第三章 不等式重难点检测卷-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

第三章 不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高一上·新疆·期中）若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 3．（24-25高一·江苏·课后作业）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高三上·广西钦州·阶段练习）已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 6．（23-24高二下·福建三明·期末）若，且，则的最小值为 A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高一上·上海宝山·开学考试）若是方程的两个实数根，则的值等于 . 13．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 14．（2025高一上·全国·专题练习）若方程在上有实数根，则的最小值为 ． 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）已知，都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 16．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 18．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值； (2)求的最小值，并求出此时、的值． 19．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高一上·新疆·期中）若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为4. 故选：D 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 3．（24-25高一·江苏·课后作业）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可. 【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误； 选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误. 故选：B 4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式直接求解即可 【详解】， ，，即， 当且仅当，即取等号，所以的取值范围为， 故选：B 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（24-25高三上·广西钦州·阶段练习）已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】变形利用基本不等式即可得出结果. 【详解】由， 得. 又（当且仅当，即时等号成立）， ∴m≤12，∴m的最大值为12， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关求参数最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，属于简单题目. 6．（23-24高二下·福建三明·期末）若，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得： . 当且仅当，即时等号成立. 综上可得：的最小值为. 本题选择C选项. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 8．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D． 【详解】由，，， 对于选项A，由，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于选项B，由， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于选项C，由B选项可知，，所以， 当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于选项D，由， 则，当且仅当，即且时等号成立， 联立，整理得到，由，则，无实数解， 所以等号取不到，即，即无最小值，故D错误． 故选：AC． 11．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A直接利用基本不等式判断；B化成再分析即得；C利用“1”的代换以及基本不等式计算可得；D消元后利用基本不等式即得. 【详解】对于A，由，则，等号成立条件为，故A错误； 对于B，由，得，又，得，故B正确； 对于C，由，则，则， 等号成立条件为，故C正确； 对于D，由B项知，，则， 等号成立条件为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（25-26高一上·上海宝山·开学考试）若是方程的两个实数根，则的值等于 . 【答案】 【分析】已知是方程的两个实数根，由根与系数的关系得出及的值，再对进行化简后代入及的值求解． 【详解】是方程的两个实数根， ， ． 故答案为： 13．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 14．（2025高一上·全国·专题练习）若方程在上有实数根，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：设的实数根为，用，表示，再对所求式子进行两次配方和放缩即可求出最值；解法二：设两根为，由根与系数的关系得，用表示所求式子，再通过配方即可求出最值. 【详解】解法一：不妨设的实数根为，且， 则， 所以 ， 当且仅当时取等号． 故的最小值为． 解法二：设两根为，由根与系数的关系得 ，则． ， 当时，取得最小值． 故答案为：. 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）已知，都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法和不等式的性质，再结合充分性和必要性的证明方法，即可证明. 【详解】法一：充分性：由及，得，即. 必要性：由，得，即. 因为，所以，所以. 所以的充要条件是. 法二：. 由条件，故由. 所以，即的充要条件是. 16．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】分，，三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以只需，解得； 当时，表示开口向下的抛物线，满足题意. 综上所述，的取值范围为. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 18．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知正数、满足． (1)求的最大值，并求出此时、的值； (2)求的最小值，并求出此时、的值． 【答案】(1)当且仅当时，的最大值为1 (2)，时，的最小值为 【分析】（1）直接由基本不等式即可求解； （2）由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）∵，，∴． 又，∴． 当且仅当时等号成立，∴的最大值为1． （2） 当且仅当，即，时，的最小值为． 19．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $