2.3.1直线的交点坐标、2.3.2两点间的距离公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线的位置关系（交点坐标、平行与重合判定）及两点间距离公式，从联立方程组求交点切入，通过课堂探究引出概念，结合典例精讲巩固方法，总结代数解与几何位置的对应关系，再过渡到距离公式的向量法与勾股定理推导，构建连贯的知识支架。 其亮点在于通过多方法推导公式（向量法、勾股定理）培养数学思维，结合方程组解的情况分析直线位置关系发展数学眼光，坐标法证明几何命题强化数学语言表达。例如用坐标法证明平行四边形对角线性质，帮助学生建立代数与几何的联系，教师可借助系统的典例与总结提升教学效率。

2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 两条直线的位置关系 复习引入 直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0 复习引入 (分母不为零时) 思考 已知两条直线l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0相交, 它们的交点坐标与直线l1, l2的方程有什么系? 你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗? O y x P 设这两条直线的交点为P, 则点P既在直线l1上, 也在直线l2上, 所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0, 也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0, 即点P的坐标是方程组 的解, 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 课堂探究 O y x P 1. 两条直线的交点坐标: 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则直线l1 与 l2 相交,方程组的解就是交点的坐标. 课堂探究 例1 求下列两条直线的交点坐标, 并画出图形: l1: 3x+4y 2=0, l2: 2x+y+2=0. M l1 x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 l2 典例精讲 例2 判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标.(1) l1: x-y=0, l2: 3x+3y-10=0; (2) l1: 3x-y+4=0, l2: 6x-2y-1=0; (3) l1: 3x+4y-5=0,l2: 6x+8y-10=0. 典例精讲 一般地,对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组 总结感悟 直线l1、l2联立得方程组 (代数问题) (几何问题) 总结感悟 1、 求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程. 因为直线l和直线3x+y-1=0平行,所以直线l的斜率k=-3. 应用举例 解2:设直线l的方程为(2x-3y-3)+ (x+y+2)=0, 即(2+ )x+( -3)y+2 -3=0. 应用举例 1、 求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程. 求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法:一般是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件求出直线方程. ②直线系法:先设出过两直线交点的直线系方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.如过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). 总结感悟 思考:经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程还可以怎样表示? m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0 A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0或 总结感悟 13 2、求证: 不论m为何实数, 直线 (m-1)x+(2m-1)y=m-5都恒过某一定点. 应用举例 总结感悟 1. 两条直线的交点坐标: 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则直线l1 与 l2 相交,方程组的解就是交点的坐标. (1) 平行直线系方程: 2.直线系: 具有某一共同属性的一类直线的集合. (2) 垂直直线系方程: 与直线Ax+By+C= 0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m≠C), m是参变量. 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n是参变量). (3) 共点直线系方程: 经过两直线l1: A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0,其中 是参变量,它不表示直线 l2 . 课堂小结 2.3.2 两点间的距离 我们知道,在各种几何量中,直线段的长度是最基本的. 所以,在解析几何中,最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 探究 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2 | ? O y x P1(x1,y1) • • P2(x2,y2) 我们用平面向量的知识来解决. 如图, 由点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 得 于是 课堂探究 由此得到P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式为: 特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的 距离为: 思考 你还有其它推导两点间的距离公式的方法吗? 课堂探究 如图,以P1P2为斜边构造一个Rt P1P2Q,则点Q的坐标为 利用P1(x1, y1), P2(x2, y2)构造直角三角形,再用勾股定理推导两点间距离公式. 与向量法比较,你有什么体会? O y x P1(x1,y1) • • P2(x2,y2) Q (x2,y1) (x2, y1). 由勾股定理得 ∴平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为 课堂探究 例3 已知点A(-1, 2), B(2, ), 在x轴上求一点P, 使得|PA|=|PB|, 并求|PA|的值. 典例精讲 例4 用坐标法证明: 平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍. y x O (a+b,c) A B D C (b,c) (0,0) (a,0) 证明: 如图示, 四边形ABCD是平行四边形, 以顶点A为原点, 边AB所在直线为x轴, 建立平面直角坐标系. 在 ABCD中, 点A的坐标是(0, 0), 设点B的坐标为(a,0), 点D的坐标为(b,c), 由平行四边形的性质, 得点C的坐标为(a+b,c). 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍. 典例精讲 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关的代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系. 在“平面向量及其应用”的学习中,我们用“向量法”证明过 这个命题. 你能回忆一下证明过程吗? 比较“坐标法”和“向量法”,你有什么体会? 用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤: 总结感悟 思考1:已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则 y2-y1可怎样表示?从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形? 思考2:已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),直线P1P2的斜率为k,则x2-x1可怎样表示?从而点P1和P2的距离公式又可作怎样的变形? 课堂探究 24 思考3:两个结论是两点间距离公式的两种变形,其使用条件分别是什么? 思考4:若已知 和 ,如何求 ? 课堂探究 25 1、如图,在 ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点, 求证:|AB|2=|AD|2+|BD| |DC|. 思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明. 典例解析 应用举例 证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系. 设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b). 则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2, |AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2, |BD| |DC|=|m+b| |b-m| =(b+m)(b-m)=b2-m2, ∴|AD|2+|BD| |DC|=a2+b2, ∴|AB|2=|AD|2+|BD| |DC|. 应用举例 应用举例 解1:由方程组解得 所以根据点斜式有y-=-3, 即所求直线l的方程为15x+5y+16=0. ∵直线l与直线3x+y-1=0平行, ∴2+ -3( -3)=0,解得 =. ∴直线l的方程为x+y+2 -3=0. 化简得15x+5y+16=0. 证2:直线方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0. 若对任意m都成立, 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x+2y-1=0,,x+y-5=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x=9,,y=-4.)) 所以不论m为何实数,所给直线都过定点P(9,-4). 证1:取m=0可得x+y-5=0 ①,取m=1可得y=-4 ②. 联立①②解得x=9,y=-4. 所以不论m为何实数,所给直线都过定点P(9, -4). 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解. (2)法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0,其中 是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x+B1y+C1=0,,A2x+B2y+C2=0))解得. 若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0). 则y=|PA|+|PB|. ∵P是x轴上的动点,A,B是两个定点, ∴|PA|+|PB|≥|AB|=eq \r(13), ∴当P,A,B三点共线时,ymin=eq \r(13). 2、函数y=eq \r(x2+1)+eq \r(x2-4x+8)的最小值是( ) A.0 B.eq \r(13) C.13 D.不存在 解析:原函数可化为y=eq \r( x-0 2+ 0-1 2)+eq \r( x-2 2+ 0+2 2), 设P(x,0),A(0,1),B(2,-2). $