福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期数学第五周周练试题

2025-2026学年第一学期高二数学校本作业 高二年级 数学科 主题：第一章 空间向量与立体几何 编号04 主编： 审核 ： 班级： 座号： 姓名： 等级/成绩： 周练 培优 辅后 限时训练 批改：是 否 √ √ 一、单择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若空间向量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则是钝角； B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线经过点，，则到的距离为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 4．在四面体中，点为线段靠近的四等分点， 为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 5．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度． 甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（水库底面与水坝的交线）的距离和分别为和m，的长为m，甲乙之间拉紧的绳长为，则水库底面与水坝所成二面角的大小为（    ）． A． B． C． D． 8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9．下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．是共线的充要条件 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，A，，四点共面 10．如图，在平行六面体中， 且 M为A₁C₁与B₁D₁的交点，设 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知空间向量都是非零向量，且满足，，若与同向共线，且，则有（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12．已知，，若，则 13．已知点，，，，则三棱锥的体积是 . 14．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有 . ①与平面所成角的正弦值为 ②与所成角的余弦值为 ③点到直线的距离为 ④和平面的距离为 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知．(1)若，求k的值；(2)若，求值． 16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面.求： (1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)点A到平面的距离. 17．如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. (1)证明平面； (2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 18.如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. (1)求（用表示）；(2)求直线和夹角的正弦值. 19．如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 一、单选题 1．若空间向量，则（    ） A． B． C． D． 答案与解析：D 【分析】根据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 2．已知空间向量，若向量共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 答案与解析：A 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】显然不共线，故可设，即， 从而，，，故. 故选：A. 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则是钝角； B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．直线l经过点，，则到的距离为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 答案与解析：D 【分析】对于A，由，得到是钝角或平角判断；对于B，由与是否共线判断；对于C，易得，从而即为所求； 【详解】对于A，若，则是钝角或平角，故A错误； 对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量， 则，故与不共线，即不成立，故B错误； 对于C，因为，，， 则，，， 故到的距离为，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，，所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面， 所以也是空间的一组基底，故D正确； 故选：D 4．在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 答案与解析：A 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 5．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（    ） B． B． C． D． 答案与解析：C 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体. 如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． 在中，余弦定理知道，, 则直线 与 所成角的余弦值为. 故选：C． 6．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 答案与解析：D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 7． 如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度． 甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（水库底面与水坝的交线）的距离和分别为和m，的长为m，甲乙之间拉紧的绳长为，则水库底面与水坝所成二面角的大小为（    ）． B． B． C． D． 答案与解析C 【分析】用几何的方法找出二面角的平面角，再用余弦定理得到夹角的余弦值，即可得到夹角． 【详解】过点作，且， 所以四边形为平行四边形，，且， 由题意知，，， 因为，， 所以，， 又， 所以平面， 因为平面， 所以， 在中，，， 所以， 因为，，， 所以为库底与水坝所在水平面夹角的平面角，， 又，所以． 故选：C 8． 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 答案与解析：B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量， 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 二、多选题 9．下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．是共线的充要条件 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，A，，四点共面 答案与解析：AD 【分析】由空间向量的概念与运算对选项逐一判断． 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，当同向时，，当反向时，，故B错误， 对于C，若共线，则或四点共线，故C错误， 对于D，由空间向量基本定理得若， 则，化简得， 故P，，，四点共面，故D正确， 故选：AD 10．如图，在平行六面体中， 且 M为A₁C₁与B₁D₁的交点，设 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 答案与解析：ACD 【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项. 【详解】对于，，故正确； 对于， ，故错误； 对于，， ， 故正确； 对于，，故正确. 故选：. 11． 已知空间向量都是非零向量，且满足，，若与同向共线，且，则有（    ） A． B． C． D． 答案与解析：AC 【分析】先由和解出，再由与同向共线，可得，再判断各个选项. 【详解】由，得， 由于与同向共线，故可设因此，于是， 又因为，所以，解得或（舍去）， 于是，从而，，所以A正确； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以不成立，因此D错误． 故选：AC. 三、填空题 12．已知，，若，则 答案与解析： 【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求解即可. 【详解】若，则,故； 故答案为： 13.已知点，，，，则三棱锥的体积是 . 答案与解析：1 【分析】应用空间向量法求点到平面距离结合三棱锥的体积公式计算求解. 【详解】已知点，，，， 则， 所以， 设平面法向量为， ， 所以，所以， 令，所以，， 所以点P到平面距离为， 则三棱锥的体积是. 故答案为：1. 14． 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有 . ①与平面所成角的正弦值为 ②与所成角的余弦值为 ③点到直线的距离为 ④和平面的距离为 答案与解析：②③④ 【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于①，平面的法向量可取为，， 设与平面所成角为，则，故①错误； 对于②，，， 设与所成角为，则，故②正确； 对于③，因，与同方向的单位向量为， ，则点到直线的距离为，故③正确； 对于④，设平面的法向量为，， 则，故可取， 由可得平面，则和平面的距离即点到平面的距离， 由，则点到平面的距离为，故④正确. 故答案为：②③④ 本题用高一知识做更快 四、解答题 15．已知． (1)若，求实数k的值； (2)若，求的值． 答案与解析：(1)(2) 【分析】（1）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值. （2）由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可 【详解】（1）， ， 由，即， ∴，解得:； （2）由已知得：，， . 16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面.求： (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)点A到平面的距离. 答案与解析：(1)(2) 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 令，则，， 所以，取平面法向量为， 所以，故面与面夹角的余弦值为； （2）因为，平面法向量为， 所以点到平面的距离 17．如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. (1)证明平面； (2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 答案与解析：(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质以及三角形中位线定理可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）连接，交于，连接，作图如下： 在菱形，因为，所以为的中点， 在中，因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）记的中点为，连接，由题意可知平面， 在菱形中，由，则，易知为等边三角形， 由为的中点，则，由平面， 则， 以为原点，分别以所在是直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由，，则， 易知，则，且， 由图可得，，，， 则，， 设平面的法向量，由（1）易知， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 由图易知为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 18． 如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. (1)求（用表示）； (2)求直线和夹角的正弦值 答案与解析：2．(1)(2) 【分析】本题可用高一知识，向量基底法，坐标法（直接建系或放在正方体中建系）等多种方法做 【详解】（1）. （2），， 所以 . 又和都是等边三角形，， 设直线和的夹角为，则， 所以 19． 如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 答案与解析：(1)证明见解析；(2)或．理由见解析． 【分析】（1）证明平面，由平行得证平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （2）先证明是已知二面角的平面角，得，取中点，证明平面，然后以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，得各点坐标，求出平面的一个法向量，设，求得，再根据线面角的向量求法求线面角，从而可得结论． 【详解】（1）由题意，，平面， 所以平面， 又因为图1中，分别是中点，所以， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2）由题意，所以是二面角的平面角， 二面角的大小为. 则，又由已知，所以等边三角形， 取中点，连接，则， 由（1）知平面，而平面，所以， ，平面，所以平面， 以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，, ，，，， ，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设， ，， 与平面所成角的正弦值为， 则，解得或． 所以的值为或． 道阻且长，行则将至1 学科网（北京）股份有限公司 $