3.2代数式的值 大单元教学分层优化练（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版数学七年级上册

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 3.2代数式的值（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 代数式的值 代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 题型1 已知字母的值，求代数式的值 例1．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-1】．已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 【变式1-2】．如果，互为相反数（），，互为倒数，且，则 【变式1-3】．已知a为最小的正整数，b为最大的负整数，c为绝对值最小的有理数，d是倒数等于自身的有理数，则的值为 ． 题型2 已知式子的值求代数式的值 例2．代数式的值为12，则代数式 ． 【变式2-1】．若，则的值为 ． 【变式2-2】．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于4，求的值． 【变式2-3】．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 题型3 由程序流程图求代数式的值 例3．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入时，则输出y的值是 ． 【变式3-1】．如图所示的是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2022次输出y的结果为 ． 【变式3-2】．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入时，按照程序第一次“传输”，可得，所以需要继续把输入程序，再次计算作为第二次“传输” ，经过6次“传输”才结束程序．则当起始输入时，需要经过 次“传输”才结束程序． 【变式3-3】．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，则第1次输出的结果为50，第2021次输出的结果为 ．    知识点2 用公式求值 在某些同类事物中的某种关系可以用公式表示，在解决这类问题时，常常用公式进行计算，常用公式有： 题型4 利用图形面积、体积公式求值 例4．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．当，，时，剩余铁皮的面积的值为 ．（结果保留） ． 【变式4-1】．如图，在长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，折叠后做成一个无盖的盒子(单位：)．    (1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积S． (2)用含a，b，x的代数式表示盒子的体积V． (3)当，且剪去的每一个小正方形的面积都等于时，求x和V的值． 【变式4-2】．一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是，小圆的半径是，钢管的长度是． (1)用含有，，的代数式表示这段钢管的体积； (2)若，，，求这段钢管的体积．（取，结果保留整数） 【变式4-3】．综合实践，某小组利用长为，宽为长方形纸板制作长方体盒子或正方体盒子．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：如图1，若，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 动手操作二：如图2，若，，先在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，再沿虚线折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒．    (1)图1中无盖长方体纸盒的底面积是______；（用含有、的代数式表示） (2)当，时，求该无盖长方体纸盒的体积． (3)请在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（用阴影表示），并用虚线表示折痕； (4)由图2，你发现当与之间满足怎样的数量关系时，在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒？请直接写出答案． 题型5利用实际问题的数量关系公式求值 例5．请根据下面的对话解答下列问题． 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1)________， ________， ________． (2)求的值． 【变式5-1】．【问题情境】一只乌鸦口渴了，它找到一个装了半瓶水的敞口瓶子，将小石子投入瓶中使水上升，终于喝到水了． 【动手实验】合作小组在一个透明的圆筒形容器里倒进一定数量的水，然后在容器中投入相同大小的大理石（大理石完全浸没在水中且水不溢出），测量水平面的高度． 【数据收集】 石子数x（颗） 0 1 2 3 4 5 水面高度y（cm） 10.5 11 11.5 12 12.5 13 【寻找规律】（1）每增加一颗石子，水面增高__________cm，所以投入x颗石子后，水面的高度是__________cm． 【验证规律】（2）当投入的石子数为12颗时，水面的高度为__________cm，当投入的石子数位20颗时，水面的高度为__________cm． 【变式5-2】．请根据以下素材，完成下列问题： 如何选择购买方案？ 素材一 抖音直播带货成为当下网络销售的主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣售价为100元． 小明和几位同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买件，且． 素材二 该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案： 方案一：所购防晒衣一律打九折： 方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折． (1)若按方案一购买，同学们需付款 元；若按方案二购买，同学们需付款 元；（用含x的式子表示） (2)若王老师想给全班50名同学购买班服，请通过计算说明按照哪种方案购买更划算？ 【变式5-3】．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．（客户选择一种方案购买） 方案：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜双． (1)若按方案购买，需付款___________元，若按方案购买，需付款___________元； (2)当时，通过计算说明该客户选择哪种方案购买更省钱？ 题型6 整体思想在代数式求值中的作用 例6．在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【变式6-1】．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在代数式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【变式6-2】．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： ． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【变式6-3】．理解与思考： 整体代换是数学的一种常见思想方法，在代数式求值或化简中经常会有用到．例如：，则______；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题． (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 题型7 归纳公式求值 例7．如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【变式7-1】．用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖多少块？第（）个图形中需要黑色瓷砖多少块（用含的代数式表示）？ 【变式7-2】．如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 … (2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 【变式7-3】．【问题情境】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： （1）当三角形的个数是n时，所用的磁力棒的根数是______（用含n的代数式表示）； （2）是否存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形？若不存在，请说明理由； 探究二：立体图形 创新小组的小梦同学想到七年级学的三棱锥有4个面，想到通过磁力棒搭立体图形来组成等边三角形． （3）如图所示是小梦同学用磁力棒搭成的三棱锥，小梦搭成的三棱锥用了______根磁力棒，组成了______个等边三角形； （4）结合小梦同学的方法，用9根磁力棒最多可以组成多少个等边三角形？ 题型8 由由数字类规律列代数式求值 例8．鞋号是指鞋子的大小，中国于 60年代后期，在全国测量脚长的基础上制定了“中国鞋号”，1998年政府发布了基于系统，用毫米做单位的中华人民共和国国家标准，被称为“新鞋号”，之前以厘米为单位的鞋号从此被称为“旧鞋号”．新旧鞋号部分对应表如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 a (1)a 的值为 ； (2)若新鞋号为m，旧鞋号为n，则m与n的关系可以用等式表示为 ． 【变式8-1】．观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … (1)第⑤个式子是___________；第⑩个式子是___________； (2)请用含n（n为正整数）的式子表示上述规律； (3)利用上述规律计算： 【变式8-2】．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式： 第3个等式：，第4个等式： 第5个等式：，…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)猜想第n个等式： （用含n的等式表示）． 【变式8-3】．某天，小明突发奇想，打算研究形如：（其中m，n都是正整数，且，）的式子的计算结果，能否有一种比较直观的方法来解决这个问题． 探究问题：为解决上面的数学问题，小明请教了老师，老师对小明说了两句话： 一、从特殊到一般；二、灵活运用数形结合的思想方法”． 小明突然灵机一动，想了如下办法：通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 根据第n次分割图，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是，从而小明得到了等式：． 探究二：计算． 根据第n次分割图，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是，从而小明得到了等式：， 两边同除以2，得． 探究三：计算． (1)仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果． 第n次分割，所有阴影部分的面积之和为 ；最后的空白部分的面积是 ；根据第n次分割图可得等式 ；两边同除以 ，得 ； (2)解决问题：猜想 ； (3)拓广应用：计算． 例9．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算 ； (2)计算的值； (3)将算式类比到如下形式，猜想 ． 【变式9-1】．学习完有理数加、减、乘、除运算后，数学兴趣小组对新运算“”进行了探究． 探究过程如下： I.给出了“”的一些具体例子：                                  II.根据上面的例子，小华画出了“”的部分流程图如下： Ⅲ.小明在小华的基础上进一步完善和改进，画出了“”的流程图如下： 根据以上探究过程，完成下面问题： (1)在①，②，③中，符合小华画的部分流程图的运算有______（只填序号）； (2)小明画的流程图中的A处应填______，B处应填______； (3)根据小明画的流程图解决下面问题： ①计算：； ②若，则x的值为______． 【变式9-2】．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【变式9-3】．数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)______； (2)计算：； (3)已知实数a，b满足行列式，求代数式的值． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 2．若，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 3．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是125，则第2020次输出的结果是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．已知实数，，满足，则当时，多项式的值是（  ） A． B． C． D． 5．将一列有理数，2，，4，，6，……，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数（   ），应排在A、B、C、D、E中的（   ）位置．其中两个填空依次为（　　） A．，C B．，D C．30，C D．30，D 6．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 7．先阅读材料，再解答： 在中，有一点，当，，，没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 内点的个数 构成不重叠的小三角形的个数 ？ 观察上述图形，结合上表，则上表中的“？”地方应是（   ） A． B． C． D． 8．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，那么( ) 10．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，计算 ． 11．观察下列算式：，，，，，，，，……，观察后，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 12．观察下列等式：① ② ③ 那么第n（n为正整数）个等式为 ． 13．仔细观察下面的几个算式： ， ， ， ， 根据你所发现的规律，下面式子： 的计算结果是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．（1）已知，且，求的值． （2）已知，求式子的值． 15．学校订购一批桌凳，凳子每个定价元，桌子每张定价元．商家的优惠办法是买一张桌子赠一个凳子．学校欲购买张桌子，凳子个（凳子数超过个）． (1)用含的式子表示学校应付款的钱数； (2)当时，应付款多少元． 16．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是 (1) ， ， ； (2)求代数式的值． 17．将九个数填在的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方． (1)请将 1，2， 3， 4， 5，6， 7，8， 9这九个数填入图1中，使其构成广义的三阶幻方； (2)在图2所示的广义的三阶幻方中给出了三个数，请将其余的六个数填上． 18．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 19．某商店出售网球和网球拍，网球拍每只定价80元，网球每个定价4元，商家为促销商品，同时向客户提供两种优惠方案：①买一只网球拍送3个网球；②网球拍和网球都按定价的9折优惠。现在某客户要到该商店购买球拍20只，网球x个． (1)若，该客户按优惠方案①购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (2)若，该客户按优惠方案②购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)若时，通过计算说明，此时按哪种优惠方案购买较为合算？ (4)当时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数． 20．综合与探究 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的“身份证”．商品条形码由位数字组成，每位数字都是到之间的整数，第位数字表示校验码．校验码的作用是校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的．如图，求校验码的过程如下： 步骤：求前位数字中偶数位上的数字之和． 步骤：求前位数字中奇数位上的数字之和． 步骤：求与的和． 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：求与的差就是校验码，即校验码的值为． (1)若某商品条形码为，则校验码的值为___________． (2)如图，某商品条形码中的一个数字被墨水污染了，设这个数字为，求步骤中的（用只含有的代数式表示），并求出当时，校验码的值． (3)如图，某商品条形码中的两个数字被墨水污染了，若这两个数字相同，请直接写出这个数字． B 抓核心 三大题型提升练 C 促拓展 能力提升拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 3.2代数式的值（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 代数式的值 代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 题型1 已知字母的值，求代数式的值 例1．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方数非负性，绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一项都等于0列式是解题的关键． 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D． 【变式1-1】．已知，则的值等于(    ) A．1 B． C．4049 D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质；根据绝对值与偶次幂的非负性，求得，，代入计算，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】．如果，互为相反数（），，互为倒数，且，则 【答案】或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值，相反数、倒数以及绝对值的定义，根据相反数与倒数的性质可得，根据绝对值的意义可得，分别代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，互为相反数（），，互为倒数，且， ∴，， ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 【变式1-3】．已知a为最小的正整数，b为最大的负整数，c为绝对值最小的有理数，d是倒数等于自身的有理数，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的加减混合运算、倒数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整数、绝对值、倒数、有理数的加减法，熟练掌握各定义和运算法则是解题的关键． 先根据整数、绝对值的性质、倒数的定义分别求出a、b、c、d的值，再代入计算有理数的加减法即可得结果． 【详解】由题知，，，，或． 当时， ； 当时， ． 故答案为：或． 题型2 已知式子的值求代数式的值 例2．代数式的值为12，则代数式 ． 【答案】20 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式的求值，先根据已知求得，再代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为12， ∴， ∴ ． 故答案为：20 【变式2-1】．若，则的值为 ． 【答案】13 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查整式化简求值，涉及去括号法则、合并同类项等知识，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键．先去括号、再合并同类项化简，然后将代入化简后的代数式求解即可得到答案． 【详解】解： ， ， 原式． 【变式2-2】．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于4，求的值． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，代数式求值，先根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义得出，，，再代入计算即可． 【详解】解：依题意得 ，，                                         原式    【变式2-3】．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， ． 题型3 由程序流程图求代数式的值 例3．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入时，则输出y的值是 ． 【答案】3 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式求值；根据题意，，将字母的值代入代数式，即可求解． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：3． 【变式3-1】．如图所示的是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为3125，则第2022次输出y的结果为 ． 【答案】5 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【分析】本题主要考查流程图问题、数字规律等知识点，总结归纳出从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5是解题的关键． 先分别求出第一次输出的结果为625，第二次输出的结果为125，第三次输出的结果为25，第四次输出的结果为5，第五次输出的结果为1，然后计算出第六次输出的结果5，进而发现从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，据此即可解答． 【详解】解： 第一次输出的结果：， 第二次输出的结果：， 第三次输出的结果：， 第四次输出的结果：， 第五次输出的结果：， 第六次输出的结果：， 第七次输出的结果：， 第八次输出的结果：， 第九次输出的结果：， …… 由此得到规律，从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，所以第2022次输出结果为5． 故答案为：5． 【变式3-2】．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入时，按照程序第一次“传输”，可得，所以需要继续把输入程序，再次计算作为第二次“传输” ，经过6次“传输”才结束程序．则当起始输入时，需要经过 次“传输”才结束程序． 【答案】11 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算，直至结果大于2025即可． 【详解】解：当起始输入时， 按照程序第1次“传输”，可得， ，按照程序第2次“传输”，可得， ，按照程序第3次“传输”，可得， ，按照程序第4次“传输”，可得， ，按照程序第5次“传输”，可得， ，按照程序第6次“传输”，可得， ，按照程序第7次“传输”，可得， ，按照程序第8次“传输”，可得， ，按照程序第9次“传输”，可得， ，按照程序第10次“传输”，可得， ，按照程序第11次“传输”，可得，“传输”结束， 那么当起始输入时，需要经过11次“传输”才结束程序， 故答案为：11． 【变式3-3】．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，则第1次输出的结果为50，第2021次输出的结果为 ．    【答案】8 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【详解】解：第1次输出：， 第2次输出：， 第3次输出：， 第4次输出：， 第5次输出：， 第6次输出：， 第7次输出：， 第8次输出：， 第9次输出：， 第10次输出：， … 从第5次开始，以8，4，2，1循环出现， 则，， 故第2021次输出的结果是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的输出结果． 知识点2 用公式求值 在某些同类事物中的某种关系可以用公式表示，在解决这类问题时，常常用公式进行计算，常用公式有： 题型4 利用图形面积、体积公式求值 例4．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．当，，时，剩余铁皮的面积的值为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，求不规则阴影图形的面积和三角形与圆的面积公式的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题需要先分别求得三角形与半圆的面积，然后三角形面积减去半圆的面积，即可求解； 【详解】解：剩余铁皮的面积， 当，，时， 即． 【变式4-1】．如图，在长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，折叠后做成一个无盖的盒子(单位：)．    (1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积S． (2)用含a，b，x的代数式表示盒子的体积V． (3)当，且剪去的每一个小正方形的面积都等于时，求x和V的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）利用分割法计算面积解答即可． （2）根据体积公式解答即可． （3）根据求代数式的值基本思路解答即可． 本题考查了列代数式，求代数式的值，长方体的体积，熟练掌握定义和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 （2）解：根据题意，得 （3）解：由，得 当，，时， 【变式4-2】．一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是，小圆的半径是，钢管的长度是． (1)用含有，，的代数式表示这段钢管的体积； (2)若，，，求这段钢管的体积．（取，结果保留整数） 【答案】(1) (2)钢管的体积约为 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、 圆柱的体积 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，圆柱的体积，解题的关键是根据圆柱的体积公式列出代数式． （1）根据圆柱的体积公式计算，可求图中钢管的体积； （2）将，，，代入（1）中的式子，即可求出钢管的体积． 【详解】（1）解：钢管的体积． （2）解：当，，时， 钢管的体积 ∴钢管的体积约为． 【变式4-3】．综合实践，某小组利用长为，宽为长方形纸板制作长方体盒子或正方体盒子．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：如图1，若，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 动手操作二：如图2，若，，先在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，再沿虚线折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒．    (1)图1中无盖长方体纸盒的底面积是______；（用含有、的代数式表示） (2)当，时，求该无盖长方体纸盒的体积． (3)请在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（用阴影表示），并用虚线表示折痕； (4)由图2，你发现当与之间满足怎样的数量关系时，在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 (4)当在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了列代数式，基本几何图形的性质与正方体的展开图． （1）根据图形可知无盖长方体纸盒的底边长为，据此即可求解； （2）根据长方体的体积公式求解即可； （3）实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开图中选择合适的剪出形状即可； （4）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得，，化简得到． 【详解】（1）解：无盖长方体纸盒的底面积是； 故答案为：； （2）解：该无盖长方体纸盒的体积为； （3）解：所画图形如图所示（图形不唯一）：   ； （4）解：由图形可得：，， ∴， ∴． ∴当在纸板的四角剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． 题型5利用实际问题的数量关系公式求值 例5．请根据下面的对话解答下列问题． 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1)________， ________， ________． (2)求的值． 【答案】(1)，，1 (2)原式的值为2026 【知识点】相反数的应用、求一个数的绝对值、有理数的减法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了相反数的定义，绝对值的性质，已知字母的值求代数式的值． （1）根据相反数的定义，绝对值的性质及有理数减法法则分别求出各数； （2）根据（1）中各数代入计算即可． 【详解】（1）解：的相反数是6，b的绝对值是5，a和b的符号相同， ， 与的和是， ， 故答案为：，，1； （2）由（1）可知，， 所以 ， 所以原式的值为2026． 【变式5-1】．【问题情境】一只乌鸦口渴了，它找到一个装了半瓶水的敞口瓶子，将小石子投入瓶中使水上升，终于喝到水了． 【动手实验】合作小组在一个透明的圆筒形容器里倒进一定数量的水，然后在容器中投入相同大小的大理石（大理石完全浸没在水中且水不溢出），测量水平面的高度． 【数据收集】 石子数x（颗） 0 1 2 3 4 5 水面高度y（cm） 10.5 11 11.5 12 12.5 13 【寻找规律】（1）每增加一颗石子，水面增高__________cm，所以投入x颗石子后，水面的高度是__________cm． 【验证规律】（2）当投入的石子数为12颗时，水面的高度为__________cm，当投入的石子数位20颗时，水面的高度为__________cm． 【答案】（1），；（2）； 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查列代数式及代数式的求值，理解题意，正确的列出代数式是解题的关键． （1）观察表格，可知初始水面高度为，每增加一颗石子，水面增高；继而可得解； （2）运用（1）所得的代数式，代入相应的值即可得解； 【详解】解：（1）由表格可知：每增加一颗石子，水面增高，所以投入x颗石子后，水面的高度是， 故答案为：， （2）由（1）可知：当投入的石子数为12颗时，水面的高度即时，为；当投入的石子数为20颗时，水面的高度即时，为；； 故答案为：； 【变式5-2】．请根据以下素材，完成下列问题： 如何选择购买方案？ 素材一 抖音直播带货成为当下网络销售的主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣售价为100元． 小明和几位同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买件，且． 素材二 该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案： 方案一：所购防晒衣一律打九折： 方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折． (1)若按方案一购买，同学们需付款 元；若按方案二购买，同学们需付款 元；（用含x的式子表示） (2)若王老师想给全班50名同学购买班服，请通过计算说明按照哪种方案购买更划算？ 【答案】(1)， (2)方案二更划算 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据题意，按照两个方案分别列出代数式即可； （2）分别求得当时的两个方案所付的款费，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设一起购买件防晒衣， 根据题意，按方案一购买，同学们需付款元， 按方案二购买，同学们需付款元， 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， 因为 所以方案二更划算． 【变式5-3】．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．（客户选择一种方案购买） 方案：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜双． (1)若按方案购买，需付款___________元，若按方案购买，需付款___________元； (2)当时，通过计算说明该客户选择哪种方案购买更省钱？ 【答案】(1) (2)该客户选择方案购买更省钱 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值及列代数式，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． （1）根据题意列得对应的代数式即可； （2）将代入（1）中求得的代数式中比较结果的大小即可． 【详解】（1）解：按方案购买，需付款元， 若按方案购买，需付款元， 故答案为：； （2）解：当时，选择方案需要付款（元）， 选择方案需要付款（元）． ∵， ∴该客户选择方案购买更省钱． 题型6 整体思想在代数式求值中的作用 例6．在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； （2）由已知条件可得，然后将原式代入已知数值计算即可；灵活对代数式进行变形以及整体思想是解题的关键； 掌握整体思想和整式的加减运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式6-1】．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在代数式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)15 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，熟练掌握整体思想是解题关键． （1）将作为一个整体代入计算即可得； （2）代数式可化为，将作为一个整体代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴ ． 【变式6-2】．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： ． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键． （1）把代入式子求值即可； （2）将原式变形为，再把代入求解即可． 【详解】（1）解：， 原式． （2）解：， 原式 ． 【变式6-3】．理解与思考： 整体代换是数学的一种常见思想方法，在代数式求值或化简中经常会有用到．例如：，则______；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题． (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）求出，整体代入法求出代数式的值即可； （2）利用整体代入法求值即可； （3）利用赋值法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴当时，则：，即：①， 当时，则：，即：②， ，得：， ∴． 题型7 归纳公式求值 例7．如图，用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和实心圆圈相间排列． (1)把表格补充完整． 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 … (2)设圆环串由x个圆环组成，则组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为______（用含x的代数式表示）． (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】(1)37,46，55 (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有163个，空心圆圈有81个． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律探究问题以及代数式的列写与求值，涉及根据圆环个数与总圆圈数的变化关系补全表格、推导含字母的代数式，以及代入具体数值计算总数和特定圆圈数量． 解题的关键是先找出圆环个数与总圆圈数的变化规律（每增加1个圆环，实心与空心圆圈总个数增加9个），再依据规律列写总个数的代数式，最后结合“偶数个圆环时实心圆圈比空心圆圈多1个”的特殊关系，求解具体数量． （1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【详解】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 3 4 5 6 … 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 28 37 46 55 … （2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， ∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， ∴空心圆圈有个个． 【变式7-1】．用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖多少块？第（）个图形中需要黑色瓷砖多少块（用含的代数式表示）？ 【答案】第（3）个图形中有黑色瓷砖10块，第（）个图形中需要黑色瓷砖块 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索题，观察图形得出规律即可求解，准确找出规律是解题的关键．根据已知图形得出图形中黑色瓷砖的规律，得出答案即可． 【详解】解：观察图形得： 第（1）个图形中有黑色瓷砖块， 第（2）个图形中有黑色瓷砖块 第（3）个图形中有黑色瓷砖块， 由此可得， 第（n）个图形中有黑色瓷砖块． 【变式7-2】．如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 … (2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 【答案】(1)13，17, (2)不能，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干划分的图形特征，得出第n次划分，得出共有个正方形，即可作答． （2）依题意，列式，得不是整数，即可作答． 【详解】（1）解：根据题干分析可得：第1次划分，得出个正方形； 第2次划分，根据图形得出共有个正方形； 第3次划分，根据图形得出共有个正方形； 第4次划分，根据图形得出共有个正方形， …… 以此类推：写成第n次划分，得出共有个正方形； 即填表如下： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 13 17 … （2）解：不能得到103个正方形，理由如下： 由（1）得第n次划分，得出共有个正方形； ∴令，则不是整数，故舍去； ∴不能得到个正方形． 【变式7-3】．【问题情境】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： （1）当三角形的个数是n时，所用的磁力棒的根数是______（用含n的代数式表示）； （2）是否存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形？若不存在，请说明理由； 探究二：立体图形 创新小组的小梦同学想到七年级学的三棱锥有4个面，想到通过磁力棒搭立体图形来组成等边三角形． （3）如图所示是小梦同学用磁力棒搭成的三棱锥，小梦搭成的三棱锥用了______根磁力棒，组成了______个等边三角形； （4）结合小梦同学的方法，用9根磁力棒最多可以组成多少个等边三角形？ 【答案】（1）；（2）不存在．理由见解析；（3）6，4；（4）最多可以组成7个等边三角形． 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含的代数式表示出当三角形的个数是时，所用磁力棒的根数是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出所需磁力棒的根数，然后总结规律即可； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据三棱锥的性质求解即可； （4）在小梦搭成的三棱锥的基础上，在一等边三角形外用3根磁力棒搭成一个三棱锥，进而求解即可． 【详解】解：（1）由题知， 搭1个三角形所需磁力棒的根数为：； 搭2个三角形所需磁力棒的根数为：； 搭3个三角形所需磁力棒的根数为：； ， ∴搭个三角形所需磁力棒的根数为根； （2）不存在，理由如下： 当时，（根）； ∴搭个三角形所需磁力棒的根数为9， ∴不存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形； （3）根据题意得，小梦搭成的三棱锥用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形； （4）∵小梦搭成的三棱锥用了6根磁力棒， ∴ ∴在小梦搭成的三棱锥的基础上，在一等边三角形外用3根磁力棒搭成一个三棱锥，如图所示， ∴在小梦搭成的三棱锥的基础上，又增加了3个等边三角形， ∴， ∴最多可以组成7个等边三角形． 题型8 由由数字类规律列代数式求值 例8．鞋号是指鞋子的大小，中国于 60年代后期，在全国测量脚长的基础上制定了“中国鞋号”，1998年政府发布了基于系统，用毫米做单位的中华人民共和国国家标准，被称为“新鞋号”，之前以厘米为单位的鞋号从此被称为“旧鞋号”．新旧鞋号部分对应表如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 a (1)a 的值为 ； (2)若新鞋号为m，旧鞋号为n，则m与n的关系可以用等式表示为 ． 【答案】(1)44 (2) 【知识点】列代数式、数字类规律探索 【分析】本题考查列代数式，根据表格数据特点找到m，n的关系是解题的关键． （1）根据表格信息寻找新鞋号与旧鞋号关系即可得解； （2）由（1）即可得解． 【详解】（1）解： 由表格可知，， ， ， ， ， 故答案为：44； （2）解：由（1）可得，， 故答案为：． 【变式8-1】．观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … (1)第⑤个式子是___________；第⑩个式子是___________； (2)请用含n（n为正整数）的式子表示上述规律； (3)利用上述规律计算： 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字类规律与探究，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用． （1）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方； （2）根据（1）中发现的规律解答即可； （3）先通分，然后根据（2）中结论解答即可． 【详解】（1）第⑤个式子是；第⑩个式子是； 故答案为：；． （2）第n个式子为：． （3） ， ， ， ． 【变式8-2】．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式： 第3个等式：，第4个等式： 第5个等式：，…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)猜想第n个等式： （用含n的等式表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，列代数式，解题的关键是根据数字的变化寻找规律，还考查了分式的混合运算． （1）寻找规律，利用规律写出第6个等式； （2）猜想的第个等式为，利用分式运算进行证明即可． 【详解】（1）解：根据已知等式可知，第6个等式为：， 故答案为：； （2）第个等式为：， 证明：左边右边， 等式成立． 【变式8-3】．某天，小明突发奇想，打算研究形如：（其中m，n都是正整数，且，）的式子的计算结果，能否有一种比较直观的方法来解决这个问题． 探究问题：为解决上面的数学问题，小明请教了老师，老师对小明说了两句话： 一、从特殊到一般；二、灵活运用数形结合的思想方法”． 小明突然灵机一动，想了如下办法：通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 根据第n次分割图，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是，从而小明得到了等式：． 探究二：计算． 根据第n次分割图，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是，从而小明得到了等式：， 两边同除以2，得． 探究三：计算． (1)仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果． 第n次分割，所有阴影部分的面积之和为 ；最后的空白部分的面积是 ；根据第n次分割图可得等式 ；两边同除以 ，得 ； (2)解决问题：猜想 ； (3)拓广应用：计算． 【答案】(1)图见解析；1；；1；3； (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了规律探索，理解题意，数形结合，从特殊到一般，是解题的关键． （1）模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论； （2）仿照例题，利用规律解决问题即可； （3）将原式变形为，然后利用规律解决问题即可． 【详解】（1）解：探究三：第n次分割图，如图所示： 所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第n次分割图可得等式； 两边同除以3，得； （2）解：计算． 根据第n次分割图可得等式，， 所以． （3）解： ． 例9．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算 ； (2)计算的值； (3)将算式类比到如下形式，猜想 ． 【答案】(1)323400 (2)22520 (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查的是探索规律的题目，解答本题的关键是读懂题目信息，学会把乘法算式拆写成两个式子的运算形式． （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入公式进行计算即可求解； （2）将变为，整理即可得解； （3）根据题目中算式得出一般规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 故答案为：． 【变式9-1】．学习完有理数加、减、乘、除运算后，数学兴趣小组对新运算“”进行了探究． 探究过程如下： I.给出了“”的一些具体例子：                                  II.根据上面的例子，小华画出了“”的部分流程图如下： Ⅲ.小明在小华的基础上进一步完善和改进，画出了“”的流程图如下： 根据以上探究过程，完成下面问题： (1)在①，②，③中，符合小华画的部分流程图的运算有______（只填序号）； (2)小明画的流程图中的A处应填______，B处应填______； (3)根据小明画的流程图解决下面问题： ①计算：； ②若，则x的值为______． 【答案】(1)② (2)； (3)①；②1或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加减混合运算的应用、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了新定义运算、程序流程图、有理数的混合运算，理解题意，根据新运算结果探究出运算规律是解题的关键． （1）根据小华画的部分流程图，结合题目的运算即可判断； （2）根据“”的一些具体例子，分和两种情况讨论，利用有理数的混合运算法则即可解答； （3）①利用（2）中的运算规律，直接计算即可；②由可得，从而列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：当时，和不一定为0，故①③不符合小华画的部分流程图的运算； 当时，符号为正；当时，结果为0；当时，符号为负；故②符合小华画的部分流程图的运算； 故答案为：②． （2）解：，，，，， 当时，， 小明画的流程图中的A处应填； ，，，，， 当时，； 小明画的流程图中的B处应填； 故答案为：；． （3）解：①， ； ②， ，即， ， ， 解得：或， 的值为1或． 故答案为：1或． 【变式9-2】．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 【变式9-3】．数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)______； (2)计算：； (3)已知实数a，b满足行列式，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）由=，可得，再计算可得答案； （2）先推导规律：，再利用规律进行计算即可得到答案； （3）由，可得：，再化简代数式可得：原式，再代入求值可得答案． 【详解】（1）解：（1）， 故答案为：． （2）由 （为正整数） （一共个） （3） 【点睛】本题考查的是定义情境下的有理数的混合运算，整式的乘法运算，合并同类项，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 2．若，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查等式的基本性质（等式两边同时相加，等式仍然成立）．利用等式的基本性质，把已知的两个等式和左右两边分别相加，这样等式左边与可以相互抵消，从而直接得到的表达式，再计算出结果． 【详解】已知，，将两式相加： 故选：A． 3．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是125，则第2020次输出的结果是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【分析】本题考查了运算流程图与代数式求值，数字类规律探索，根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第二次开始，输出的结果按、循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是，输出的数是， 第二次输入的数是，输出的数是， 第三次输入的数是，输出的数是， 第四次输入的数是，输出的数是， 第五次输入的数是5，输出的数是， ……， 观察发现，从第二次开始，输出的结果按、1循环出现，且偶数次是，奇数次是， 第2020次输出的结果是， 故选：C． 4．已知实数，，满足，则当时，多项式的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查求代数式的值，将代入可得到，再将已知整体代入计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键．也考查了有理数的乘方． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， 即当时，多项式的值是． 故选：D． 5．将一列有理数，2，，4，，6，……，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数（   ），应排在A、B、C、D、E中的（   ）位置．其中两个填空依次为（　　） A．，C B．，D C．30，C D．30，D 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形的变化类．根据图形中的数据，可以发现数据的变化特点，从而可以得到，“峰6”中C的位置对应的有理数和应排在A、B、C、D、E中的哪个位置． 【详解】解：由图可知， 图中的奇数是负数，偶数是正数， 则到峰6时的数字个数为：， 即“峰6”中A到E对应的数字为：，28，，30，， 故“峰6”中C的位置是有理数， ∵，， ∴应排在A、B、C、D、E中C的位置， 故选：A． 6．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律，发现数字规律是解题的关键． 观察数列规律，分母为n的项连续出现n次．计算前n项和，确定第200项所在的分母组即可解答． 【详解】解：数列中分母为n的项有n个，总项数到分母n时为：． 由题意可得，则当时，；当时，． 因此，第191至210项对应分母20，第200项在分母20的组内，值为． 故选D． 7．先阅读材料，再解答： 在中，有一点，当，，，没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 内点的个数 构成不重叠的小三角形的个数 ？ 观察上述图形，结合上表，则上表中的“？”地方应是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形中的数字规律，正确判定三角形个数与点的个数与序号之间的关系是解题的关键．观察可总结规律推导出当内点的个数为时，构成不重叠的小三角形的个数为：，再把代入求解即可． 【详解】解：当内点的个数为时，构成不重叠的小三角形的个数为：； 当内点的个数为时，构成不重叠的小三角形的个数为：； 当内点的个数为时，构成不重叠的小三角形的个数为：； 当内点的个数为时，构成不重叠的小三角形的个数为：； ∴当内点的个数为时，构成不重叠的小三角形的个数为：． 故选：B． 8．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，那么( ) 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值．此题将直接代入代数式即可计算解答． 【详解】解：将代入式子，得． 故答案为：5． 10．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，计算 ． 【答案】2或6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、倒数、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相反数、倒数和绝对值的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴当时，； 当时，． 故答案为：或 ． 11．观察下列算式：，，，，，，，，……，观察后，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 【答案】8 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律（周期），观察已知数字末位数字，发现其为周期是4的一串数字重复出现，据此即可解答． 【详解】解：如下表： 幂 … 指数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 末位数字 2 4 8 6 2 4 8 6 … 由表易知，末位数字以4为周期重复出现，每个周期末位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的末位数字是8， 故答案为：8． 12．观察下列等式：① ② ③ 那么第n（n为正整数）个等式为 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，本题的关键规律是左边是两个连续奇数的平方差，右边是这两个奇数和的2倍． 通过观察可发现等式左边是两个连续奇数的平方差，右边是这两个奇数和的2倍，进而求出第n个等式． 【详解】解：通过观察发现：等式左边是两个连续奇数的平方差，右边是这两个奇数和的2倍， ． 故答案为：． 13．仔细观察下面的几个算式： ， ， ， ， 根据你所发现的规律，下面式子： 的计算结果是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的规律探索，仔细观察总结出规律是解题的关键．利用题中所给的式子可得到数据的和为数据最中间一个数的平方，从而可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．（1）已知，且，求的值． （2）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值，代数式求值，正确理解题意是解题的关键： （1）先根据绝对值的性质求出，再代入求值即可； （2）先根据绝对值的非负性得出，求出，再代入求值即可． 【详解】解：（1）因为，且， 所以，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以． 15．学校订购一批桌凳，凳子每个定价元，桌子每张定价元．商家的优惠办法是买一张桌子赠一个凳子．学校欲购买张桌子，凳子个（凳子数超过个）． (1)用含的式子表示学校应付款的钱数； (2)当时，应付款多少元． 【答案】(1) (2)当时，应付款元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将代入到（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，， 故当时，应付款元． 16．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是 (1) ， ， ； (2)求代数式的值． 【答案】(1)0；1； (2)10 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、倒数、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值，倒数的意义，代数求值等，解题的关键是掌握以上概念和应用． （1）根据相反数，绝对值和倒数的意义，求出代数式的值即可； （2）将（1）中值代入代数式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ∴； ∵c，d互为倒数， ∴； ∵， ∴； 故答案为：0；1；； （2）解：将，，，，代入得， 原式． 17．将九个数填在的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方． (1)请将 1，2， 3， 4， 5，6， 7，8， 9这九个数填入图1中，使其构成广义的三阶幻方； (2)在图2所示的广义的三阶幻方中给出了三个数，请将其余的六个数填上． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）根据每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，分别填入数字计算即可求解； （2）根据广义的三阶幻方的要求填入计算即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 18．观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)201 【知识点】数字类规律探索、乘方运算的符号规律 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用． （1）根据规律进行计算便可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意分n为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断； （3）分k为奇数和偶数，分别列出方程进行解答． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第15个数是； 故答案为：；； （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍）， 当n为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001； （3）解：当k为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当k为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 19．某商店出售网球和网球拍，网球拍每只定价80元，网球每个定价4元，商家为促销商品，同时向客户提供两种优惠方案：①买一只网球拍送3个网球；②网球拍和网球都按定价的9折优惠。现在某客户要到该商店购买球拍20只，网球x个． (1)若，该客户按优惠方案①购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (2)若，该客户按优惠方案②购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)若时，通过计算说明，此时按哪种优惠方案购买较为合算？ (4)当时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数． 【答案】(1) (2)元 (3)方案①划算，见解析 (4)先按方案①购买20只球拍，获赠60个网球，再按照方案二购买40个网球，所需钱数为：1744元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了列代数式及有理数的实际应用（费用比较与方案优化），解题的关键是根据两种优惠方案的规则，区分“买球拍送网球”的数量限制与“整体9折”的计算方式，准确列出不同情况下的付款表达式并进行计算． （1）方案①：买20只球拍送个网球，需额外买个网球，付款球拍总价额外网球总价； （2）方案②：所有商品打9折，付款（球拍总价+网球总价）； （3）时，分别代入两方案表达式算费用，比较大小； （4）结合两方案：用方案①买球拍得赠球，剩余网球用方案②买，计算组合费用． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：根据题意得：． （3）解：当时，方案①：（元）； 方案②：（元）， ∵， ∴方案①划算，则选择方案①． （4）解：先按方案①购买20只球拍，获赠60个网球，再按照方案二购买40个网球，（元）， 则所需钱数为1744元． 20．综合与探究 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的“身份证”．商品条形码由位数字组成，每位数字都是到之间的整数，第位数字表示校验码．校验码的作用是校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的．如图，求校验码的过程如下： 步骤：求前位数字中偶数位上的数字之和． 步骤：求前位数字中奇数位上的数字之和． 步骤：求与的和． 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：求与的差就是校验码，即校验码的值为． (1)若某商品条形码为，则校验码的值为___________． (2)如图，某商品条形码中的一个数字被墨水污染了，设这个数字为，求步骤中的（用只含有的代数式表示），并求出当时，校验码的值． (3)如图，某商品条形码中的两个数字被墨水污染了，若这两个数字相同，请直接写出这个数字． 【答案】(1) (2)步骤中的，当时，校验码的值为 (3)或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，读懂商品条形码中的校验码的算法是解题的关键． （1）根据步骤到步骤进行计算即可； （2）根据步骤到步骤进行求出与的关系式，再根据的取值，进行步骤和步骤计算即可； （3）设被污染的两个数字为， 求出与的关系式，再根据和的取值情况进行计算即可． 【详解】（1）解：步骤：． 步骤：． 步骤：． 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：校验码，即校验码的值为． 故答案为：． （2）解：步骤：． 步骤：． 步骤：． 当时，， 步骤：取不小于且为的整数倍的最小值． 步骤：校验码，即校验码的值为． 故步骤中的，当时，校验码的值为． （3） 解：设被污染的两个数字为， 步骤：． 步骤：． 步骤：． 步骤：且为的整数倍的最小值． 步骤：校验码， ， 且为整数， 当时，，为的整数倍， 当时，，为的整数倍， 所以，被墨水污染了的这两个数字为或． C 促拓展 能力提升拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 B 抓核心 三大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $