2.1.2两条直线平行和垂直的判定 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线平行与垂直的判定，从复习倾斜角、斜率的定义及公式入手，通过“几何要素→代数表示”的思路搭建学习支架，引导学生从旧知自然过渡到用斜率研究直线位置关系的新知。 其亮点在于以数学思维为核心，通过逻辑推理（如用方向向量数量积证明垂直判定）和分类讨论（斜率存在与否的情况）深化理解，结合典例（如例3判断平行四边形）和步骤化总结（判定步骤表格），帮助学生形成结构化知识。既培养学生的推理意识与数学语言表达能力，又为教师提供清晰的教学流程与分层训练素材，提升教学效率。

第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行与垂直的判定 直线的倾斜角 斜率 斜率公式 定义 范围 相交,x轴正向与直线方向 复习回顾 为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线,我们从确定直线位置的几何要素出发,引入直线的倾斜角,再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率,从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度,并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式,从而把几何问题转化为代数问题. 下面,我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系. 复习引入 思考 我们知道,平面中两条直线有两种位置关系:相交、平行. 当两条直线l1与直线l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系? O y x 1. 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 若没有特别说明,说“两条直线l1, l2”时,指两条不重合的直线. 3. 若直线l1, l2重合,此时仍然有k1 =k2. 用斜率证明三点共线时,常常用到这个结论 . 2. 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为 90 , 显然有l1 // l2. 1. 两条直线平行 课堂探究 倾斜角 斜率 question1:如何证明两直线重合/三点共线? 例2 已知A(2, 3), B(-4, 0), P(-3, 1), Q(-1, 2), 试判断直线AB与PQ的位置关系, 并证明你的结论. O y x • B(-4,0) A(2,3) • P(-3,1) • Q(-1,2) • 典例精讲 归纳总结 总结提升 例3 已知四边形 ABCD的四个顶点分别为A(0, 0), B(2, -1), C(4, 2), D(2, 3),试判断四边形ABCD的形状, 并给出证明. O y x • A B(2,-1) • C(4,2) • D(2,3) • 典例精讲 归纳总结 总结提升 2. 两条直线垂直 思考 显然, 当两条直线相交时, 它们的斜率不相等; 反之, 当两条直线的斜率不相等时, 它们相交, 在相交的位置关系中, 垂直是最特殊的情形, 当直线l1, l2垂直时, 它们的斜率除了不相等外, 是否还有特殊的数量关系? O y x 设两条直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则直线l1, l2的方向向量分别是 , 于是 也就是说 当直线l1或l2的倾斜角为90 时, 若l1⊥l2, 则另一条 直线的倾斜角为0 ; 反之亦然. 如果两条直线都有斜率, 且它们互相垂直, 那么它们的斜率之积等于-1; 反之, 如果两条直线的斜率之积等于-1, 那么它们互相垂直. 即 课堂探究 课堂探究 question2:除了利用方向向量的数量积,还能如何证明? 定义——tan 的诱导公式 例4 已知A(-6, 0), B(3, 6), P(0, 3), Q(6, -6), 试判断直线AB与PQ的位置关系. 典例精讲 例5 已知A(5, -1), B(1, 1), C(2, 3)三点, 试判断 ABC的形状. O y x • B(1,1) • C(2,3) • A(5,-1) • 典例精讲 O y x 1. 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 2. 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为90 , 显然有l1 // l2. O y x 当直线l1或l2的倾斜角为90 时, 若l1⊥l2, 则另一条直线的倾斜角为0 ; 反之亦然. 重点小结 牛刀小试 1、判断下列各对直线是否平行或垂直: (1) 经过A(2, 3), B(-1, 0)两点的直线l1, 与经过点P(1, 0)且斜率为1的直线l2; (2) 经过C(3, 1), D(-2, 0)两点的直线l3, 与经过点M(1, -4)且斜率为-5的直线l4. 巩固训练 2、已知A(-1, -1), B(1, 3), C(2, 5), 证明A, B, C三点共线. 巩固训练 解1: 设 D(x,y), 则由已知 A x y O B C D 得 即 即 又 由B,D,C三点共线, 得 即 即 ① ② 联立 ① ②解得: 3、已知 ABC, A(2, -1), B(3, 2), C(-3, -1), BC边上的高为AD,求D点及向量 的坐标. 巩固训练 解2: 设 D(x,y), 则由已知得 即 即 ① ② 联立 ① ②解得: A x y O B C D 3、已知 ABC, A(2, -1), B(3, 2), C(-3, -1), BC边上的高为AD,求D点及向量 的坐标. 巩固训练 4、已知的顶点B(2, 1), C(-6, 3)其垂心为H(-3, 2), 求顶点A的坐标. A B C H 解: 则由题意 且 设顶点A(x, y), 得 即 解方程组得:x =-19, y =-62. ∴A(-19, -62). 巩固训练 1.两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 1= 2≠90 1= 2=90 对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两直线的斜率都 图示 k1=k2 不存在 课堂小结 2.两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) l1的斜率不存在,l2的斜率为0 k1k2=-1 l1⊥l2 课堂小结 课堂小结 课堂小结 判断两直线是否平行的步骤 利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤 eq \x(描点) eq \x(在坐标系中描出给定的点) eq \x(猜测) eq \x(根据描出的点,猜测图形的形状) eq \x(求斜率) eq \x(根据给定点的坐标求直线的斜率) eq \x(结论) eq \x(由斜率之间的关系判断形状) 点睛:利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率,特别是含参数的问题,必须要分类讨论;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解. (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.( ) (2)若l1∥l2,则k1=k2.( ) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( ) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.( ) 答案: (1) 也可能重合. (2) l1∥l2,其斜率不一定存在. (3) 不一定垂直,只有另一条直线斜率为0时才垂直. (4)√ $