专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式重难点题型讲义（2个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一

专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式重难点题型专训（2个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程根的分布问题 题型二 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型三 一元二次不等式的概念及辨析 题型四 解不含参数的一元二次不等式 题型五 解含有参数的一元二次不等式 题型六 由一元二次不等式的解确定参数 拓展训练一 一元二次不等式的综合问题 拓展训练二 解一元二次不等式 知识点一：一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【即时训练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 2.（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集是 ． 知识点二：三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【即时训练】 1.（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   2．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 【经典例题一 一元二次方程根的分布问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴无交点，求的取值范围． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 2．（2022高一·全国·专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 3．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 4．（23-24高一上·天津蓟州·阶段练习）已知一元二次方程有两个不等实根. （1）求实数的取值范围； （2）若且，求实数的取值范围. 【经典例题二 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【例2】（21-22高一·湖南·课后作业）已知，试写出两个一元二次不等式，使它们的解集分别为： (1)； (2)． 1．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   2．（多选题）（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，若方程有两个不等的实数根，且（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 3．（23-24高三上·河北沧州·期末）若正数a，b满足，则的最小值是 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若关于x的不等式的解集是(−1，4)，求实数a，c的值. 【经典例题三 一元二次不等式的概念及辨析】 【例1】（2024·浙江·二模）若实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·广东揭阳·期末）已知集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 4．（25-26高一上·上海金山·期中）已知全集，集合， . （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的取值范围. 【经典例题四 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（2025高二下·湖南·学业考试）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 1．（25-26高一上·福建·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．（多选题）（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）不等式的解集为 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 解含有参数的一元二次不等式】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【例2】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 1．（23-24高一上·海南海口·期中）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·全国·周测）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 3．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【经典例题六 由一元二次不等式的解确定参数】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为，求的值． 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）不等式的解集是，则实数 0（填>，<或） 4．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的值． 【拓展训练一 一元二次不等式的综合问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，则，当数组不全为0时，等号成立当且仅当. 1．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）设a、b是实数，定义：，则满足不等式的实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）已知关于的不等式 （1）解这个不等式； （2）当此不等式的解集为时，求实数m的值． 【拓展训练二 解一元二次不等式】 【例1】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一上·河北衡水·开学考试）我们利用一元二次函数的图象及对应的一元二次方程根的情况可以进行一元二次不等式的求解，如图所示一元二次方程有两个不相等的实数根，则一元二次不等式的解为或的解为 例如：解不等式 方程的解为 原不等式的解为或． 求下列一元二次不等式的解 (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）设为实数，则关于x 的不等式的解集可能是（    ） A． B．或 C． D． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知． (1)若的解集为，求实数a，t的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 1．（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2025高三·全国·专题练习）不等式（其中）的解集不是（ ） A．且 B． C． D．或或 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 6．（多选题）（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 7．（多选题）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期末）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C．的解集为 D． 9．（多选题）（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 12．（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 13．（24-25高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 14．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 15．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是 . 16．（23-24高二上·江西鹰潭·阶段练习）关于x的方程mx2-(1-m)x＋m＝0有两个不等的实根，求m的取值范围. 17．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 18．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求的值． (2)若，求关于的不等式的解集． 19．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 20．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式重难点题型专训（2个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程根的分布问题 题型二 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型三 一元二次不等式的概念及辨析 题型四 解不含参数的一元二次不等式 题型五 解含有参数的一元二次不等式 题型六 由一元二次不等式的解确定参数 拓展训练一 一元二次不等式的综合问题 拓展训练二 解一元二次不等式 知识点一：一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【即时训练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B. 【分析】根据题意解一元二次不等式即可. 【详解】由，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故选：B. 2.（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以不等式的解集是. 故答案为： 知识点二：三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【即时训练】 1.（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B. 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 2．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 【答案】． 【分析】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得， 然后再解不等式可得． 【详解】不等式的解集是， 是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得， 则化为，解得． 的解集为． 故答案为：． 【经典例题一 一元二次方程根的分布问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴无交点，求的取值范围． 【答案】 【分析】由条件可得二次方程没有解， 列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程没有解， 所以，且， 所以. 所以的取值范围为. 1．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 2．（2022高一·全国·专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状. 【详解】方程有两个相等的实数根，则， 又有， 或，又，故是等腰三角形. 故选：A 3．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·天津蓟州·阶段练习）已知一元二次方程有两个不等实根. （1）求实数的取值范围； （2）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）由一元二次方程有两个不等实根，可得，进而可求出实数的取值范围； （2）由，可得，计算即可. 【详解】（1）由题意，，解得或. （2）由根与系数关系得，，， ， ，解得. 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查一元二次方程的性质，考查根与系数关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 【经典例题二 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值. 【详解】，消去，得， 因为方程组只有一组解，所以只有一个解， 所以，解得． 故选：C 【例2】（21-22高一·湖南·课后作业）已知，试写出两个一元二次不等式，使它们的解集分别为： (1)； (2)． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)(答案不唯一) 【分析】根据一元二次不等式的解集的两个端点为对应方程的两个实数根，结合韦达定理可得答案. 【详解】（1）一元二次不等式的解集为，则为对应的方程的两个实数根， 由韦达定理可设不等式为，其中 则满足条件 （2）一元二次不等式的解集为，则为对应的方程的两个实数根， 由韦达定理可设不等式为，其中 则满足条件 1．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 2．（多选题）（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，若方程有两个不等的实数根，且（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 【答案】AD 【解析】利用二次函数，二次方程和一元二次不等式的解集间的关系判断. 【详解】A.当时，函数图象开口方向向上，所以不等式的解集为，故正确； B. 当时，函数图象开口方向向上，所以不等式的解集为，故错误； C.若不等式的解集为，则，对称轴，函数又过定点，则，故错误； D.若不等式的解集为，则，对称轴，则，故正确； 故选：AD 3．（23-24高三上·河北沧州·期末）若正数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为关于的方程存在实数解，结合，即可求解. 【详解】由题意知，正数满足， 即关于的方程存在正实数解， 由方程的图象表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 要使得方程存在正实数解， 则只需满足，即， 因为，可得，解得，所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若关于x的不等式的解集是(−1，4)，求实数a，c的值. 【答案】. 【分析】由题意得到−1，4是方程的解，然后利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集是(−1，4)， 所以−1，4是方程的解， 由根与系数的关系可得， 解得. 【经典例题三 一元二次不等式的概念及辨析】 【例1】（2024·浙江·二模）若实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得a，b，c大小不等，且b在a，c之间，取a=0可排除两个选项，将用表示出即可得解. 【详解】因实数，，满足，则a，b，c大小不等，且b在a，c之间， 取a=0，则，即选项A，C都不正确， 而，即选项D不正确，选项B正确. 故选：B 【例2】（23-24高二上·广东揭阳·期末）已知集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】(1)先解一元二次不等式得集合M，a=1时，再求出集合N即可得解； (2)由给定条件可得MN，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，则，时，， 所以有，； （2）因是的充分不必要条件，则有MN，而，于是有， 所以实数的取值范围是. 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式性质，若对应二次函数的开口不同即便对应系数，解集也是不同，而解集相同，若解析为空，则对应系数可以各不相同，据此即可得解. 【详解】由，若异号， 则一元二次不等式与的解集不同， 则“”不是“”的充分条件， 反之当， 如和， 此时不成立， 则“”不是“”的必要条件， 故“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先解一元二次不等式，求出集合A，再与集合B进行交集运算即可. 【详解】， . 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的交运算，属于基础题. 3．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 . 【答案】 【解析】由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解. 【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得， ，， 可变为，即，解得. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海金山·期中）已知全集，集合， . （1）当时，求的取值范围； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合的表示，根据，可以得到之间的关系，利用二次函数的性质求出求的取值范围； （2）根据，可以得到之间的关系，根据一元二次方程的根的判别式的正负性进行分类讨论，最后求出的取值范围. 【详解】（1）， 当时，， 记， 由，即，得. 即的取值范围是. （2）由，得. 记. ①当，即时，，满足题意； ②当即或时， 若，则，不合题意； 若，则，满足题意；   ③当时，的图象与轴有两个不同交点. 由，知方程的两根位于1，2之间. 从而，即，故. 综上，的取值范围是. 【点睛】本题考查了已知集合的交集求参数问题，考查了一元二次方程、一元二次不等式以及二次函数之间的关系，考查了数学运算能力. 【经典例题四 解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（2025高二下·湖南·学业考试）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用一元二次不等式的解法求解； 【详解】（1）由， 得， 解得， 所以原不等式的解集为； （2）由， 得， 解得或， 所以原不等式的解集为：； （3）由， 得，即， 解得， 所以原不等式的解集为. 1．（25-26高一上·福建·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，即得， 解得或， 即不等式的解集是或. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AB：根据题意利用基本不等式分析判断；对于CD：整理可得，结合符号性分析判断. 【详解】因为，，，即， 对于选项AB：因为，即， 整理可得，解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误； 对于选项CD：由可得，可得，故C正确；D错误； 故选：AC. 3．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)． (3)或． (4)． 【分析】（1）求出的两个根，进而得到不等式的解集； （2）恒成立，故不等式解集为； （3）变形得到，求出不等式解集； （4）分别解和，进而求出答案. 【详解】（1）对于方程， 所以由求根公式可得方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为． （2）恒成立，则不等式的解集为． （3），移项得， 整理得，即， 解得或，则不等式的解集为或． （4）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即， 又因为恒成立， 所以不等式的解集为． 综上，不等式的解集为． 【经典例题五 解含有参数的一元二次不等式】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 【例2】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 1．（23-24高一上·海南海口·期中）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．（多选题）（24-25高一上·全国·周测）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】分， ， ， ， 五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【经典例题六 由一元二次不等式的解确定参数】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式的解集为，求的值． 【答案】， 【分析】根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解. 【详解】不等式的解集为， 则，且的两根为和， 则，所以. 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 2．（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集可得，且，，据此可逐项判断求解. 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为， 即，即， 解得（舍去）或， 所以，故D正确； 故选：ABD. 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）不等式的解集是，则实数 0（填>，<或） 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式解集的形式确定的符号，再根据韦达定理确定的符号，可得的符号. 【详解】因为不等式的解集为，所以. 且，是二次方程的两根. 所以. 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）把代入不等式，求实数a的取值范围； （2）由不等式的解集，结合韦达定理求实数a的值． 【详解】（1）关于x的不等式的解集为M， 若M中的一个元素是0，把代入不等式，有， 解得或，所以实数a的取值范围为. （2）关于x的不等式的解集为M， 若，则-7和3是方程的两根， 则有，解得， 所以时，实数a的值为5. 【拓展训练一 一元二次不等式的综合问题】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将原不等式常变量分离，通过换元法，结合一元二次方程根的判别式法进行求解即可. 【详解】将不等式变形为，记，则问题转化为求的最大值问题． 中分子、分母同时除以正数，变形得， 令，则，整理得， 将方程看成关于的一元二次方程， 因为，所以方程一定有正实数解， 所以， 由，得，解得， 由，得， 由，得或， 所以， 所以的最大值为9，则，即的最小值为9． 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，则，当数组不全为0时，等号成立当且仅当. 【答案】证明见解析 【分析】若，不等式显然成立；若，构造二次函数，由判别式即可证明. 【详解】若，则，此时不等式显然成立； 若， 构造二次函数对于恒成立， 所以此二次函数的判别式， 即； 综上，. 1．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）设a、b是实数，定义：，则满足不等式的实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据定义分别求出，，然后解不等式可得. 【详解】， 设，， 所以， 所以， 所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于，根据不等式的解集，可得的两根，进而求出对称轴；对于，根据不等式解的结构及韦达定理可判断的范围；对于，求出的值，直接解不等式即可；对于，利用，化简表达式，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知方程的根为和，且， 对称轴为直线，正确； 由韦达定理得，， 则，错误； 若，则， 所以方程可化为， 即恒成立，故不等式的解集为，正确； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，正确， 故选： 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）已知关于的不等式 （1）解这个不等式； （2）当此不等式的解集为时，求实数m的值． 【答案】（1）当时，解集为，当时，，当且时，；（2） 【解析】（1）根据题意变形得，再分情况讨论即可得答案； （2）根据题意并结合（1）得，，解方程即可得 【详解】解：（1）由得，且， 即， 故当时，此时，不等式恒成立，故解集为， 当时，， 当且时，， 故不等式的解集为：当时，解集为， 当时，， 当且时，. （2）由（1）得当不等式的解集为时， 只需满足，且，即：， 解得. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题. 【拓展训练二 解一元二次不等式】 【例1】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设满足条件p，q的集合分别为集合，，由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，根据集合的包含关系可得答案. 【详解】由得或，设. 设满足的集合为，则， 由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 【例2】（25-26高一上·河北衡水·开学考试）我们利用一元二次函数的图象及对应的一元二次方程根的情况可以进行一元二次不等式的求解，如图所示一元二次方程有两个不相等的实数根，则一元二次不等式的解为或的解为 例如：解不等式 方程的解为 原不等式的解为或． 求下列一元二次不等式的解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)当时，原不等式的解为：或；当时，原不等式的解为：或；当时，原不等式的解为：或； 【分析】(1)由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可； (2)由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可； (3)讨论的范围，由一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系求解即可。 【详解】（1）因为,方程的解,, 所以原不等式的解为：或 （2）将原不等式转化为：,因为,方程的解,, 所以原不等式的解为： （3）因为,方程的解,, 当时，原不等式的解为：或; 当时，原不等式的解为：或; 当时，原不等式的解为：或; 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 2．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）设为实数，则关于x 的不等式的解集可能是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】BCD 【分析】分，，分别讨论解不等式即可得到四个选项； 【详解】对于A，当，原不等式可化为，不符合题意；故A错误； 对于B，当时，原不等式可化为，解得， 当，原不等式可化为，解得或，故B正确； 对于C、D，当，原不等式可化为， 若，则 ，解得，故D正确； 若，则 ，此时不存在； 若，则，解得，故C正确； 故选：BCD. 3．（24-25高一上·上海·期中）已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求出的取值范围，再根据定义求出取值范围即可. 【详解】由解得， 所以， 故不等式的解集为, 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知． (1)若的解集为，求实数a，t的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求解. （2）对分和讨论，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）的解集为， 所以，解得. （2）当，，即，即， 当时，得，解得， 当时，方程只有一根，所以不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为. 1．（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】将原不等式转化为，解出，再求解出的范围即可. 【详解】原不等式可化为，解得， 则，故解集为． 故选：A. 3．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 4．（2025高三·全国·专题练习）不等式（其中）的解集不是（ ） A．且 B． C． D．或或 【答案】D 【分析】对于每个选项可选取的特殊值进行判断即可. 【详解】A选项，若，， 由穿针引线法可知，不等式解集为且，A正确； B选项，当时，，解得，B正确； C选项，当时，，解集为，C正确； D选项，由于解集中出现了，故， 此时， 由穿针引线法可知，不等式解集为，D错误； 故选：D 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定“”是“”的什么条件. 【详解】已知，解不等式，即，所以. 判断充分性： 当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立. 判断必要性： 若，因为集合，集合，所以的值可以为，也可以是其他值如，不一定只能是，即由“”不能推出“”，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 6．（多选题）（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 7．（多选题）（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据解集和韦达定理得到，再一一分析即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，所以AC错误， 则，，故BD正确． 故选： BD． 8．（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期末）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C．的解集为 D． 【答案】BC 【分析】因为不等式的解集为或，结合不等式解集和韦达定理，可得和，然后逐个选项代换判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，，可得， 则，即，得，， 又化为， 可得，解得， 又， 故A错，B正确，C正确，D错误. 故选：BC 9．（多选题）（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 10．（多选题）（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 【答案】BD 【分析】由一元二次不等式的解集性质、一元一次不等式的解集性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，所以不等式的解集不可能为，故A错误； 对于B，当且时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集也为，故B正确； 对于C，因为当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，而解集不包含0，故C错误； 若该结论正确，显然，且，是一元二次方程的两个实数根， 由，解得，此时不等式为，即，解集为，故D正确. 故选：BD. 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，考虑，当时，等价转化成方程的两根在集合，再由二次方程根的分布问题求解即可. 【详解】由解得， 所以，要使，则存在以下两种情况． （1）若，即方程无实数根，则，解得． （2）若，设方程的两根为，， 设，画出函数图象，如答图7-1，分析可知，    方程的两根，都在上， 故应满足，解得． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式等价于，则解集为， 故答案为： 13．（24-25高一·全国·课后作业）写出一个解集为的一元二次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一元二次不等式的解法，即可写出不等式，得到答案. 【详解】由一元二次不等式的解法可知，解集为的一元二次不等式可以是. 故答案为：.（答案不唯一） 14．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将用表示,再化简所求的不等式并求解. 【详解】已知不等式的解集为,所以，且方程的两根为， 根据韦达定理，，所以，. 不等式可化为，两边同时除以， 得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解的范围，再按范围分类判断即可得. 【详解】由题意，. 若甲正确，则且，即，则； 若乙正确，则且，即，则； 若丙正确，则由二次函数的对称轴为，得，所以. 若，则乙丙两人论述错误，不满足题意； 若，则甲乙两人论述错误； 若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意. 综上所述，，即a的取值范围是. 故答案为：. 16．（23-24高二上·江西鹰潭·阶段练习）关于x的方程mx2-(1-m)x＋m＝0有两个不等的实根，求m的取值范围. 【答案】 【分析】结合判别式可得答案. 【详解】时，x=0，不符合题意； 时，关于x的方程mx2-(1-m)x＋m＝0有两个不等的实根即 ，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，属于基础题. 17．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】将原不等式等价于，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】原不等式等价于，解得， 即不等式的解集为：． 18．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求的值． (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得的值，再求解二次不等式可得的值； （2）将二次不等式因式分解，对的情况分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得：， 则原不等式为：， 即， 所以不等式的解集为， 从而得出， 所以. （2）由不等式得：， 因为，所以不等式变形得到：， 所以对应方程的根为：或， ①当时，即，不等式为， 此时不等式解集为：； ②当时，即， 此时不等式解集为：或； ③当时，即， 此时不等式解集为：或； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：或； 当时，不等式解集为：或. 19．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 20．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式解集得方程的根，由韦达定理待定系数即可； （2）结合二次函数图象的开口方向、判别式的符号、以及根在不在区间内（即根的正负）进行分类讨论，最后整合结论即可. 【详解】（1）由得，， 因为不等式的解集是， 则是方程的两根， 所以有，解得. 则， 验证：由解得，或，满足题意. 故实数的值为. （2）若，则， 不等式即， 当时，恒成立，则，又已知，则； 当时，. ①当时，，且函数开口向下，过定点， 则方程有且只有一个正根， 设方程的两根为，由，则 ， 由不等式解得，又，所以； ②当时，，且函数开口向上， 则恒成立，则； ③当时，，不等式为， 解得，由，得，或； ④当时，，且函数开口向上， 设方程的两根为， 则由韦达定理知，，则方程两根均为正根， 且，， 故由不等式解得，或， 又，所以，或； 综上所述，若， 则当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $