第06讲基本不等式1 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第06讲基本不等式1 考点1.由基本不等式比较大小 【例题1】（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 考点2.利用基本不等式求和的最小值 【例题1】（2005·重庆·高考真题）若是正数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 考点3.和定求积的最大值 【例题1】．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【针对训练】 1．（23-24高三上·福建厦门·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（20-21高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·浙江金华·期末）已知实数，，且，则（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·上海·开学考试）若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为 ． 考点 4.条件等式求最值 【例题1】．（24-25高一上·云南昆明·期中）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 3.（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 4.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则的最大值为 ． 考点5.利用基本不等式求多项式的最值 【例题1】．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【针对训练】 1．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 2．（2010·重庆·高考真题）已知，则函数的最小值为 . 3．（2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为 . 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 5．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为 ． 考点6.证明不等式 【例题1】．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【针对训练】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 3．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲基本不等式1 考点1.由基本不等式比较大小 【例题1】（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例题2】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 【针对训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 考点2.利用基本不等式求和的最小值 【例题1】（2005·重庆·高考真题）若是正数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】 当且仅当或时取等号. 【针对训练】 1．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 考点3.和定求积的最大值 【例题1】．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 【针对训练】 1．（23-24高三上·福建厦门·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 故选：A 2．（20-21高二下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为，，， 则，即， 解得，当且仅当时取等号，故A正确，C错误； 又，则， 即，解得，即，当且仅当时取等号， 3．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 4.（24-25高二下·浙江金华·期末）已知实数，，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，取，满足，，且，不符合，故A错误， 对于B，由，，且，由基本不等式可得，当且仅当取到等号，故B正确， 对于C，由可得，结合，故，，则，故C正确， 对于D， ，结合，故，当且仅当取到等号，故D错误. 故选：BC 5.（25-26高一上·上海·开学考试）若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为 ． 【答案】8cm2 【详解】设直角三角形的两条直角边的长度分别为，则， 直角三角形的面积，取等条件为， 故直角三角形面积的最大值为. 考点 4.条件等式求最值 【例题1】．（24-25高一上·云南昆明·期中）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由得：， ； 当时，； 当时， （当且仅当，即时取等号）； 当时，（当且仅当，即时取等号）； 综上所述：，即的最大值为. 【针对训练】 1．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 2.（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 3.（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【详解】方法1，由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 方法2，因为，所以，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时，取到最大值25，即的最大值为25． 4.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则的最大值为 ． 【详解】因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2． 考点5.利用基本不等式求多项式的最值 【例题1】．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【针对训练】 1．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 2．（2010·重庆·高考真题）已知，则函数的最小值为 . 【答案】-2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】解析：，当且仅当时， 3．（2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为 . 【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 【答案】16 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 5．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为 ． 【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则. 考点6.证明不等式 25．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【针对训练】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【详解】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 3．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $