精品解析：河南省鹤壁市高中2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试卷

鹤壁市高中2028届高一第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 3. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据“”用于元素与集合，“”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对. 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错； 对于②，是任意集合的子集，故②对； 对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对； 对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错； 对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错. 故错误的有①④⑤，共3个， 故选：C. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 5. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 6. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】令，表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】解：令则， 则， 又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质以及整体代入法，掌握不等式的性质是解题关键,基础题． 7. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】“孤立元”为的集合为，，，， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为，，，， 综上：满足题意的集合有13个. 故选：D 8. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先分二次项系数为正得到解集，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数为负得到解集，因为里面包含了正负两种情况，所以再次分类讨论，得到可能的解集中的三个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用含量词的命题的否定要求判断即可；对于B，取反例排除即可；对于C，与B项同，取反例排除；对于D，按照充要条件的要求，从两个角度完成推理即得. 【详解】对于A，含量词的命题的否定包括改变量词和否定结论，所以A正确； 对于B，若取，满足，但即， 故“”不是“”的必要条件，即B错误； 对于C，若取，但不满足，故命题“”是假命题，即C错误； 对于D，若，方程的根的判别式， 设两根为，则，故方程有一正一负根； 若方程有一正一负根，则由可得， 且两根之积，故得，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若实数a，b，c满足，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不含参一元二次不等式的解法解不等式，即可判定选项A；根据不等式的性质即可判定选项B；利用基本不等式可判定选项C；根据不等式恒成立的解法求出k的范围，即可判定选项D. 【详解】对A，由解得或，所以A正确； 对B，由于，所以可以对两边同除，得到，所以B正确； 对C，由于，所以当且仅当，即时取等号，显然不成立，所以C错误； 对D，①当时，不等式为，恒成立； ②当时，若要使不等式恒成立，则，解得， 所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，所以D错误. 故选：AB． 11. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断. 【详解】A. 因为，故正确； B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确； C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误； D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合.若，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合子集的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 此时，满足题意. 故答案为：1 13. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据为真命题，得，故，根据，为真命题得，即可求解. 【详解】命题为真命题，则使得，故，故， 若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得， 故命题为真命题，命题为假命题，则，解得， 故答案为： 14. 设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是___________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用“完美集”的定义逐一判断各命题即可. 【详解】对于①，若是“完美集”，且， 假设也是“完美集”，设，在中任取一个， 此时可证得，否则若，由于也是“完美集”， 则，与矛盾，故， 由于是“完美集”， 也是“完美集”，所以， 而，这与矛盾， 故当且是“完美集”时，则不是“完美集”， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故①错误； 对于②，取，则， 又是“完美集”，， ， 所以是“完美集”，故②正确； 对于③，当集合时，显然它是“完美集”，即可以是有限集，故③正确； 对于④，取“完美集”， 则，但，即此时不是“完美集，故④错误． 故答案为：②③． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用交集的定义求解即得； （2）利用集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 当时，， 则 【小问2详解】 当，即时，，符合题意，则； 当，即时，得，解得， 所以的取值范围是． 16. 已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据交集的概念可知2是的元素，可得，并进行验证，可得结果. （2）先得到，，根据，可得，由此列出不等式求解，即可得结果. 【详解】（1）因为，所以是集合中的元素， 即，解得或， 当时，集合，，所以，不满足题意，舍去； 当时，集合，所以，满足题意； 综上，； （2）由（1）知，， 又，所以； 因此只需，解得. 即的取值范围为. 17. 为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)10;(2)424 【解析】 【分析】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等式，求解即可； (2)表示，利用基本不等式，即得最小值. 【详解】设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得， (1)因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以， 所以，解得， 又，所以，所以宽的最大值为10米； (2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得， ， 当且仅当米时，等号成立. 所以整个绿化面积的最小值为()平方米. 18. 已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）结合已知等式，结合基本不等式进行求解即可； （2）问题转化为解不等式，结合已知等式，利用基本不等式求出，然后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，， 所以有，当且仅当时，取等号，即且时，取等号，所以xy的最大值为； （2）因为，所以，而， 所以有： ， 即，当且仅当时，取等号，即且时，取等号， 因此，要想不等式恒成立， 只需成立，即，解得. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学运算能力. 19. 已知关于的二次函数． （1）若的解集为，求实数a、b的值； （2）若实数满足，求关于的不等式的解集． （3）已知二次函数有两个正实数零点，且满足，求的最大值． 【答案】（1），. （2）当时，解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）化简可得，再以0，1为分界点讨论a的范围，求解不等式即可； （3）由韦达定理及判别式得到和，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ∵的解集为或， ∴与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：， 解得，. 【小问2详解】 ∵，则不等式化为：， 因式分解为：(). 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为或. 【小问3详解】 因为二次函数有两个正实数零点， 所以，又， 可得， 也即，即，结合， 可得，解得， 所以 ， 当且仅当即时取等号， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤壁市高中2028届高一第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 7. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若实数a，b，c满足，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合.若，则实数______. 13. 已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 14. 设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围. 17. 为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 18. 已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知关于的二次函数． （1）若的解集为，求实数a、b的值； （2）若实数满足，求关于的不等式的解集． （3）已知二次函数有两个正实数零点，且满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $