专题02 一元二次方程（8清单+16常考题型+7易错+1方法）（期中知识清单）九年级数学上学期华东师大版

专题02 一元二次方程（8知识&16题型&7易错&1方法清单） 【清单01】一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 3. 一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 【清单02】直接开方法 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 【清单03】配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 【解读】 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 典例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 方程两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 即 四开 开平方求根 利用平方根的定义直接开平方 【清单04】公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【解读】求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 方法 典例 将一元二次方程整理成一般形式； 将原方程化为一般形式： 确定公式中a、b、c的值； （易错点：忽略系数前面的符号） 求出的值； 当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 【清单05】因式分解法 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 典例 移项 将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0 化积 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 原方程变形为 转化 令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程 求解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 【清单06】跟的判别式 定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【解读】 1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定. 2）一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 3）已知一元二次方程有两个根，隐含着. 【清单07】一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 【清单08】一元二次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案. 【题型一】一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出关于一元二次方程的概念．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【题型二】由一元二次方程的解求字母的值 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的根，则m的值为 ． 6．（24-25九年级上·海南·阶段练习）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【题型三】由一元二次方程的解求代数式的值 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 8．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设是一元二次方程的两根，则等于 ． 9．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值． 【题型四】估算一元二次方程的解 10．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【题型五】利用配方法求最值 13．（23-24八年级上·山西·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 14．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【题型六】利用配方法比较大小 16．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： (1)利用配方法分解因式：． (2)求二次三项式的最小值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 18．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【题型七】利用换元法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 20．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 21．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【题型八】不解方程判断一元二次方程根的情况 22．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 23．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 24．（20-21九年级上·广西钦州·期中）已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【题型九】利用判别式判断一元二次方程根的情况 25．（22-23九年级上·全国·期中）已知k为实数，关于x的方程为． (1)判断方程有无实数根． (2)当方程的根和k都是有理数时，请直接写出其中k的两个值和相应方程的根． 26．（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 27．（24-25九年级上·河南安阳·期中）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根． (2)当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【题型十】不解方程求一元二次方程的根 28．（24-25九年级上·全国·期末）若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 29．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ． 30．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【题型十一】利用一元二次方程根与系数的关系求解 31．（19-20九年级上·全国·单元测试）设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 32．（20-21九年级上·四川泸州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 33．（20-21九年级上·四川泸州·期末）若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的周长为 ． 34．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【题型十二】已知一元二次方程两根的关系求参数 35．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 36．（24-25九年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 37．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 【题型十三】传播问题 38．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 39．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 40．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【题型十四】增长率问题 41．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）年我国新增高效节水灌溉面积万，如果要使年至年三年新增高效节水灌溉面积总和为万，那么年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为多少？ 42．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【题型十五】图形相关问题 43．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 44．（24-25九年级上·全国·期末）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余部分种绿植，绿植的面积为468平方米，求小路的宽． 【题型十六】动态几何额外你太 45．（24-25九年级上·全国·期末）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 46．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 【题型一】忽略二次项系数不能为0的情况 47．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 48．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若这个方程是一元二次方程，求m的值； (2)若是它的一个根，求m的值． 【题型二】利用整体代入法代数式的值时忽略符号 49．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为 ． 50．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为 ． 【题型三】忽略一元二次方程根的判别式的使用条件 51．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 52．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 【题型四】直接开平方法：忽略 “正负根” 53．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 54．（2023九年级·全国·专题练习）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【题型五】配方法：步骤疏漏（漏乘系数、常数项算错） 55．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级下·山东烟台·期末）把一元二次方程化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【题型六】公式法：记错公式、忽略 “判别式非负” 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·山东威海·期末）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【题型七】因式分解法：漏根（忽略 “因式为 0” 的情况） 59．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 60．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．3 B．或2 C． D． 【题型一】选择合适的方法解一元二次方程 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 61．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）解方程： (1) (2)． (3)（配方法）； (4) 62．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 63．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 64．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（8知识&16题型&7易错&1方法清单） 【清单01】一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 3. 一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 【清单02】直接开方法 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 【清单03】配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 【解读】 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 典例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 方程两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 即 四开 开平方求根 利用平方根的定义直接开平方 【清单04】公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【解读】求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 方法 典例 将一元二次方程整理成一般形式； 将原方程化为一般形式： 确定公式中a、b、c的值； （易错点：忽略系数前面的符号） 求出的值； 当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 【清单05】因式分解法 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 典例 移项 将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0 化积 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 原方程变形为 转化 令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程 求解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 【清单06】跟的判别式 定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【解读】 1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定. 2）一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 3）已知一元二次方程有两个根，隐含着. 【清单07】一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 【清单08】一元二次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案. 【题型一】一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出关于一元二次方程的概念．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，直接利用定义进行求解即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．是一元二次方程，符合题意； D．是分式方程，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 【题型二】由一元二次方程的解求字母的值 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·海南·阶段练习）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【题型三】由一元二次方程的解求代数式的值 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是、，那么，． 根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将变形后得到，代入求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ，， ， ∴ 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设是一元二次方程的两根，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．根据根与系数的关系得到：，以及方程的根的定义得到：，将进行转化计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了代数式求值，方程的解，整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整体代入法的应用．先化简得出，然后根据是方程的解，得出， 最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ ． 【题型四】估算一元二次方程的解 10．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 11．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解： 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 12．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法． 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：C． 【题型五】利用配方法求最值 13．（23-24八年级上·山西·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 14．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【详解】（1）解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 【题型六】利用配方法比较大小 16．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： (1)利用配方法分解因式：． (2)求二次三项式的最小值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【分析】本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键， （1）利用配方法先对原式，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法求出二次三项式的最小值即可； （3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当时，二次三项式的最小值为； （3） ， ． 18．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【题型七】利用换元法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 20．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意设，得到，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 21．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 【题型八】不解方程判断一元二次方程根的情况 22．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握判别式与根的关系是解题的关键． 根据题意，求得判别式的值，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：， 一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 故选B． 23．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴没有实数根， 故选：C． 24．（20-21九年级上·广西钦州·期中）已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边关系得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，则 ， ∵a，b，c分别是三角形的三边长， ∴ ， ∴ ∴原方程没有实数根， 故选：D． 【题型九】利用判别式判断一元二次方程根的情况 25．（22-23九年级上·全国·期中）已知k为实数，关于x的方程为． (1)判断方程有无实数根． (2)当方程的根和k都是有理数时，请直接写出其中k的两个值和相应方程的根． 【答案】(1)有，理由见解析 (2)时，，;时，，（答案不唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式应用及有理数根的求解，解题的关键是将方程化为一般形式，正确计算判别式判断根的情况，再结合判别式为完全平方数的条件确定有理数及对应根． （1）将方程化为一般形式，计算判别式并配方，根据判别式恒正判断方程总有两个不相等实数根； （2）令判别式为完全平方数，选取有理数代入方程，求解得相应有理数根． 【详解】（1）解： 整理为，其中，，；； ∵， ∴，故方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由为完全平方数，取有理数计算： ①当时，方程为，因式分解得， 解得，； ②当时，方程为，求根得，． （答案不唯一，合理即可） 26．（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可； （2）当边长为2的边为腰时，则可知方程有一个根为2，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为2的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， ∴三角形的三边长为，满足题意， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 方程为，解得， ∴三角形的三边长为，，不满足题意． 综上，的周长为． 27．（24-25九年级上·河南安阳·期中）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根． (2)当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根与系数的关系，解一元二次方程． （1）先计算出 ，然后根据跟的判别式的意义得到方程有实数根； （2）利用根与系数的关系得到，即，解得，则原方程化为，然后利用直接开平方法求解． 【详解】（1）证明： ， 所以方程总有实数根； （2）解：设方程的两个根为，由题意得： ，即，解得， 当时，方程两根互为相反数， 当时，原方程为， 解得：． 【题型十】不解方程求一元二次方程的根 28．（24-25九年级上·全国·期末）若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．可设另一个根为t，根据根与系数关系得到，然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设另一个根为t， 根据题意得， 所以， 故选：C． 29．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据关于x的一元二次方程有一个根的值是，可以得到，然后求解即可． 【详解】解：方程有一个根是 ， 解得． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先利用根的定义将代入求得，设方程的另一个根为，再利用根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， 则：， 解得：， ∴，方程的另一个根为． 【题型十一】利用一元二次方程根与系数的关系求解 31．（19-20九年级上·全国·单元测试）设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 32．（20-21九年级上·四川泸州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，得出和的值是解题关键．根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，再将代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故选A． 33．（20-21九年级上·四川泸州·期末）若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题重点考查的是一元二次方程根与系数的关系，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键． 设矩形的长宽分别为x、y，根据一元二次方程的根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设矩形的长宽分别为x、y， ∵矩形的长和宽是方程的两根， ∴根据一元二次方程的根与系数的关系得到 ， ∴矩形周长为． 故答案为：24． 34．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了根与系数的关系； （1）先利用根与系数的关系得到，，利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， 原式； （2）解：． ． 【题型十二】已知一元二次方程两根的关系求参数 35．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 36．（24-25九年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 37．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟悉解一元二次方程的方法，根的判别式以及根与系数的关系． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）①由，则方程有两个相等的实根，则，根据求解即可； ②根据根与系数的关系，代入求解即可． 【详解】（1）， ， ， 所以． （2）①由题知，方程有两个相同的实数根， 所以， 解得； ②由根与系数的关系，， ， ， 即， 解得或， 当时，方程为，，符合题意； 当时，方程为，，不符合题意， 故． 【题型十三】传播问题 38．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 39．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 40．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 【题型十四】增长率问题 41．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）年我国新增高效节水灌溉面积万，如果要使年至年三年新增高效节水灌溉面积总和为万，那么年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为． 42．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【答案】(1)这两年粮食产量的平均增长率约为； (2)预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及近似数，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年粮食产量的平均增长率为，根据年和年我国粮食产量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据题意列式计算，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两年粮食产量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为； （2）解：（万亿斤）， ， 答：预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【题型十五】图形相关问题 43．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】(1)鸡场的长为米，宽为米 (2)鸡场面积不可能达到平方米，见解析 (3)当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； （2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； （3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 44．（24-25九年级上·全国·期末）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余部分种绿植，绿植的面积为468平方米，求小路的宽． 【答案】小路宽为2米 【分析】本题考查了实际应用与一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据绿植的面积列出方程并求解即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意得：， 解得：． 答：小路宽为2米． 【题型十六】动态几何额外你太 45．（24-25九年级上·全国·期末）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 46．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 【答案】当点出发或后，的面积为 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设后的面积等于，然后表示出、、的面积，再根据图形可得：矩形的面积减去周围多余三角形的面积等于的面积等于，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设当点，出发后，的面积为， 则，，，， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 经检验都符合题意， 故当点，出发或后，的面积为． 【题型一】忽略二次项系数不能为0的情况 47．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 48．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若这个方程是一元二次方程，求m的值； (2)若是它的一个根，求m的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程； （1），化为一般式得：，根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，即 ，解得； （2）根据方程的根的定义将代入 ，进而解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∵这个方程是一元二次方程， ∴ ， 解得： （2）解：∵是的一个根， ∴ 解得：， 当时，原方程为 解得： ∴或． 【题型二】利用整体代入法代数式的值时忽略符号 49．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解，把代入可得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入得，则， 所以． 故答案为：． 50．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【题型三】忽略一元二次方程根的判别式的使用条件 51．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 52．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式建立不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且 【题型四】直接开平方法：忽略 “正负根” 53．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用平方根的定义即可求方程的根，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 54．（2023九年级·全国·专题练习）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，根据完全平方是非负数列出关于的不等式即可求解，掌握直接开平方法是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 【题型五】配方法：步骤疏漏（漏乘系数、常数项算错） 55．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 在方程两边同时除以，得：，即， 配方，得：， 即． 故选：D． 56．（24-25八年级下·山东烟台·期末）把一元二次方程化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程、二次根式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用配方法把一元二次方程化成的形式，再结合题意可知，，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵一元二次方程化成的形式，   ∴，， ∴． 故选：A． 【题型六】公式法：记错公式、忽略 “判别式非负” 57．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 58．（24-25八年级下·山东威海·期末）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 【题型七】因式分解法：漏根（忽略 “因式为 0” 的情况） 59．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 60．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．3 B．或2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值为0，解一元二次方程， 根据分式的分子等于0，分母不等于0解答即可. 【详解】解：∵， ∴，且， 解得. 当时， 解得或. 可知时，且， 所以x的值为3. 故选：A. 【题型一】选择合适的方法解一元二次方程 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 61．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）解方程： (1) (2)． (3)（配方法）； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法：公式法，因式分解法，配方法，直接开平方法，灵活选用解题方法是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ． （2）， ， 则， ∴ （3）， ， ， ， ， ∴ （4）， ， ∴ 则或， ∴ 62．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 63．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)，； (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等． （1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解； （2）方程，尝试用因式分解法求解； （3）方程，用公式法求解； （4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：（1），即， 或， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， 设，则方程变形为， ， 即， 或， 或， 则或， 解得． 64．（25-26九年级上·四川成都·开学考试）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解； （3）先化为一般形式，再用公式法求解； （4）用换元法求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， ，，， ， ， 即，； （2）， 两边同除以2，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得，； （3）， 去括号，得, 移项，得， 合并同类项，得， ，，， , 所以，； （4）设， 则原方程可化为， 去括号，得， 即， 所以， 所以或， 解得：或， 所以，， 解得：，． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $