4.6 线段的垂直平分线 导学案 2025-2026学年湘教版（2024） 数学八年级上册

4.6 第1课时 线段的垂直平分线的性质 素养目标 1.经历探究垂直平分线的过程,理解垂直平分线的性质定理. 2.知道垂直平分线性质的逆定理,能判定一个点是否在线段的垂直平分线上. 3.能画出等腰三角形底边的垂直平分线,解决简单的几何问题. 重点 线段的垂直平分线的性质. 【自主预习】 1.线段的垂直平分线上一点到线段的两个端点的距离有什么关系? 2.到线段的两个端点的距离相等的点在什么线上? 1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的长为 (　　) A.3 B.4 C.2 D.6 2.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的 (　　) A.三条中线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点 【合作探究】 知识点一：线段的垂直平分线的性质1 阅读课本本课时“探究”及之前的内容,回答下列问题. 1.垂直且平分一条线段的　　　　叫作这条线段的　　　　线.线段是　　　　图形,线段的　　　　是它的对称轴.  2.(1)猜想:如图,在线段AB的垂直平分线CD上任意取一点P,由于PD是线段AB的对称轴,PA=PB吗? (2)如何证明PA=PB? 已知CD是线段AB的垂直平分线,设O是垂足. 则有, 所以△AOP≌　　　　,可得PA=　　　　.  　　线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　　　　.  1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,ED为AB的垂直平分线,则∠EBC的度数是 (　　) A.50° B.40° C.30° D.70° 知识点二：线段的垂直平分线的性质2 阅读课本本课时“说一说”至“例1”的内容,回答下列问题. 1.回忆:写出线段的垂直平分线的性质的逆命题. 2.思考:线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题吗?如果是,如何证明? 如图,PA=PB,过点P作PC⊥AB,垂足是C,则可证明△APC≌　　　　,从而可得PC　　　　AB.  　　到线段两端点距离相等的点在线段的　　　　上.  3.讨论:通过课本“例1”的学习,三角形两边垂直平分线的交点一定在第三边的垂直平分线上吗?这个点到三角形三个顶点的距离相等吗? 　　三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个　　　　的距离　　　　.  2.如图,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC. 求证:点E在线段AC的垂直平分线上. 线段的垂直平分线性质的综合应用 例　如图,在△ABC中,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上. (2)若∠FAN=56°,求∠FPN的度数. 变式训练　如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线MN交边AC于点D,交边BC于点E,连接BD. (1)若CE=4,△ABD的周长为10,求△ABC的周长. (2)若∠ADM=60°,∠ABD=20°,求∠A的度数. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.相等. 2.在线段的垂直平分线上. 自学检测 1.A　2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.直线　垂直平分　轴对称　垂直平分线 2.(1)相等. (2)BO　∠BOP　PO　△BOP　PB 归纳总结　相等 对点训练 1.C 知识点二 1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2.△BPC　垂直平分 归纳总结　垂直平分线 3.在,相等. 归纳总结　顶点　相等 对点训练 2.证明:因为AD是高,所以AD⊥BC. 又因为BD=DE, 所以AD所在的直线是线段BE的垂直平分线, 所以AB=AE, 所以AB+BD=AE+DE. 又因为AB+BD=DC, 所以DC=AE+DE, 所以DE+EC=AE+DE, 所以EC=AE, 所以点E在线段AC的垂直平分线上. 题型精讲 题型 例 解:(1)证明:如图,连接BP,AP,PC. 因为PE垂直平分AB,PM垂直平分AC, 所以PA=PB,PA=PC, 所以PB=PC, 所以点P在线段BC的垂直平分线上. (2)因为PE⊥AB,PM⊥AC, 所以FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°, 所以∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90°. 设∠B=x,∠C=y, 所以∠B=∠BAF=x,∠C=∠CAN=y,∠BFE=90°-x,∠MNC=90°-y, 所以∠PFN=∠BFE=90°-x,∠PNF=∠MNC=90°-y. 因为∠B+∠C+∠CAB=180°,∠FAN=56°, 所以2x+2y+56°=180°, 整理得x+y=62°. 因为∠PFN+∠PNF+∠FPN=180°, 所以90°-x+90°-y+∠FPN=180°, 所以∠FPN=180°-180°+(x+y)=62°. 变式训练　 解:(1)因为MN垂直平分BC,CE=4, 所以DC=DB,BE=CE=4, 所以BC=BE+CE=4+4=8. 因为△ABD的周长为10, 所以10=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC, 所以AB+AC+BC=10+8=18, 所以△ABC的周长为18. (2)因为∠ADM=60°,∠ABD=20°, 所以∠CDN=∠ADM=60°. 因为MN垂直平分BC, 所以DC=DB,MN⊥BC, 所以∠BDN=∠CDN=60°, 所以∠BDC=∠BDN+∠CDN=60°+60°=120°, 所以∠A=∠BDC-∠ABD=120°-20°=100°, 所以∠A的度数为100°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.6 第2课时 用尺规作线段的垂直平分线 素养目标 1.会用尺规作一条已知线段的垂直平分线. 2.会用尺规过直线上一点或直线外一点,作该直线的垂线. 3.会用尺规作一个角的平分线. 重点 用尺规作垂直平分线和角平分线. 【自主预习】 1.如何作线段的中点? 2.点与直线有哪几种位置关系? 1.用直尺和圆规作线段的垂直平分线,下列作法正确的是 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.观察图中尺规作图的痕迹,可知线段BD一定是 (　　) A.△ABC的角平分线 B.△ABC的中线 C.△ABC的高线 D.AC边的垂直平分线 3.由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形,且AB=BC的是 (　　) ①　　② ③　　④ A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【合作探究】 知识点一：段的垂直平分线的画法 阅读课本本课时“说一说”及“例2”的内容,回答下列问题. 1.回忆:线段的垂直平分线是一条直线,如何确定一条直线? 2.思考:如何找到一条已知线段的垂直平分线上的两点?依据是什么? 3.讨论:课本“例2”中的作法,可使得AC　　　　BC,AD　　　　BD,故点C与点D都是　　　　.  1.如图,AB是一条长途汽车经过的公路,C,D是公路旁的村庄,现在要在公路上设一个长途汽车站,要求这个汽车站到两个村庄的距离相等,请找出这个汽车站的位置. 知识点二：过一点作已知直线的垂线 阅读课本本课时“思考”的内容,回答下列问题. 1.思考:如果我们将过一点作已知直线垂线的问题转化为线段的垂直平分线的画法,同学们会作图吗? 2.当点P在直线l上时,讨论: (1)先用圆规在直线l上截取PA=PB,则点P是AB的　　　　,在线段AB的　　　　线上,还需要再找　　　　个线段AB垂直平分线上的点.  (2)分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧交于点C,则有AC　　　　BC,则点C在线段AB的　　　　上.  (3)用无刻度的直尺　　　　PC,作直线.  3.当点P在直线l外时,讨论: (1)以点P为圆心,定长为半径,画弧交直线于A,B两点,则点P在线段AB的　　　　线上.  (2)仿照上面的问题,找到点C也在线段AB的　　　　上,过两点作直线即可.  ·学法指导· 　　以上尺规作图的依据都是运用轴对称图形、垂直平分线的性质,在学习了全等三角形的证明之后,我们可以利用全等三角形验证其正确性. 2.如图,在△ABC中,∠B=40°.请利用尺规在边BC上求作一点P,使得∠BAP=50°.(保留作图痕迹,不写作法) 知识点三：已知底边和底边上的高作等腰三角形 阅读课本本课时“例3”的内容,回答下列问题. 1.思考:已知线段a,h,为了作出底边等于a,高等于h的等腰三角形. (1)确定点B,C只要作线段BC=　　　　.  (2)为了确定点A,点A必须满足两个条件:在边BC的　　　　线上;到BC中点的距离等于　　　　.  2.归纳:用尺规作符合要求的三角形,即确定三角形的三个　　　　,再连线即可.其中底边较容易确定.确定　　　　需要思考其满足的条件,按需作图.  3.如图,已知线段a,b,求作等腰三角形,使高为a,腰长为b.(a<b,尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 知识点四：作一个角的平分线 阅读课本本课时“例4”的内容,回答下列问题. 1.思考:(1)为了作出已知∠AOB的平分线,点O　　　　该角平分线上,只要确定该角平分线上　　　　.  (2)课本作法中的第(1)步使得　　　　,第(2)步确定点C时,使得　　　　,再由公共边OC=CO,则可得到△OCD≌△OCE,理由是　　　　.可得∠AOC=∠BOC.  2.归纳:无论是作垂直平分线,还是作角平分线,关键在于确定线上满足要求的　　　　,常常用　　　　截取.  4.如图,下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法,其中不正确的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 作图的综合问题 例　如图,AM平分∠BAC,BC边的垂直平分线l分别交AC,BC,AM于点E,F,G. (1)尺规作图:作BC的垂直平分线l,并标出点E,F,G(保留作图痕迹,不写作法). (2)连接BE,若∠AGE=∠C,求证:AG垂直平分BE. 变式训练　如图,已知线段AB和射线AC,用不带刻度的直尺和圆规在射线AC上求作一点E,使得∠BAC=2∠ABE.(不写作法,保留作图痕迹) 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.作出该线段的垂直平分线,垂直平分线与该线段的交点即该线段的中点. 2.两种:点在直线上和点在直线外. 自学检测 1.C　2.C　3.C 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.由于两点确定一条直线,找到该直线上的两点,并连线即可. 2.运用垂直平分线的性质,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 3.=　=　线段AB垂直平分线上的点 对点训练 1.解:如图,连接CD,作线段CD的垂直平分线交直线AB于点O,点O便是长途汽车站的位置. 知识点二 1.会的. 2.(1)中点　垂直平分　1 (2)=　垂直平分线 (3)连接 3.(1)垂直平分 (2)垂直平分线 对点训练 2.解:如图,点P即所求. 知识点三 1.(1)a (2)垂直平分　h 2.顶点　顶点 对点训练 3.解:如图,△ABC为所作. 知识点四 1.(1)在　另一个点 (2)OD=OE　DC=CE　边边边 2.点　圆规 对点训练 4.A 题型精讲 题型 例 解:(1)作图如图所示. (2)证明:如图,设BE交AM于点D. 因为EF是BC的垂直平分线, 所以EB=EC,∠GFM=90°,所以∠EBC=∠C. 因为∠AGE=∠C,所以∠EBC=∠AGE. 因为∠GMF=∠BMD, 所以∠BDM=∠GFM=90°, 所以AG⊥BE,所以∠BDA=∠EDA=90°. 因为AM平分∠BAC, 所以∠BAD=∠EAD. 因为AD=AD, 所以△ABD≌△AED(角边角), 所以BD=ED, 所以AG垂直平分BE. 变式训练　 解:如图,点E为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $