2.2.2直线的两点式方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过“思考3”“思考4”等探究问题导入，承接点斜式方程引导学生自主推导两点式，再结合例3过渡到截距式，构建从定义推导到应用辨析的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，如对比两点式与截距式联系区别培养数学思维，通过例4用三角形顶点求方程落实数学语言表达。课堂小结表格清晰呈现方程形式条件与范围，学生能提升逻辑推理与探究能力，教师可直接利用典例练习优化教学流程。

2.2.2 直线的两点式方程 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k 注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解. 不含与x轴垂直的直线 不含与x轴垂直的直线 复习回顾 2 思考1 已知直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2), 因为两点确定一条直线, 所以直线l是唯一确定的. 由经过两点P1, P2的直线的斜率公式可以求出直线l的斜率, 然后再利用直线的点斜式方程即可得到直线l的方程. 当x1 ≠ x2时, 经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线的斜率为 课堂探究 也就是说, 对于直线l上的任意一点P(x, y), 它的坐标与点P1, P2的坐标之间具有唯一确定的关系, 这一关系是什么呢? x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l 任取P1, P2中的一点, 例如, 取点P1(x1, y1), 由直线的点斜式方程, 得 当y1 ≠ y2时, 方程可写为 这就是经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)的直线的方程，我们 把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 课堂探究 思考2 两点式方程适用所有直线吗? 3. 直线的两点式方程 若直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2), 则直线l 的两点式方程为 在P1(x1, y1), P2(x2, y2)中, 如果x1 = x2或 y1 = y2, 则直线P1P2没有两点式方程. 当x1 = x2时, 直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1= 0, 即x = x1. 当y1=y2时, 直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1= 0, 即y = y1. x = x1 x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l y = y1 x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l 课堂探究 思考3 不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗? x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) l P(x, y) 课堂探究 例3 如图, 直线l与x轴的交点是A(a,0), 与y轴的交点是B(0,b), 其中a ≠ 0, b ≠ 0 , 求直线l 的方程. 解： 其中, a叫做直线在x轴上的截距, 简称横截距, b叫做直线在y轴上的截距, 简称纵截距. x y O A B l 将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得 即 ① 方程①由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定, 我们把方程①叫做直线的截距式方程, 简称截距式. 典例精讲 4. 直线的截距式方程 若直线l经过两点P1(a, 0), P2(0, b) (a ≠ 0, b ≠ 0), 即l在x, y轴上的截距分别为a, b, 则直线l的截距式方程为 注意：截距可以取全体实数, 但截距式方程中的截距, 是指非零的实数；因此截距式方程不包括过原点的直线方程, 不包括与坐标轴垂直的直线方程. 课堂探究 思考4 截距式和两点式有何联系和区别？ 牛刀小试 A.a2　　　B.b2 C.-b2 D.|b| 答案:C 牛刀小试 牛刀小试 B 例4 已知三角形的三个顶点A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求边BC所在直线的方程, 以及这条边上的中线AM所在直线的方程. M x y O B(3,-3) C(0,2) -5 2 -3 3 A(-5,0) 典例精讲 P 解： 变式 三角形的顶点是A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求： (1) AB边上高线所在直线的方程； (2) AC边上中垂线所在直线的方程. (1) 由AB边上高线过C(0,2)， 且垂直于AB, 故AB边上高线所在直线的方程为 ∴高线的斜率为 即 M x y O B(3,-3) C(0,2) -5 2 -3 3 A(-5,0) 典例精讲 N 解： 变式 三角形的顶点是A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求： (1) AB边上高线所在直线的方程； (2) AC边上中垂线所在直线的方程. (2) ∵AC边上中垂线过AC边的中点 且垂直于AC, ∴中垂线的斜率为 ∴AC边上中垂线所在直线的方程为 即 x y O B(3,-3) C(0,2) -5 2 -3 3 A(-5,0) 典例精讲 答案：B 巩固训练 2、 直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程. 解:由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程. 跟踪训练 巩固训练 巩固训练 3、直线L与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，－1)，则L的斜率是________．   4、如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90°,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少? 思路分析将问题转化为在线段AB上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB的方程.这里设点P的坐标是关键. 金题典例 巩固训练 解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0), 巩固训练 19 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距为b, 且斜率为k 两点式 过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 截距式 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况. 不含与x轴垂直的直线 不含与x轴垂直的直线 不含与x, y轴垂直的直线 不含过原点和与x, y轴垂直的直线 课 堂 小 结 1．在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) A．eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1 B．eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1 C．eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D．eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1 答案A　 解析：由截距式方程知直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1.选A. 2.直线=1(ab≠0)在y轴上的截距是(　　) 解析:原直线方程化为截距式方程为=1, 故在y轴上的截距是-b2. 1、过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 　解析：①过原点时，直线方程为y＝－eq \f(3,4)x. ②直线不过原点时，可设其方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1， ∴eq \f(4,a)＋eq \f(－3,a)＝1，∴a＝1.∴直线方程为x＋y－1＝0. 所以这样的直线有2条，选B. 设直线l的方程为=1,则a+b=12. ① 又直线l过点(-3,4), 所以=1. ② 由①②解得 故所求的直线方程为=1或=1, 即x+3y-9=0或4x-y+16=0. 【解析】　设P(m，1)，由线段PQ的中点是(1，－1)，得Q(2－m，－3)， ∴2－m－(－3)－7＝0，得m＝－2， ∴P(－2，1)， ∴k＝eq \f(1－（－1）,－2－1)＝－eq \f(2,3). ∴AB所在直线的方程为=1,即y=60(1-). ∴y=60-x.从而可设P(x,60-x),其中0≤x≤90, ∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y). 故S=(300-x)(240-60+x)=-x2+20x+54 000(0≤x≤90), ∴当x=-=15,且y=60-×15=50时, S取最大值为-×152+20×15+54 000=54 150(m2). 因此点P距AE 15 m,距BC 50 m时所开发的面积最大,最大面积为54 150 m2. $