2.5.1直线与圆的位置关系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，课堂导入先回顾初中定性研究，再类比直线方程定量分析方法，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生通过方程定量研究位置关系。 其亮点在于采用代数法与几何法对比教学（如例1两种解法），培养数学思维中的逻辑推理与运算能力，结合圆拱桥、触礁问题等实例（例3、例4），发展数学眼光与建模意识。课堂小结系统梳理方法，助力学生构建知识体系，教师可高效引导学生掌握重点。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 在平面几何中，我们定性研究过直线与圆位置关系，前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系. 课堂导入 下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 我们知道，直线与圆有三种位置关系: (1) 直线与圆相交，有两个公共点; (2) 直线与圆相切，只有一个公共点; (3) 直线与圆相离，没有公共点. 思考 在初中, 我们怎样判断直线与圆的位置关系? 根据上述定义, 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? 下面，我们通过具体例子进行研究. 课堂导入 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 解1:(代数法) 典例精讲 解2:(几何法) x O y 6 2 1 B A d l C • 例1 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0, 判断直线l与圆C的位置关系; 如果相交, 求直线l被圆C所截得的弦长. 典例精讲 (1) 代数法： ① △＞0 消去y(或x), 得到关于x(或y)的一元二次方程. 利用一元二次方程的判别式△确定解的情况, 判断直线与圆位置关系： 直线l与圆C相交； 方程有两不等实根 ② △＝0 直线l与圆C相切； 方程有两个相等实根 ③ △＜0 直线l与圆C相离. 方程无实数根 在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系, 可以联立它们的方程, 通过方程组 若相交, 可以由方程组(1)解得两交点坐标利用两点间的距离公式求得弦长. 判断直线与圆位置关系的方法 总结提升 ③ d＞r 已知直线l: Ax+By+C=0, 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2. 设圆心C到直线l的距离为d，则有 ① d＜r 直线l与圆C相交； ② d＝r 直线l与圆C相切； 直线l与圆C相离. 判断直线与圆位置关系的方法 (2) 几何法： 根据圆的方程求得圆心坐标与半径r, 从而求得圆心到直线的距离d, 通过比较d与r的大小, 判断直线与圆的位置关系. 若相交, 则可利用勾股定理求得弦长. x y O A B d C 若直线l与圆C相交, 则弦长公式为 r 总结提升 牛刀小试 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 解1:(几何法) • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) r 典例精讲 解2:(代数法) • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) r 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2＋y2＝1的切线l, 求切线l的方程. 典例精讲 求过已知点的圆的切线的方法 ①如果已知点在圆上，那么圆心和已知点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程． ②如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时要先判定斜率是否存在，否则可能会漏解.　 总结提升 总结提升 直线与圆相交时弦长的两种求法： (2)代数法（公式法）：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)几何法：如图示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 • x O y l C d A B r 弦长公式 总结提升 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m). A B P A1 A2 A3 A4 P2 O x y 解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为 由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有 所以，圆的方程是 解得 把 代入上式，得 所以支柱A2P2的高度约为3.86m. 典例精讲   例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m). 典例精讲 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险? • 港口 x O y • 轮船 • 解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0). 轮船航线所在直线l的方程为 联立直线l与圆O的方程，消去y，得 由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险. 典例精讲 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下： ①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题. ②通过代数运算，解决代数问题. ③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论. 建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴. ②常选特殊点作为直角坐标系的原点. ③尽量使已知点位于坐标轴上. 建立适当的直角坐标系，会简化运算过程. 总结提升 坐标法“三步曲” 巩固训练 巩固训练 巩固训练 总结提升 2. 过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为_________________. x=3或4x-3y-15=0 3. 过点P(1, 3)与圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10相切的切线方程为____________. 3x－y＝0 • x O y • P(3,-1) C(4,2) • x O y C(4,2) • P(3,-1) 巩固训练 (2) 若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点, 则实数a的取值范围是 (　 ) A．[－3,－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞,－3]∪[1,＋∞) 4.(1) 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 C C • -1 x O y • P(0,-1) 巩固训练 5.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.  巩固训练 判 直线与圆有两个交点 直线与圆有一个交点 直线与圆没有交点 d>r 法1：定义法 法2：几何法 法3：代数法 相离 相切 相交 d=r d<r 位 种 类 课堂小结 断 置