精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高二上学期9月双周练（月考）数学试卷

荆州中学2025-2026学年高二上学期9月双周练 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得，所以复数的虚部为. 故选：C. 2. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 3. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 【详解】设2名男同学为，3名女同学为， 从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能， 选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为， 故选D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 5. 圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h., 由圆台的上、下底面的面积分别是，，得所以，， 由圆台侧面积公式可得，所以， 所以， 所以该圆台的体积 . 故选：D. 6. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可. 【详解】∵，，三向量共面， ∴存在实数，，使得，即， ∴，解得，，． 故选：B. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得，整理可得， 则，且，所以. 由正弦定理可得， 且，则，所以. 故选：A. 8. 如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用锥体体积公式通过转化法求多面体的体积. 【详解】设点到平面的距离为，由题意可知， 因为底面是平行四边形，所以， 又因为为棱的中点，所以点到平面的距离为， 所以， 因为为棱的中点，所以 ， 因为，分别是所在棱的中点，所以且， 所以四边形为梯形，设，梯形的高为， 所以，， ， ， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC的正误，根据线面平行定义可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则，而，故，故B正确； 对于C，若，，则，而，故，故C正确； 对于D，若，，则或异面，故D错误， 故选：BC 10. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为1，方差大于0； 丙地：平均数为2，方差为3； 丁地：平均数为2，众数为2 则一定符合该标准的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合平均数，方差，众数，中位数，以及极差的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由题意知，该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天， 且每天新增疑似病例不超过7人， 对于A，若数据中位数为2，极差为5，即新增病例最多的人数与最少的人数的差为5， 由于中位数为2， 所以每天新增疑似病例没有超过7人的可能，所以A符合标准； 对于B，例如：若10天的数据为，此时满足平均数为1，方差大于0， 其中有一天的新增病例超过7人， 所以平均数为1，方差大于0，无法确定新增病例是否不超过7人，所以B不符合标准； 对于C，假设某一天新增病例超过7人，由方差的公式，可得方差， 因为方差为3，故假设不成立，所以连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，所以C符合标准； 对于D，例如：若10天的数据为，可得平均数为2，众数为2， 其中有一天新增病例超过7人， 所以由平均数为2，众数为2，不能判断新增疑似病例不超过7人，所以D不符合标准. 故选：AC. 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心 B. 若，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的外心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件证明与底面所成的角为，与底面所成的角为，与底面所成的角为，，，，对于A，先证明，由此证明，同理可得，由此判断A，对于B，根据线面垂直判定定理及线面垂直的定义证明，同理可证，，由此判断B，对于C，先证明，由此证明，同理可得，由此判断C，对于D，设棱的中点分别为，证明四边形为矩形，由此可证，同理可证，，由此判断D. 【详解】因为为在底面的射影， 所以平面， 所以与底面所成的角为，与底面所成的角为， 与底面所成的角为， 因为平面，平面， 所以，，， 所以都是直角三角形， 对于A，由已知可得，，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，A错误； 对于B，因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，平面， 所以， 同理可证，， 所以为的垂心，B 正确； 对于C，因为都是直角三角形，又，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，C正确； 对于D，设棱的中点分别为， 则，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，又， 所以四边形为矩形，所以， 因为点为的中点，点为的中点，所以，又， 所以，同理可证，， 所以三棱锥三组相对的棱互相垂直，D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共三小题，每题5分，共15分 12. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理及面积公式即可得到答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以或（舍去）， 所以． 故答案为：. 13. 小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，小白先发球，则双方战至13∶11的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，小白先发球，则小白以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是小白、小高、小白、小白，则概率为， (2) 后四球胜方依次是小高、小白、小白、小白，则概率为， 在双方平后，小白先发球，则小高以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是小高、小白、小高、小高，则概率为， (2) 后四球胜方依次是小白、小高、小高、小高，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为： 14. 如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】设向量，的夹角为，根据数量积的定义可得，说明能取，由此证明结论. 【详解】因为，， 所以， 因为为等边三角形，，所以， 设向量，的夹角为， 则， 所以， 又当时，因为，故，， 因为，所以， 此时，的夹角为，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量平行的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可. 【小问1详解】 由得, 所以，解得； 【小问2详解】 因为，且， 所以，化简得， 解之得. 16. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替） （2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率. 【答案】（1）平均数为 ，第25百分位数，众数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数、百分位数、众数的公式计算即可； （2）利用列举法计算古典概型即可. 【小问1详解】 年龄在的频率为：， 故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为： ， 第25百分位数： 众数为； 【小问2详解】 由题意得被抽取的人中，有人年龄在，分别记为，，，； 有人年龄在，分别记为，． 记表示抽取，两人， 则“抽取人进行反馈”包含的基本事件为，，，，，， ，，，，，，，，，共种， 其中事件“至少有人的年龄在”包含的基本事件为，，，，， ，，，，共种， 故该事件发生的概率为． 17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且． （1）请以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，并求出点坐标 （2）求证：； （3）求与所成角的余弦值． 【答案】（1），， （2），， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标的定义即可求解； （2）根据空间直线垂直的坐标公式即可证明； （3）根据异面直线夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 ，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，； 则，， ， ， 又两直线所成夹角的余弦值不小于，∴与所成角的余弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接，易知，， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接， 依题意，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； （3）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 由（2）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 19. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3） 证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角． 在中，；① 在中，．② 由①②得， 从而， 所以，即． 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意，当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，求出内切球体积即可； （2）运用古典概型，结合互斥事件和独立乘法公式求解即可； （3）过点P做交AB（或其延长线）于点M，过点P做交AD（或其延长线）于点N．则，，为二面角的平面角．运用余弦定理，求解证明即可. 【小问1详解】 设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意， 当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大， 此时设四棱锥的高为h，则． 所以， 正八面体每个面的面积是． 由得：．解得．所以． 【小问2详解】 在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点， 该试验的样本空间 共20个样本点，所以． 每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型． 设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片 ， 所以，从而． 设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片， 任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形， 所以，从而． 记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M， ，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义， 得 因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025-2026学年高二上学期9月双周练 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 3. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为1，方差大于0； 丙地：平均数为2，方差为3； 丁地：平均数为2，众数为2 则一定符合该标准的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心 B. 若，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的外心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 三、填空题：本题共三小题，每题5分，共15分 12. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则的面积等于__________． 13. 小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，小白先发球，则双方战至13∶11的概率为____________. 14. 如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 16. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替） （2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率. 17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且． （1）请以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，并求出点坐标 （2）求证：； （3）求与所成角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $