专题3.5 不等式24道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题3.5 不等式24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 基本不等式的恒成立问题 题型二 基本不等式的实际应用 题型三 基本（均值）不等式的应用 题型四 由一元二次不等式的解确定参数 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 一元二次方程根的分布问题 【经典例题一 基本不等式的恒成立问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 2．（多选题）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·河南·阶段练习）（1）若，求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）最小值是；（2）. 【分析】（1）根据题意，将式子化为，进而通过基本不等式求得答案； （2）对式子进行参变分离，转化为求最值问题，进而求得答案. 【详解】（1）由题意可得， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是. 由题意可得恒成立， 令，得，则， 当且仅当，即时，等号成立. 由（1）可知，的最小值是， 故的取值范围是. 【经典例题二 基本不等式的实际应用】 1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，，先由题意得，接着结合基本不等式得，解该不等式求出即可求解车厢的最大容积. 【详解】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 2．（23-24高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设长方体长为m，高为m，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积． 【详解】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 故选：A． 3．（23-24高二下·吉林·阶段练习）长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为1：4，则该模型体积的最大值为 ． 【答案】 【分析】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r，根据题意将该模型的体积表示为r的函数，再由基本不等式求最值得答案. 【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为，又圆锥的母线长为， 圆锥的高为，则圆柱的高为， 该模型的体积 ，当且仅当，即时取得等号， 该模型的体积最大值为. 故答案为：. 4．（2025·全国·二模）如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且平面. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，即，利用线面垂直的判定定理证明平面，根据面面垂直的判定定理得证； （2）作，得平面，由，利用基本不等式得，结合三角形面积公式得，同理可得，由此得解 【详解】（1）由题，四边形在球的一个圆面的圆周上，故， 又，故，故， 由平面，平面,得， 又，平面，平面， 故平面， 又平面，故平面平面. （2）如图： 作，由平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 记四棱锥的体积为， 则， 而， 由平面，则，故， 于是，当且仅当时，取等号， 由，得，， 由，得， 故，当且仅当取等号，于是， 故. 故四棱锥体积的最大值为. 【经典例题三 基本（均值）不等式的应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小，表示出设备总费用，结合基本不等式即可求解． 【详解】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 由题意可得，年消耗平均费用为元， 年折旧平均费用为元，则平均年总费用， 最佳更新年限为设备总费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以这台设备最佳更新年限为， 故选：C． 2．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式可得，再解不等式即可；对于B，根据基本不等式，易知等号不成立；由代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对于D，由即可解得. 【详解】，当时取等号， ， 解得，当时取等号，故A正确； ， 当时取等，又，所以等号不成立，故B错误； ， 当时取等，又，所以即时取等，故C正确； ，当时取等号， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 3．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法将表达式替换为，再利用基本不等式的推广应用计算即可求得结果. 【详解】令，，由可得， 则，所以． 由（舍去）或. 由 ； 当且仅当时，即时，等号成立； 又，所以． 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）设x，y，z，是不全为0的实数，求的最大值． 【答案】 【分析】引进待定常数α，β，，利用重要不等式变形可得，利用取等条件可求得，可得结论. 【详解】.引进待定常数α，β，， 则有，，， 于是有，，． 将上面三式相加并整理， 得． 令，解得． 于是有，从而． 故，当且时取得． 【经典例题四 由一元二次不等式的解确定参数】 1．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】画出函数的图象，对分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出结论. 【详解】函数的图象如图所示：   ， 当时，， 由于关于的不等式恰有一个整数解， 因此其整数解必为3，又，， 结合图象可知，解得， 因为要求的最大值，所以不必考虑. 综上所述，的最大值为. 故选：D 【点睛】方法点睛： 数形结合与图象分析：通过画出函数的图象，结合不等式的条件，利用数形结合的方法直观地分析解的分布情况．数形结合是分析不等式解的一个非常有效的工具．在解题过程中，绘制函数图象并结合不等式条件进行讨论，是找到解集并确定最大值的关键． 2．（多选题）（24-25高二下·浙江温州·期中）已知函数，若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【答案】BD 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为，即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 由，解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 又是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， ， 又，则， 解得：， 又或， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 3．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，，由可得，分析可知，，不等式两边平方整理可得，然后分、两种情况讨论，解不等式，确定整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，由可得， 不等式两边平方可得， 当时，，不合乎题意； 当时，则，则原不等式可化为， 解得或， 此时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意； 当时，则，则原不等式可化为，解得， 由题意可知，关于的不等式有且仅有一个整数解，且这个整数解为， 所以，，解得，又因为，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据绝对值的性质转化为二次不等式，然后注意对参数分类讨论，并解出二次不等式，并确定整数解，然后列出关于参数的不等式求解. 4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据方程的根的概念，可求的值. （2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式. （3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围. 【详解】（1）由题意：1，（）是方程的两根. 由；由或（舍去）. 故：，. （2）原不等式可化为：. 若，则，解得：； 若，则，解得：或； 若，则， 当，即时，解得：； 当，即时，解得：； 当，即时，解得：. 综上可知：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. （3）问题转化为：对恒成立. 所以：. 因为恒成立，所以，. 因为. 设，则，， 且. 因为，当且仅当时取“”. 所以，所以，所以. 所以. 所以的取值范围是：. 【点睛】方法点睛：求参数的的取值范围，可以分离变量，化成，恒成立的问题，再结合基本不等式，求式子，的最大值即可. 【经典例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果. 【详解】设，则 所以 当且仅当即时取等号 所以的最小值是，则的最大值为. 故选A 【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目. 2．（多选题）（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】凑“积”为定值后利用基本不等式判断A；分和两种情况结合基本不等式可判断B；作差后转化为完全平方式可判断C；根据得到，再根据基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，则， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，则， 当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：AC. 3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 4．（23-24高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）5． 【分析】（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值； （2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）， 当且仅当时，等号成立，即． （2）， 当且仅当时，等号成立，即． 【经典例题六 一元二次方程根的分布问题】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不动点的定义列出方程，然后根据二次函数零点的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间上恰有两个不同的不动点， 即在区间上恰有两个解， 即在区间上恰有两个零点， 所以或者， 解得：或， 故选：C 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 3．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】将问题转化为与在上交点个数的问题，画出的图像，依次分析4个问题即可求解. 【详解】（1）令与， 方程在上有解，则函数与有交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （2）方程在上有一解，则函数与有一个交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 （3）方程在上有两个解，则函数与有两个交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （4）方程在上无解，则函数与没有交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 不等式24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 基本不等式的恒成立问题 题型二 基本不等式的实际应用 题型三 基本（均值）不等式的应用 题型四 由一元二次不等式的解确定参数 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 一元二次方程根的分布问题 【经典例题一 基本不等式的恒成立问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（多选题）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 4．（23-24高一上·河南·阶段练习）（1）若，求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【经典例题二 基本不等式的实际应用】 1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林·阶段练习）长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为1：4，则该模型体积的最大值为 ． 4．（2025·全国·二模）如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且平面. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； 【经典例题三 基本（均值）不等式的应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 2．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 3．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）设x，y，z，是不全为0的实数，求的最大值． 【经典例题四 由一元二次不等式的解确定参数】 1．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 2．（多选题）（24-25高二下·浙江温州·期中）已知函数，若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 3．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【经典例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【经典例题六 一元二次方程根的分布问题】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 3．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $