03 绝对值的几何意义与最值（8大题型）讲义 2025--2026学年苏科版七年级数学上册

七上数学专题训练03 绝对值的几何意义与最值（8大题型） 题型一：两个绝对值的和的最值 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值 题型四：绝对值中最值问题的应用 题型五：已知范围的绝对值化简 题型六：未知范围的绝对值化简 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型一：两个绝对值的和的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 1． 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 2．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 3．已知A、B在数轴上分别表示a、b． (1)利用数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 A、B两点的距离 2 0 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b有何数量关系； (3)若点C表示的数为x，当点C在数轴上什么位置时，取得的值最小． 4．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 5．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 题型二：两个绝对值的差的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 6．当 时，的值最大，最大值为 ． 7、我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用： （1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸： 结合数轴回答下列问题： （1）的最小值是______； （2）的最大值是______． 8、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 9、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 10、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 题型三：多个绝对值的和的最值 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 11．先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 12．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 13．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 14．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 题型四：绝对值中最值问题的应用 16．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 17．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 18．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ； （3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 19．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． (1)如图1，①到5的距离是________；②x到的距离是________（用绝对值表示）；③若点P在点B右侧，化简________；④由图可知，的最小值是________； (2)请按照（1）问的方法思考：求的最小值是多少？ (3)如下图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小． ①汇合地点M的位置是________； A．在E，F之间               B．在F，G之间              C．在G，H之间 ②所有小朋友从小区门口到汇合地点的程之和的最小值是________． 20．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 题型五：已知范围的绝对值化简 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 21．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 22．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 23．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 24．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 25．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 题型六：未知范围的绝对值化简 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 26．如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 27．若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 28．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 29．下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 30．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 题型七：绝对值化简的新定义问题 31．下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 33．阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 34．对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：.例如：.计算的值． 35．对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|． （1）计算：2⊙（﹣3）的值； （2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b． 题型八：绝对值化简问题综合 36．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 38．当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 39．已知化简：= ． 40．已知关于的方程有四个解，化简． 答案与解析 题型一：两个绝对值的和的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 1． 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 【答案】（1）9，0；（2）；（3）当时，的值最小，最小值是6；（4）当点C表示的数在1和5之间(包括1和5)时，的值最小，最小值为4 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间的距离的表示与应用，读懂题目信息，理解两点间的距离的求解是解题的关键． （1）根据数轴计算即可得解； （2）根据（1）的计算结果解答； （3）根据绝对值的性质解答； （4）根据题目信息，表示到1和5两个数的距离的最小值，从而判断出数C在1和5之间的所有的数． 【详解】解：（1）； ， 所以，从左到右依次填9，0 ． 故答案为：9；0； （2）若A，B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系为：； （3）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为6； （4）当点C表示的数在1和5之间（包括1和5）时，|的值最小，最小值为4． 2．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 【答案】任务一：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度；任务二：（1）1或5；（2）；3或；任务三：（1）x取与4之间（包含和4）的有理数时，+的值最小；最小值是5；（2）x所表示的有理数是或；（3）x所表示的有理数的值是 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． 任务一，阅读：数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用表示， ，可求出． 任务二∶（1）数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x有两个值；（2）数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可． 任务三∶（1）指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和； （2）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离的和等于8；(3) 指数轴上表示必的点到表示2和-3的两点的距离相等． 【详解】任务一： ， 所以，数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； 任务二： （1）， 数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ， ， 故答案为：1或5 （2）， 数轴上表示x的点到表示-1的点的距离是4个单位长度， ， ， 故答案为：；3或 任务三： （1）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离和， x取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是； （2）①当点P在和4之间时，， ∴点P表示的数不在和之间， ②当点P在左边时，，， ③当点P在4右边时， ， ， 所以x的值是或， （3）即数轴上点P到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， 2到的距离是5个单位长度， ， ， 所以x的值是． 3．已知A、B在数轴上分别表示a、b． (1)利用数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 A、B两点的距离 2 0 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b有何数量关系； (3)若点C表示的数为x，当点C在数轴上什么位置时，取得的值最小． 【答案】(1)6，2，12 (2) (3)当时，取得的值最小． 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离； （2）由（1）所填写的数字，即可得出结论； （3）根据绝对值的几何意义，可得出表示的点和表示2的点之间的任何一点均满足题意，进而即可得到结论． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 6 2 4 0 A、B两点的距离 2 6 2 12 0 故答案是：6，2，12； （2）解：由（1）可得：； （3）解：∵是点C到表示的点的距离与点C到表示2的点的距离之和， ∴和2之间的任何一点均能使取得的值最小， ∴当时，取得的值最小． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离以及绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 4．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)西门和端履门； (2)①1；②1；③满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； (3)到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【分析】（1）观察图形可直接得出答案， （2）表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和；表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差；分情况讨论：当时，当时，当时，去绝对值化简即可； （3）根据这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个可求得答案． 【详解】（1）解：由图可知，到广济街的距离等于两站的地方是西门和端履门； （2）解：①在数轴上表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和， ∴当a在点1和点2之间（包括1和2），即时，的值最小，最小值为； 解：②在数轴上表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差， ∴当时，的值最大，最大值为1； 解：③∵， ∴当时，， ∴； 当时，满足条件的所有站地表示的数为0或1； 当时，， ∴； 综上，满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； （3）解：这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是是位于中间的两个，即广济站和钟楼站， 最小值是：， ∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离及绝对值的化简法则等知识点，数形结合并分类讨论是解题的关键． 5．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)①负，正；②<，>；③，； (2)； (3)①或10；②当时，最小，最小值为7，理由见解析． 【分析】（1）根据数轴得：，结合绝对值的定义即可解答； （2）根据题意可得数轴上两点间的距离等于两点之差的绝对值，由此可解； （3）①根据数a到3的距离是7可得a的值；②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小，由此可解． 【详解】（1）①由数轴可得：， ∴， 即a是负数，是正数， 故答案为：负，正； ②，， 故答案为：<，>； ③∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为：， 故答案为：； （3）①∵， ∴， 解得：或10， 故答案为：或10； ②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小， ∴当时，最小，最小值为7． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 题型二：两个绝对值的差的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 6．当 时，的值最大，最大值为 ． 【答案】 1 5 【分析】分、和三种情况讨论求出，问题随之得解． 【详解】当时，， 即， ∵， ∴； 当时，， 即； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴； 综上：，当且仅当时，有最大值，最大值为5， 故答案为：1，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简求值，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 7、我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用： （1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸： 结合数轴回答下列问题： （1）的最小值是______； （2）的最大值是______． 【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9 【分析】探究一：根据绝对值的概念可得； 探究二（2）根据绝对值的概念计算即可； （3）根据绝对值的概念计算即可； 解决问题：根据绝对值的概念计算即可； 实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念列方程解答即可； 拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念计算即可． 【详解】探究一：当b＝n时，， 故答案为：n； 探究二：（2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； 解决问题：， 故答案为：； 实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是， 故答案为：5； （2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5， ∴， ∴或， 得或， 故答案为：7或； 拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4， ∴的最小值是4， 故答案为：4； （2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9， ∴的最大值是9， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法． 8、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 9、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 ； （2）当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 10、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析； (2)； (3)当，的值总是一个固定值，为； (4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则， 这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，， 故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 题型三：多个绝对值的和的最值 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 11．先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)，1，3.5； (2)，或2； (3)； (4)； (5)1，9． 【分析】本题考查了绝对值和数轴上两点的距离，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． （1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围； （5）表示在数轴上点所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和，讨论两点之间的距离最小即可． 【详解】（1）解：如图， 点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1， ，两点之间的距离是， 故答案为：，1，3.5； （2）由题意得和之间的距离可表示为， ，两点之间的距离为3， ， 解得：或2， 故答案为：，或2； （3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等， 可得， ， 故答案为：； （4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点）， 的取值范围是． （5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和． 当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最小，最小值为0， 所以当时，的值最小， 最小值为9． 故答案为：1，9． 12．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 13．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 14．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据数轴上两点间的距离即可求解； （）由题意得，求出的值即可； （）由表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，则，从而得到即可； （）根据数轴上两点间的距离可得当时，最小； 本题考查了数轴，绝对值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，， ∴， ∴，，，，，，，，共个整数， 故答案为：； （4）解：根据题意得，当时，最小， ∴， 故答案为：． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 【答案】(1)5 (2)或0 (3)12 (4)1，8 (5)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． （1）利用两点间的距离公式计算解题； （2）利用两点间的距离公式解方程计算； （3）分不同的情况去掉绝对值解方程； （4）分在不同的取值范围时的最小值进行计算解题； （5）根据（4）中结论可以得到时，有最小值，计算即可． 【详解】（1）解：， ∴表示和2两点之间的距离是． 故答案为： （2）解：∵表示数a和的两点之间的距离是2， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或0 （3）解：当时，原方程为， 解得：（舍去）； 当时，原方程为，成立； 当时，原方程为， 解得：（舍去）； 故满足的整数为：，，0，1，2，3，4，5， 这些数的和为． 故答案为：12 （4）解：当时，原式； 当时，原式，这时； 当时，原式； 当时，原式； 故当时，的值最小，最小值是8， 故答案为：1，8 （5）解：由（4）可得，当时，的值最小， ∴ ． ∴表示的有理数在时，有最小值． 题型四：绝对值中最值问题的应用 16．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 17．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【答案】（1），； （2）或； （3），，，，； （4）垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，理清题意是解题的关键． （1）结合、两点之间的距离分析即可； （2）根据题意得到在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，结合数轴求解，即可解题； （3）根据最小在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和最小，结合数轴求解，即可解题； （4）将实际问题抽象为数轴上的动点问题，根据要垃圾中转站实现总运输成本的最小化，即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小，推出垃圾中转站的位置，再结合“生活垃圾的清理运输费用为每公里50元”求解，即可解题． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：，． （2）， 即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， 所以或， 故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时， 则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处， 此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 18．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ； （3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0；（2），，，0，1，2；（3），8；（4）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义； 表示数轴上x与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在在与2与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，当是，距离之和最小，化简即可； （4）A、B、C在数轴上分别表示1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于3，由数轴可知为：或0， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0； （2）表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数2的点的距离之和， 所以x应该在表示有理数与2的点之两点间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1，2； 故答案为，，，0，1，2； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，所以x应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离为8； 故答案为：，8； （4）解：设市民广场O原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x， A、B、C在数轴上分别表示，，1，3， 运输距离为：，其几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点、与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离的和， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， 所以x在1时最小， 最小值为， ∴此时最低成本12元，实验室P建在点B，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 19．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． (1)如图1，①到5的距离是________；②x到的距离是________（用绝对值表示）；③若点P在点B右侧，化简________；④由图可知，的最小值是________； (2)请按照（1）问的方法思考：求的最小值是多少？ (3)如下图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小． ①汇合地点M的位置是________； A．在E，F之间               B．在F，G之间              C．在G，H之间 ②所有小朋友从小区门口到汇合地点的程之和的最小值是________． 【答案】(1)；；；3 (2)5 (3)①B；② 【分析】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． （1）①根据两点之间的距离公式求解即可； ②根据两点之间的距离公式求解即可； ③若点P在点B右侧，得，，然后化简绝对值即可； ④由图1可知，当时，的最小，最小值为3； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）①如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和； ②由题意得，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【详解】（1）解：①到5的距离是； ②x到的距离是（用绝对值表示）； ③若点P在点B右侧，化简； ④由图可知， 当时，的最小， 原式， 则的最小值是3； 故答案为：；；；3； （2）解：的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； （3）解：①如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， 汇合地点的位置在F，G之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小， 故选：B； ②由题意得 ， 最小值为． 故答案为：． 20．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得； （4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可； （6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：， ； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值， 原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小， 故答案为：； （6）解：， 当时， ， ， 数a，b满足，求的最小值为． 题型五：已知范围的绝对值化简 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 21．已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的数从左到右越来越大，绝对值的化简和去括号，根据相关知识点一一计算，得到正确答案，解题的关键是要正确的去掉绝对值； 【详解】解：由数轴可知： ∴； ∴原式， ， ． 故选：D． 22．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 【答案】 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 24．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 25．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)①2；②0；③ (2)或1 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）通过分析确定出a，b，c的符号，三个全为负或其中一个为负，再利用绝对值的意义化简运算即可． 【详解】（1）解：①∵时， ∴，， ∴ ， 故答案为：2； ②当时， ∴，， ∴ ， 故答案为：0； ③当，时， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当时，都小于0，或中一个小于0，另外两个都大于0， 即分两种情况讨论： ①当，，时， ， ②当中一个小于0，另外两个都大于0时，不妨设， ， 综上所述：或1． 题型六：未知范围的绝对值化简 绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即. 26．如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 27．若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 28．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 29．下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 30．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 【答案】7 【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答． 【详解】解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 题型七：绝对值化简的新定义问题 31．下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 32．对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定，举例见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可得到答案； （2）根据、在数轴上的位置判断正负进行化简即可； （3）根据题意进行举例即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故； （3）解：不一定， 时，即， 当时， 此时，等式成立，但， 故不一定有或者． 33．阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 【答案】(1)15 (2)点M到A，B两点的距离之和 【分析】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和数轴上两点间距离． （1）代入两点间的距离公式即可求得的长； （2）根据表示的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，10， ∴； 故答案为：15； （2）解：式子表示的意义为：点到A，B两点的距离之和； 故答案为：点到A，B两点的距离之和． 34．对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：.例如：.计算的值． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算“”的定义计算即可． 【详解】解： 35．对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|． （1）计算：2⊙（﹣3）的值； （2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b． 【答案】（1）6；（2）﹣2b 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出b＜0＜a，且|a|＜|b|，再计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：2⊙（﹣3）＝|2＋（﹣3）|＋|2﹣（﹣3）|＝1＋5＝6； （2）从a，b在数轴上的位置可得a＋b＜0，a﹣b＞0， ∴a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|＝﹣（a＋b）＋（a﹣b）＝﹣2b． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型八：绝对值化简问题综合 36．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 37．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【分析】可得，从而可得；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【详解】解：是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 38．当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 39．已知化简：= ． 【答案】-a-3b-c 【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可. 【详解】解：∵ ∴a≤0，b＜0，c≥0 ∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0 ∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c 故答案为-a-3b-c. 【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键. 40．已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $