第13章 勾股定理 章末复习 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了勾股定理及其逆定理、反证法等核心知识，通过知识框架图将直角三角形的性质与判定、勾股数、反证法步骤等内容串联，明确勾股定理与逆定理的互逆关系，构建完整知识网络。 其亮点在于设计分层练习与核心素养培养，A组题巩固基础如面积计算，B组题提升能力如反证法证明五边形内角问题，结合梯子滑动等实际情境，培养学生推理意识与应用意识，助力教师精准复习，学生高效巩固。

华东师大版·八年级上册 章末复习 1 知识结构 直角三角形 勾股定理 勾股定理的逆定理 应用 反证法 思考并回答下列问题： 问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？ 问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？ 问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？ 问题4：反证法的步骤是什么？ 知识要点 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. a b c A B 如果在Rt△ABC中，∠C=90°， 几何语言： 那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. C 勾股定理的证明方法： 我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理. 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. a b c A B C 几何语言： 如果△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2， 那么△ABC是直角三角形. 勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股定理与勾股定理的逆定理的关系 A C B b c a a2+b2=c2 数 形 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 直角三角形的判定 是互逆定理. 反证法：先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，近而得出原结论正确． 反证法的一般步骤： 反设 1.假设命题结论的反面成立； 2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾； 归谬 3.假设不成立即原结论正确； 结论 复习题 1.求下列各图形着色部分的面积： (1)如图①，着色部分是正方形；(2)如图②，着色部分是长方形； A组 12cm 13cm 15cm 8cm 3cm ① ② S=132-122=25(cm2). (3)如图③，着色部分是半圆（保留π）. 6cm 10cm 2.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系. 解：以a、b为斜边的两个等腰直角三角形的面积等于以c为斜边的等腰直角三角形的面积． 3.试判断由下列三边围成的三角形是否是直角三角形： (1)三边长分别为m2+n2、mn、m2−n2(m>n>0)； 解：(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4， (mn)2+(m2−n2)2=m2n2+m4−2m2n2+n4=m4−m2n2+n4， 故(m2+n2)2≠(mn)2+(m2−n2)2， ∴该三角形不是直角三角形. (2)三边长之比为1∶1∶ . 解：∵( x)2=2x2=x2+x2，∴该三角形是直角三角形. 4.一架2.5m长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙0.7m，如果梯子的顶部滑下0.4m，梯子的底部向外滑出多远？ 解：如图，AB=DE=2.5m，BC=0.7m，AD=0.4m. ∴在Rt△ABC中，AC= = =2.4(m). ∵AD=0.4m，∴CD=AC−AD=2m. ∴在Rt△CDE中，CE= = =1.5(m)，故BE=CE−BC=1.5−0.7=0.8(m). 答：梯子的底部向外滑出0.8m. 5.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7cm.求正方形A、B、C、D的面积和. 解：SA+SB+SC+SD =SE+SF =SG=72=49(cm2). A B C D E F G 6.在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2. 求BD的长. 解：如图，AD=AC−DC=10−2=8， 在Rt△ABD中，BD= = = 6. 7.已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm. 求这个三角形的面积. 解：设该直角三角形其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(30−13−x) cm. 根据勾股定理得x2+(30−13−x)2=132. 整理得17x−x2=60. ∴这个三角形的面积为 x(30−13−x)= (17x−x2)=30(cm2). B组 8.如图，有一块四边形地ABCD，∠B=∠90°. AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m. 求该四边形地的面积. 解：连接AC，由勾股定理得AC= =5(m)， AC2+CD2=52+122=132=AD2， 由勾股定理的逆定理得∠ACD=90°， 所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC 答：这块四边形地的面积是36m2. 9.我们已经知道，3、4、5，6、8、10 等都是一些勾股数.请你再写出其他5组勾股数. 解：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，12，15；12，16，20(答案不唯一). 10.试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角. 证明：假设一个五边形中存在4个内角为锐角，则这4个内角的和小于360°.而五边形的内角和等于540°，那么剩余的第5个角的度数必然大于180°，这与五边形的每一个内角都小于180°相矛盾，故假设不成立.即一个五边形不可能有4个内角为锐角. 11.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°.求∠DAB的大小. 解：连接AC，∵AB=BC=2，∠B=90°， ∴∠BAC=∠BCA=45°，AC= 在△ACD中，AD2+AC2=9=CD2， ∴△ACD中是直角三角形，∠DAC=90°， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°. 12.如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，AB=5cm，△ABC的面积为30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称.求AE的长. 解：由题可知S△ABC= ∵AB=5cm，S△ABC=30cm2. ∴ =30cm2，∴BC=12cm. 在△ABC中，AC= =13(cm). 又∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称， ∴AE=AC=13cm. 13.已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4−b4+b2c2−a2c2=0.试判断△ABC的形状. 解：∵a4−b4+b2c2−a2c2=0，∴(a2+b2)(a2−b2)−c2(a2−b2)=0. ∴(a2−b2)(a2+b2−c2)=0. ①当a2−b2=0时，得a=b，故△ABC是等腰三角形； ②当a2+b2−c2=0时，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形. 综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形. 14.试着用反证法证明勾股定理的逆定理. 解：假设一个三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)有关系a2+b2≠c2，那么这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，这与已知a2+b2≠c2矛盾，所以假设不成立.所以三角形的三边长a、b、c(a≤b≤c)有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，所以勾股定理的逆定理成立. 15.欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由Rt△ABC的三边分别向外作正方形，过点C作AB的垂线，分别交AB、ED于点J和点K，这样就把正方形ABDE分成两个长方形AJKE和BDKJ．连结GB、CE. 请试着利用该图形证明勾股定理. 证明：∵四边形ABDE与四边形ACFG均为正方形， ∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°. ∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC， 即∠EAC=∠BAG. ∴△AEC≌△ABG(SAS). ∴S△AEC=S△ABG. 又∵2S△AEC=S四边形AEKJ， 2S△ABG=S正方形ACFG=AC2， ∴S四边形AEKJ=S正方形ACFG=AC2. 同理得S四边形BDKJ=BC2. 又∵S正方形ABDE=S四边形AEKJ+S四边形BDKJ=AB2，∴AC2+BC2=AB2. 16.折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远. 求折断后竹子离地面的高度. 解：如图，AB+AC=1丈=10尺，BC=3尺. 设AC=x尺，则AB=(10−x)尺. 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB2−AC2=BC2， 即(10−x)2−x2=9，解得x=4.55. 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺. A B C 课堂小结 通过本节课的复习，你还有哪些疑惑？ 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $