看作是圆的实例，其中心相当于圆心，半径决定了圆的大小。 0. 相关概念辨析 弦与直径：直径是特殊的弦（经过圆心），但弦不一定是直径。例如，在⊙O 中，线段 AB 经过圆心 O，AB 是直径；线段 CD 不经过圆心 O，CD 是弦，但不是直径。 弧的分类：半圆是特殊的弧，既不是优弧也不是劣弧。优弧需要用三个字母表示，以区分不同的弧，例如，在⊙O 中，以 A、B 为端点的弧有两条，是劣弧，是优弧。 等圆与等弧：等圆的半径相等，反过来，半径相等的圆是等圆；等弧必须是在同圆或等圆中能够重合的弧，仅长度相等的弧不一定是等弧。例如，两个半径不同的圆中，即使弧长相等，对应的圆心角也不同，弧也不能重合，因此不是等弧。 · （二）圆的性质 0. 垂径定理及推论的应用 示例：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径。 解析：过圆心 O 作 OC⊥AB 于点 C，根据垂径定理，OC 垂直平分 AB，所以 。在 Rt△AOC 中，OC = 3cm，AC = 4cm，根据勾股定理，OA² = AC² + OC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25，所以 OA = 5cm，即⊙O 的半径为 5cm。 0. 圆心角、弧、弦的关系应用 示例：如图，在⊙O 中，，求证：AB = CD，∠AOB = ∠COD（O 为圆心）。 解析：根据 “在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等”，因为，且 AB、CD 在同一个⊙O 中，所以 AB = CD，∠AOB = ∠COD。 0. 圆周角定理及推论的应用 示例 1：如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB = 100°，求圆周角∠ACB 的度数（C 为圆上一点）。 解析：根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，∠ACB 所对的弧是，∠AOB 所对的弧也是，所以。 示例 2：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠CAB = 30°，求∠ABC 的度数。 解析：根据圆周角定理的推论，半圆所对的圆周角是直角，所以∠ACB = 90°。在 Rt△ABC 中，∠CAB = 30°，三角形内角和为 180°，所以∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。 · （三）点、直线与圆的位置关系 0. 点与圆的位置关系判断 示例：已知⊙O 的半径为 5cm，点 P 到圆心 O 的距离为 d。 （1）若 d = 3cm，判断点 P 与⊙O 的位置关系； （2）若 d = 5cm，判断点 P 与⊙O 的位置关系； （3）若 d = 7cm，判断点 P 与⊙O 的位置关系。 解析： （1）因为 d = 3cm < 5cm（半径 r），所以点 P 在⊙O 内； （2）因为 d = 5cm = r，所以点 P 在⊙O 上； （3）因为 d = 7cm > r，所以点 P 在⊙O 外。 0. 直线与圆的位置关系判断 示例：已知⊙O 的半径为 4cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。 （1）若 d = 3cm，判断直线 l 与⊙O 的位置关系； （2）若 d = 4cm，判断直线 l 与⊙O 的位置关系； （3）若 d = 5cm，判断直线 l 与⊙O 的位置关系。 解析： （1）因为 d = 3cm < 4cm（半径 r），所以直线 l 与⊙O 相交，有两个公共点； （2）因为 d = 4cm = r，所以直线 l 与⊙O 相切，有且只有一个公共点； （3）因为 d = 5cm > r，所以直线 l 与⊙O 相离，无公共点。 0. 切线的性质与判定应用 示例 1（切线的性质）：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为 A，OB 交⊙O 于点 C，若∠B = 30°，求∠AOC 的度数。 解析：因为 AB 是⊙O 的切线，根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，所以 OA⊥AB，即∠OAB = 90°。在 Rt△OAB 中，∠B = 30°，三角形内角和为 180°，所以∠AOB = 180° - 90° - 30° = 60°，即∠AOC = 60°。 示例 2（切线的判定）：如图，△ABC 为等腰三角形，O是底边 BC 的中点，腰 AB 与O 相切于点 D.求证:AC 是OO 的切线。 解析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC 所作的垂线段OE 是⊙O 的半径就可以了。而 OD 是⊙O 的半径，因此需要证明 OE=OD。 证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA。 ∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB. ∵△ABC 为等腰三角形，〇是底边BC 的中点， ∴AO是之BAC的平分线 ∴OE=OD，即OE是O的半径 这样，AC经过OO的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切。 0. 切线长定理的应用 示例：如图，从圆外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，若 PA = 5cm，求 PB 的长度，以及∠APO 与∠BPO 的关系（O 为圆心）。 解析：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，所以 PB = PA = 5cm。同时，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，所以∠APO = ∠BPO。 · （四）圆的有关计算 0. 弧长计算 示例：已知⊙O 的半径为 6cm，圆心角∠AOB = 60°（A、B 在圆上），求的长。 解析：根据弧长公式（n 为圆心角度数，R 为半径），将 n = 60°，R = 6cm 代入，得，所以的长为 2πcm。 0. 扇形面积计算 示例 1：已知⊙O 的半径为 5cm，圆心角∠AOB = 144°，求扇形 AOB 的面积。 解析：根据扇形面积公式，将 n = 144°，R = 5cm 代入，得，所以扇形 AOB 的面积为 10πcm²。 示例 2：已知扇形的弧长为 4πcm，半径为 6cm，求扇形的面积。 解析：根据扇形面积公式（l 为弧长，R 为半径），将 l = 4πcm，R = 6cm 代入，得，所以扇形的面积为 12πcm²。 0. 圆锥的相关计算 示例：一个圆锥的底面半径为 3cm，高为 4cm，求该圆锥的母线长、侧面积和全面积。 解析： 母线长：根据圆锥母线长 l、底面半径 r 与高 h 的关系，将 r = 3cm，h = 4cm 代入，得； 侧面积：根据圆锥侧面积公式，将 r = 3cm，l = 5cm 代入，得； 全面积：圆锥的全面积等于侧面积加上底面积，底面积，所以。 · （五）正多边形和圆 0. 正多边形的性质应用 示例：已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为 4cm，求正六边形的边长、边心距和面积。 解析： 边长：正六边形的边长等于其外接圆半径，所以正六边形 ABCDEF 的边长为 4cm； 边心距：正六边形的边心距是外接圆半径乘以，即； 面积：正六边形可以分成 6 个边长等于外接圆半径的正三角形，每个正三角形的面积为，所以正六边形的面积为。 易错知识点 · （一）圆的概念理解错误 错误示例：认为 “弦是直径”“半圆是优弧或劣弧”“长度相等的弧是等弧”。例如，将圆中任意一条弦都当作直径，忽略直径必须经过圆心；将半圆归为劣弧或优弧，忽略半圆是独立的弧的类型；认为半径不同的圆中，长度相等的弧是等弧，忽略等弧需要在同圆或等圆中且能够重合。 避坑技巧：明确圆相关概念的定义和区别，牢记 “直径是特殊的弦（经过圆心）”“半圆既不是优弧也不是劣弧”“等弧的前提是同圆或等圆且能重合”。通过对比分析不同概念的特征，避免概念混淆。 · （二）垂径定理应用错误 错误示例：在应用垂径定理时，忽略 “直径垂直于弦” 或 “平分弦（不是直径）” 的条件。例如，认为 “平分弦的直径垂直于弦”，忽略 “弦不是直径” 这一前提条件（若弦是直径，平分直径的直径不一定垂直于该直径）；或者在已知直径垂直于弦时，忘记直径平分弦所对的两条弧。 避坑技巧：应用垂径定理及其推论时，严格遵循定理的条件和结论。垂径定理的核心是 “垂直于弦的直径”，推论中 “平分弦” 必须限定 “弦不是直径”。解题时，可先画出图形，标注已知条件，明确定理的适用条件后再进行推导。 · （三）圆心角与圆周角关系混淆 错误示例：混淆圆心角与圆周角的关系，例如，认为 “一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角”，忽略 “一半” 的关系；或者在不同圆中应用 “同弧或等弧所对的圆周角相等”，忽略 “同圆或等圆” 的前提条件。 避坑技巧：牢记圆周角定理 “一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，以及推论的前提条件 “同圆或等圆”。在解题时，先确定弧的对应关系，明确所涉及的圆心角和圆周角是否对应同一条弧，且是否在同圆或等圆中，再应用定理进行计算或证明。 · （四）切线的性质与判定应用错误 错误示例：在应用切线的性质时，忽略 “过切点的半径” 这一条件，例如，认为 “圆的切线垂直于任意半径”，而实际上切线只垂直于过切点的半径；在应用切线的判定定理时，忽略 “经过半径的外端” 或 “垂直于这条半径” 的条件，例如，仅根据 “直线垂直于半径” 就判定直线是圆的切线，忽略直线是否经过半径的外端。 避坑技巧：应用切线的性质时，明确 “切线垂直于过切点的半径”，找准切点和对应的半径；应用切线的判定定理时，严格验证 “经过半径的外端” 和 “垂直于这条半径” 两个条件，缺一不可。解题时，可通过连接圆心与切点（或圆心与直线和圆的交点），构造半径，辅助判断。 · （五）圆的有关计算错误 错误示例：在计算弧长、扇形面积或圆锥相关量时，公式记忆错误或参数代入错误。例如，弧长公式记错为，扇形面积公式记错为（与圆锥侧面积公式混淆）；在计算圆锥侧面积时，将底面半径当作母线长代入公式，或忽略圆锥高与母线长、底面半径的关系。 避坑技巧：熟练记忆圆的有关计算公式，明确每个公式中参数的含义（如弧长公式中 n 为圆心角度数，R 为圆的半径；圆锥侧面积公式中 r 为底面半径，l 为母线长）。计算前，先梳理已知条件，确定所需公式和参数，代入时仔细核对，避免参数混淆或公式用错。 解题方法技巧 · （一）圆的性质应用技巧 0. 利用垂径定理解决弦长问题 当题目中涉及弦长、弦心距（圆心到弦的距离）和半径时，通常可以通过作圆心到弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。 示例：如图，在⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为 E，若 AB = 10cm，CD = 8cm，求 AE 的长。 解析：连接 OC，因为 AB 是⊙O 的直径，AB = 10cm，所以 OC = OA = 5cm。根据垂径定理，CD 垂直于 AB，所以 CE = 。在 Rt△OCE 中，根据勾股定理，OE² = OC² - CE² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9，所以 OE = 3cm。此时有两种情况： 当点 E 在 OA 之间时，AE = OA - OE = 5 - 3 = 2cm； 当点 E 在 OB 之间时，AE = OA + OE = 5 + 3 = 8cm。 因此，AE 的长为 2cm 或 8cm。 0. 利用圆周角定理转化角度关系 当题目中涉及圆周角和圆心角时，利用圆周角定理将圆周角转化为圆心角，或利用同弧或等弧所对的圆周角相等，将分散的角度集中到一个三角形或四边形中，便于求解。 示例：如图，在⊙O 中，∠A = 25°，∠B = 40°，求∠AOB 的度数（O 为圆心）。 解析：连接 OC，因为∠A 和∠B 是圆周角，∠A 所对的弧是，∠B 所对的弧是，所以∠BOC = 2∠A = 50°，∠AOC = 2∠B = 80°。因此，∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 80° + 50° = 130°。 · （二）切线的证明与计算技巧 0. 切线的判定方法 连半径，证垂直：若已知直线与圆有公共点，连接圆心与该公共点（得到半径），证明直线与这条半径垂直，即可判定直线是圆的切线。 作垂直，证半径：若未知直线与圆是否有公共点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径，即可判定直线是圆的切线。 示例：如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且． 求证：是的切线； 【解析】【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证； 证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． 0. 切线的性质应用 已知直线是圆的切线时，通常连接圆心与切点，利用 “切线垂直于过切点的半径” 这一性质，构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数等知识求解线段长度或角度大小。 示例：如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°， ∵AB∥PC， ∴∠OAB＝∠AOP＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， 故选：C． · （三）圆的有关计算技巧 0. 弧长与扇形面积的计算 计算弧长和扇形面积时，关键是确定圆心角的度数和圆的半径。若题目中未直接给出圆心角，可利用圆周角定理、圆心角与弧的关系等求出圆心角；若未直接给出半径，可通过垂径定理、勾股定理等求出半径。 示例：圆心角为60°,半径为6cm的扇形的弧长是_______cm(结果不取近似值) 【解析】 0. 圆锥相关量的计算 计算圆锥的母线长、侧面积、全面积时，要牢记圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。同时，利用圆锥的母线长、底面半径与高的勾股关系，可实现三者之间的转化。 示例：如图，已知圆锥的高为V3，高所在直线与母线的夹角为30°,圆锥的侧面积为________。 BAO 在RT△ABO中，∵ ∴，即圆锥的底面圆的半径为1 ， ，即圆锥的母线长为2 ， · （四）圆与几何图形综合题解题技巧 0. 分解问题，逐步求解 圆与几何图形的综合题通常涉及多个知识点，解题时，将复杂问题分解为若干个简单的子问题，如先利用圆的性质求出相关线段长度或角度大小，再利用三角形、四边形的性质解决几何部分的问题。 0. 利用辅助线构造图形 在解决圆与几何图形的综合题时，合理添加辅助线可以帮助找到解题思路。常见的辅助线有：连接圆心与圆上的点（构造半径）、作圆心到弦的垂线（应用垂径定理）、连接圆上两点（构造弦、弧）、过圆外一点作圆的切线（应用切线长定理）等。 示例：如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 1． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，辅助线绘制、各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质得到，则根据平行线的判定与性质得到，再由等边对等角得到，即可等量代换求证． 【详解】证明：连接， ∵与边相切于点， ∴，即， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴平分． 真题精练 1． 【2025年四川省宜宾市】如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 2． 【2025年四川省广安市】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 3． 【2025年四川省泸州市】如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ） A. B. C. D. 4． 【2025年山西】如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5． 【2025年上海】在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 6． 【2025年浙江】 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7． 【2025年山东】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8． 【2025年四川省自贡市】分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 9． 【2025年山西】如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10． 【2025年云南】已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 11． 【2025年四川省宜宾市】如图，已知是的圆周角，，则________． 12． 【2025年四川省德阳市】等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是________________． 13． 【2025年四川省成都市】如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 14． 【2025年江苏省连云港市】如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 15． 【2025年上海】已知一个圆与一个角两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是______． 16． 【2025年河南】我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 17． 【2025年江苏省苏州市】“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 18． 【2025年吉林】图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 19． 【2025年广东省深圳市】如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分． 20． 【2025年安徽】如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 21． 【2025年四川省达州市】如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是_______． 22． 【2025年安徽】如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23． 【2025年山东】如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 24． 【2025年广西】绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）写出两点的坐标； （2）求叶瓣①的周长；（结果保留） （3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 25． 【2025年河南】如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 26． 【2025年北京】在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； （2）已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 第1页共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $