高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：集合、常用逻辑用语； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出后可求得，故可得正确的选项 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 2．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知实数，集合，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】分类讨论，结合题意及集合互异性可得，即可得答案. 【详解】由，分情况讨论如下： 若，则，则，则，得到矛盾结论； 则，则，从而，则. 则. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若集合满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，对集合分类讨论即可求解. 【详解】由题知，集合满足，则称为集合的一个分拆， 且时，与为同一种分拆，又集合， 若，则； 若，则或； 若，则或； 若，则或； 若，则或或或； 若，则或或或； 若，则或或或； 若，则或或或或或或或； 所以集合的不同分拆种数， 故选：D. 4．（25-26高一上·陕西·开学考试）六名运动员比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天与各赛了3局，与各赛了4局，赛了2局，且和和之间都还没赛过，那么已赛（    ）局 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题设描述依次分析得出的比赛对象，即可得. 【详解】由与各赛了4局，赛了2局，且和和之间都还没赛过， 所以与各赛一局，与各赛一局， 又与各赛了3局，赛了2局，且与各赛一局， 所以与各赛一局，与各赛一局， 综上，已赛4局. 故选：D 5．（2025高一·全国·专题练习）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断. 【详解】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 6．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）命题P：是命题Q：的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】将命题P：去掉绝对值符号，分四种情况讨论，得出命题Q：不一定成立，即是的不充分条件；将命题Q：变形为后，分或情况讨论，得出不一定成立，即是的不必要条件. 【详解】命题Q：可变形为，即， 即，即或. ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； 综上两种情况可知，是的不必要条件； 命题P：,去掉绝对值符号，有以下四种情况： ()当，即时，，，即， 故是的不充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的不充分条件； 综上四种情况可知，是的不充分条件； 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 7．（2023·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 8．（24-25高一上·辽宁大连·期末）记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 2、 多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（25-26高一上·吉林·阶段练习）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2025个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为． D．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D. 【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，且与数集中的最大元素相等，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为对任意的，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集A，B有上确界，设，， 由上确界的定义可知，对于任意的，，都有，， 所以，即，故正确； 对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，， 此时， 则，故D错误. 故选：AC 10．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析可知，或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可. 【详解】对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析得出或，对集合的元素个数进行讨论，在求出参数后一定要注意进行检验. 11．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）对于集合M中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： ①，； ②，若，则； ③，若，，则. 则称“-”是集合M的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（   ） A．方程的同解 B．向量的共线 C．集合的包含 D．命题的充要条件 【答案】AD 【分析】需要逐一分析每个选项，判断其是否满足等价关系的三个条件：自反性，对称性和传递性. 【详解】对于A，①方程本身与其自身同解，②若方程A与方程B同解，则方程B与方程A同解，③若方程A与方程B同解，方程B与方程C同解，则方程A与方程C同解，故方程的同解是等价关系，A正确； 对于B，零向量与任意向量共线，故不符合条件③，B错误； 对于C，若集合A包含集合B，集合B不一定包含集合A，不符合条件②，C错误； 对于D，①命题p是命题p自身的充要条件，②若命题p是命题q的充要条件，则命题q是命题p的充要条件，③若命题p是命题q的充要条件，命题q是命题r的充要条件，则命题p是命题r的充要条件，D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 3、 填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（河南省重点高中2025-2026学年高一上学期检测数学试题）设集合，则中元素的个数为 . 【答案】81 【分析】由集合描述法转换成列举法，再由交集运算即可求解. 【详解】, ， 所以， 又， 所以中元素的个数为， 故答案为：81 13．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 14．（2023·全国·模拟预测）关于下列两个命题：设是定义在上的偶函数，且当时，单调，则方程的所有根之和为 ；对于有性质：“对时，必有.现给定①；②；现与对比，①中、②中同样也有性质的序号为 . 【答案】 ② 【分析】(1)对于，利用函数为偶函数可知关于y轴对称且，有或即可求所有根之和；(2)由命题“对时，必有”知对于集合M上点，将点坐标都缩小到原来仍在M上，即几何上这样M集合是平面中一个闭合的被填满的面，A代表一个圆上的点集，B代表椭圆面的点集，即可知答案 【详解】(1)∵是定义在上的偶函数 ∴当满足时，有两种可能 当与在轴同侧时，则，得，设方程的两个根为，，显然 当与在轴两侧时，则，得，设方程的两个根为，，此时 显然满足方程的所有根之和为 (2)现结合的性质来研究、 对于①，即简化为：，易知点在此圆上，取，但不在上.于是①错误. 对于②，即是椭圆上及内部的一切点，显然当时，点必在椭圆内，则②具备性质 故答案为：-8；② 【点睛】本题以两个独立命题形式给出，发散思维的能力，同时考查了考生解题思维的跳跃性和连续性及逻辑推理能力，运算求解能力，综合应用能力，属于偏难. 四、解答题（5小题，共77分） 15．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得，再分、两种情况讨论即可. 【详解】因集合中的元素恰有2个整数， 则其区间长度应满足，得， 当时，此时，则，得； 当时，此时，符合题意； 则的取值范围为. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】依题意可得真包含于，分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以真包含于， 当，即，此时，符合题意； 当，即，即， 此时要使真包含于，则，解得， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 综上可得的取值范围为. 17．（23-24高二下·江苏无锡·期末）给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有，求实数的取值范围，使命题为假，为真. 【答案】 【分析】判断命题的否定为真时，实数的取值范围，从而得到命题为真时实数的取值范围，化简不等式可知只需在上是减函数．取绝对值讨论在不同区间内的解集即可． 【详解】由已知，若命题，，是真命题 令 则在区间没有零点 令，可得，其对称轴为 要使得在区间没有零点 即 解得实数的取值范围为 则当命题p为真时， 因为，所以，． 设，依题意，在上是减函数，． ①当时， ，． 令，得：对恒成立．设，则． 因为，所以． 所以在上是增函数，则当时，有最大值为，所以． ②当时， ，． 令，得：． 设，则，所以在上是增函数．所以，所以． 综合①②，又因为在上是图形连续不断的， 所以． 故若q为真，则 则p真q假为 则q真p假 综上 【点睛】本题主要考查了转化化归的思想以及导数的应用，存在性的命题可将其转化为否定命题，进而得到原命题的真假，属于难题. 18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【详解】（1）因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然 则存在，使得成立， 整理得， 易知，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【点睛】思路点睛：仔细审题，读出有用信息，根据集合的三要素，通过分类讨论可解决第二问，结合正难则反的思想可处理第三问. 19．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：① ，；② 若，则；③ 若且，则. （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“”是“”的充分条件； （3）证明：若，则. 【答案】（1）正确，理由见解析   （2）证明见解析  （3）证明见解析 【分析】（1）由①②容易得到，所以由③得到；； （2），能得到，由已知条件知，所以只要证明任意的正整数即可得到任意的整数，可考虑用数学归纳法来证：1，，假设，则，所以根据数学归纳法对任意正整数，所以便得到是的充分条件； （3）先构造出，所以可先证明：若，，则，．先证明，设，，则得到，，，所以，所以，所以得到，由前面知，，，所以，，所以便可得到，，从而． 【详解】解：（1）正确；证明如下： 由①，，由②知， ， 由③知； （2）证明：由②知，若，则，故只需证明任意正整数即可， 由（1）知，，假设正整数，则， 由数学归纳法知：任意正整数， 即，是的充分条件； （3）先证：若，则， 由②知，若，且，，则； 由③知，， 所以，所以，所以得到， 再证：若，，则， ，； ，由③知， 由前面知：、、、、， ． 【点睛】本题主要考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，而想到是求解本题的关键．本题属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：集合、常用逻辑用语； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知实数，集合，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若集合满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西·开学考试）六名运动员比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天与各赛了3局，与各赛了4局，赛了2局，且和和之间都还没赛过，那么已赛（    ）局 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高一·全国·专题练习）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 6．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）命题P：是命题Q：的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．（2023·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 8．（24-25高一上·辽宁大连·期末）记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 2、 多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（25-26高一上·吉林·阶段练习）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2025个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为． D．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为 10．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）对于集合M中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： ①，； ②，若，则； ③，若，，则. 则称“-”是集合M的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（   ） A．方程的同解 B．向量的共线 C．集合的包含 D．命题的充要条件 第II卷（非选择题） 3、 填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（河南省重点高中2025-2026学年高一上学期检测数学试题）设集合，则中元素的个数为 . 13．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是 14．（2023·全国·模拟预测）关于下列两个命题：设是定义在上的偶函数，且当时，单调，则方程的所有根之和为 ；对于有性质：“对时，必有.现给定①；②；现与对比，①中、②中同样也有性质的序号为 . 四、解答题（5小题，共77分） 15．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 17．（23-24高二下·江苏无锡·期末）给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有，求实数的取值范围，使命题为假，为真. 18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 19．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：① ，；② 若，则；③ 若且，则. （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“”是“”的充分条件； （3）证明：若，则. 学科网（北京）股份有限公司 $