2.4.1圆的标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程及点与圆位置关系，从圆的几何定义出发，通过问题引导学生推导方程，搭建几何直观到代数表达的学习支架，衔接平面几何与解析几何知识。 其亮点在于注重概念形成与多法解题，通过推导过程培养数学抽象（数学眼光），典例精讲中代数法与几何法对比（如例2待定系数法与垂直平分线求圆心）发展逻辑推理（数学思维），小结明确方程特点及位置关系的代数几何对应强化数学表达（数学语言）。学生能深化数形结合能力，教师可直接用分层练习与方法总结提升教学效果。

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 课堂导入 问题1：我们是如何建立直线的方程的？ 类比直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要索. 新课讲授 追问：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 定点(圆心) 定长(半径) 位置 大小 新课讲授 · r A x y O 问题2：设A圆心为A(a,b),半径为r,设点M (x,y)为圆A上任意一点.如何建立圆的方程？ |MA|= r P = { M | |MA| = r } A就是以下点的集合 新课讲授 M(x,y) · r A x y O 它是关于x、y的二元二次方程，明确给出了圆心坐标和半径，确定该方程需三个参数, 即 a、b、r. 若圆心在坐标原点, 则圆的方程为 x2 + y 2 = r2 以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 r M x A(a,b) O y • • (x,y) 方程的特点: 新课讲授 若圆心在坐标原点且半径为1, 则圆的方程为 x2 + y 2 = 1 ⅹ 判断正误 (1)方程（x-a)2 + (y-b)2 =m2一定表示圆. ( ) (2)圆（x+1)2 + (y+2)2 =4的圆心坐标是（1,2）,半径是4. ( ) (3)若圆的标准方程为（x+m)2 + (y-n)2=a2,(a≠0)则圆的半径一定是a. ( ) 牛刀小试 ⅹ ⅹ 圆心 半径 典例精讲 例1、求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上. 位置 大小 a,b r 分析： 圆唯一确定 方程唯一确定 几何 代数 x A(2,-3) O y • 解：圆心为A(2, -3)，半径为5 的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25. 典例精讲 例1、求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上. 点是否在圆上 典例精讲 例1、求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上. 与圆心距离是否为r 坐标是否满足方程 分析： 几何 代数 x A(2,-3) O y • 把点M1(5, -7)的坐标代入圆的标准方程，得 (5-2)2+(-7+3)2=25， 即点M1的坐标满足该方程， ∴点M1在这个圆上. • M1(5,-7) 典例精讲 (x-2)2+(y+3)2=25. 例1、求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上. x A(2,-3) O y • M(-2,-1) • 把点M2(-2, -1)的坐标代入圆的标准方程，得 (-2-2)2+(-1+3)2=20， 即点M2的坐标不满足该方程， ∴点M2不在这个圆上 . 典例精讲 (x-2)2+(y+3)2=25. 例1、求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上. • M1(5,-7) 设⊙A的标准方程为 ， 则点M0(x0, y0)与圆的位置关系为： 小结感悟 几何角度 代数角度 ⇔ 例2、 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. 典例精讲 圆 圆心半径未知 a,b,r待定 分析： 确定圆心半径 解出a,b,r 几何 代数 联立方程组 外接圆定义 例2、 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. 解1： 典例精讲 (待定系数法) x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • r M • 解2： 典例精讲 例2、 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. 小结感悟 用待定系数法求解圆的标准方程的一般步骤 设标准方程为 列出三元二次方程组 解方程组 写出圆的标准方程 典例精讲 例3、 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程． 圆 圆心半径未知 a,b,r待定 分析： 确定圆心半径 解出a,b,r 几何 代数 联立方程组 外接圆定义 解1：(待定系数法) 由已知条件可得 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 典例精讲 a-b+1=0 (1-a)2+(1-b)2=r2 , (2-a)2+(-2-b)2=r2 解得a= -3,b=-2,r=5. ∴所求圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 例3、 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程． 解2： • x O y A(1,1) • • B(2,-2) l 典例精讲 例3、 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程． 解3： • x O y A(1,1) • • B(2,-2) l 典例精讲 例3、 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程． -3 -2 已知一圆的圆心为C(-8, 3), 且经过点M(-5, -1). （1）求该圆的标准方程； （2）分别判断点M1(-4, 5)，M2(2, 0)，M3(-3, 3)与该圆的位置关系. 巩固训练 （1） (x+8)2＋(y-3)2＝25 （2） M1(-4, 5)在圆内 M2(2, 0)在圆外 M3(-3, 3)在圆上 1. 圆的标准方程： 以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 2. 点M0(x0, y0)与圆 的位置关系： 课堂小结 课后作业 1.完成课本第85页练习1,3,4； 2.完成学案导学2.4.1部分. $