6.5 外接球与内切球（精讲）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

6.5 外接球与内切球（精讲） 考向一 汉堡模型 【例1-1】．（2025·河南·二模）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为， 可得，则， 所以正三棱柱外接球的体积为. 故选：D 【例1-2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 【一隅三反】 1．（2025·贵州毕节·模拟预测）三棱锥中，底面，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】作出图形示意图如下：设外接圆的圆心为， 因为， 所以的外接圆的半径为， 设三棱锥的外接球的球心为， 又因为底面， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 2．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为 【答案】 【解析】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 3．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ． 【答案】 【解析】设球的半径为，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，则球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，得①， 又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以②， 由①②解得，所以球的体积为， 圆柱的体积为，所以. 故答案为：. 4．（2025·四川成都·模拟预测）在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】 【解析】如图，作平面于点，连接， 平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 平面，所以，同理得， 四边形为矩形，，则， 在中，, 由余弦定理得， 即，解得， 设三棱锥外接球的半径为，则三棱锥外接球即为四棱锥外接球,即为以为棱长的长方体的外接球，故由得，解得，所以球的表面积为，故答案为： 考向二 墙角模型 【例2-1】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为 ． 【答案】 【解析】 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， .故答案为：. 【例2-2】（2025·云南·模拟预测）已知棱长都相等的三棱锥所有顶点都在球O的表面上．若三棱锥的所有棱长之和为12，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，正四面体的棱长为， 如图所示，将棱长为的正四面体放入棱长为的正方体中， 则该正方体的外接球与球O是同一个球，则球的半径为， 故球O的表面积为.故选：D 【例2-3】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】不妨设四面体为，，，， 可将四面体放置在长方体中，如图所示:    设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，， 则四面体的体积， 该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则， 所以球的表面积为. 故答案为：；. 【一隅三反】 1.（2025山西）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为球的直径，则，所以， 因此，球的表面积为.故选：A 2.（2025北京）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，所以外接球的直径，所以,外接球的表面积，故选：C 3．（2025河北）已知长方体的体积为，，则当长方体的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】设，，因为，由已知条件可得，解得， 所以，长方体的表面积为， 当且仅当时，等号成立， 该长方体的外接球直径为，则， 因此，长方体的外接球的体积为.故答案为：. 4.（2025湖北）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为 【答案】 【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3， 所以球的表面积为S＝4πR2＝6π． 考向三 斗笠模型 【例3-1】（2025·河北唐山·三模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，故其高. 取圆锥的轴截面，如下图所示： 由圆锥的几何性质可知，球心在直线上，设该圆锥的外接球的半径为， 由题意可知，，，由勾股定理可得，即，解得， 故其体积.故选：A. 【例3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长，则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为.故选：D. 【一隅三反】 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【解析】 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球体积为，则，即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得，则此圆锥的表面积为. 2．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（   ） A．9π B．4π C． D．3π 【答案】A 【解析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上， 由已知得，得， 易知正四棱锥底面外接圆半径，球的半径为，由球的性质得，解得， 所以球O的表面积为.故选：A． 3（2025湖南）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，又，则， 由得，解得， 所以表面积为．故选：D． 考向四 切瓜模型 【例4】（2025湖南）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图： 因，则，有平面CDE， 所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1， 在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD， 由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径， 因平面平面，则，而， 即有四边形OO1EO2是正方形，则， 中，，则， 所求外接球的表面积.故选：B 【一隅三反】 1.（2025湖南）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知，，，可求，，， 因为平面平面ABEF，平面平面， 又，平面， 所以平面ABEF，平面ABEF，所以， 由，，得， 又，同理可得得，又， 所以，所以. 所以MC为外接球直径， 在Rt△MBC中，即， 故外接球表面积为． 故选：A． 2．（2025山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（    ） A． B． C．12π D．60π 【答案】B 【解析】如图：    设底面正三角形的外心为，三角形的外心为， 分别过、作所在面的垂线相交于，则为三棱锥外接球的球心， 再设底面正三角形外接圆的半径为，则. 由已知求得，可得也为边长是的正三角形， 所以外接圆的半径为，则. 所以三棱锥外接球的半径满足：. 则三棱锥外接球的表面积为. 故选：B. 3．（2025四川）已知三棱锥的底面是正三角形，侧面底面，且，，若该三棱锥的外接球的表面积为，则AB的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】设的外接圆的圆心为，连，并延长交与，则为的中点， 设为的中点，因为侧面底面，，平面平面，平面， 所以底面，又底面，所以，所以为三角形的外接圆的圆心， 设该三棱锥的外接球的球心为，连，，则平面，平面， 取的中点，则，因为底面，所以平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，所以， 因为三棱锥的外接球的表面积为，所以，得， 设，则，， 因为，，，所以， 所以， 由，得，得，即.    故选：C. 4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知三棱锥，平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设的外接圆圆心分别为，三棱锥外接球球心为， 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥外接球的球心. 取中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以，同理，， 因为平面，所以，故四边形为矩形. 因为的外接圆半径，即， 所以. 因为的外接圆半径，即， 所以，即球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：B. 考向五 怀表模型 【例5】（2025·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． 【答案】D 【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH 因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形 所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120° 设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F 则由AH＝2可得AEAH，EHAH 分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60° 所以OE＝1，则R＝OA 则三棱锥外接球的表面积 故选：D 【一隅三反】 1．（2025·南昌）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．π B．π C．π D．3π 【答案】A 【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD， 由题意得AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS， 由题意得BC⊥平面ADS， 分别取AD，SD的三等分点E，F， 在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD， 两条直线的交点即球心O， 连结OA，则球O半径R＝|OA|， 由题意知BD，AD，DE，AE， 连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE， ∴OA2＝OE2+AE2， ∴球O的表面积为S＝4πR2． 故选：A． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 3．（2025湖南）已知菱形的边长为4，对角线，将沿着折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】如图所示： 将沿折起后，取中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以； 与是边长为4的等边三角形. 分别记三角形与的重心为、， 则，；即； 因为与都是边长为4的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，， 根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，且平面，平面， 所以平面； 又平面，所以，连接，则外接球半径， 所以外接球表面积为.故答案为：. 考向六 矩形模型 【例6】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为，故选：D． 【一隅三反】 1．（2025·安徽）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，， 所以， 可得，所以， 即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为： .故选：B 2．（2025福建）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O， 因为,且,所以, 所以, 所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C 3．（2025海南）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】由题意可知：球为鳖臑的外接球， 面，面，，， 又，面，，面， 又面，； 取中点，连接， ，，同理可知：， 点与球的球心重合，球的半径， 球的表面积.故答案为：. 考向七 折叠模型 【例7】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则为外接圆的一条直径， 在外接圆上取一点，使得，则， 且三棱锥和的外接球是同一个球， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 因为，则，且， 所以，的外接圆半径为， 设的外心为，过点在平面内作， 过点在平面内作平面，设， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 同理可证平面，故为三棱锥外接球的球心，如下图所示： 由题意得，，， 所以，， 所以，球的半径为， 因此，球的表面积为， 故选：A. 【一隅三反】 1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的中点，连接，    设为正的外心，则点在上，且． 设为四面体的外接球球心，则平面． ，则为的外心，平面． 二面角的大小为，则直线与平面成角，． 是边长为3的正三角形，则，． 在中，． 在中，，则， 四面体的外接球半径，. 故选：B． 3．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 考向八 台体的外接球 【例8-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图. 易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为， 则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得， 则外接球的半径，表面积为. 故选：A. 【例8-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，正四棱台的高为， 其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示. 不妨设O距离下底面距离为x，则，解得，即正四棱台下底面中心即为球心， 则外接球的直径为，表面积为，故选:C. 【一隅三反】 1．（2025·重庆·三模）正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 ，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设正三棱台上、下底面的中心分别为的中点分别为， 连接，由正三棱台的性质可知 ，    易知正三棱台外接球的球心在直线上，设球心为，如图所示， 过作于， 因为正三棱台上、下底面边长分别为3、6，所以，， 因为分别为、的中心，所以， 根据梯形的性质结合勾股定理得出， ，两边平方整理得，则由勾股定理得出， 设，则，两边平方整理得， 则其外接球的表面积为.故选：C 2．（2025·安徽·模拟预测）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得，所以球表面积为．故选：D． 3．（2025·江苏南通·三模）已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】上底正方形外接圆圆心，半径，下底正方形外接圆圆心，半径， 设球心O半径R， ，， 该四棱台外接球的表面积. 故答案为：. 考向九 向量法求外接球 【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 【答案】A 【解析】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 【一隅三反】 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R， 以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为， 最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为. 因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为， 所以，解得， 则，外接球表面积为：. 故选：D 2．（24-25高三下·山西·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（   ） A．动点F的轨迹的长度为 B．三棱锥体积的取值范围为 C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】对于A，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误； 对于B，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在点处时，最小， 此时， 最大时，最大，显然在点处时，最大， 此时，故B正确； 对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处， 如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为， 易知， 所以①，②， ③，④， 联立①②③④解得，，所以， 故外接球的表面积为，所以选项C正确；    对于D，因为是直角三角形， 所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确.    故选：BCD 3．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，与底面所成的角分别为和，已知，当四棱锥体积最小时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图，以A为原点，以AB、AD所在直线为x轴，y轴空间直角坐标系， 则， 设，P在平面的投影为， 因为PA与底面的夹角，所以， PC与底面的夹角， 所以， 由， 即， 所以点P在底面的投影P'的轨迹是一个圆，圆心在，半径， 因为， 当四棱锥体积最小时，此时最小， 表示圆的点到原点距离， 而，所以原点在圆内， 所以圆上的点到原点的最小距离为半径减去原点到圆心的距离， 所以的最小值为， 所以， 所以当四棱锥体积最小时，P的坐标为， 因为正方形的外接圆的圆心即为交点O，半径为， 所以四棱锥外接球的球心为，则球心到A和P的距离相等， 则， 解得，所以球心为，半径为， 所以外接球的表面积公式为：,故答案为: 考向十 内切球 【例10-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点， 设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知， 所以在中，， 由三角形内切圆可得，可得，即，化简得， 圆锥表面积为，内切球表面积， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比， 故选：B. 【例10-2】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切， 所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1， 则底面正三角形的外接圆半径， 所以该正三棱柱外接球半径为， 所以外接球的表面积为． 故选：D． 【例10-3】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知， 又母线长为，则圆台的高为， 若球与圆台的下底面和侧面相切， 设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为， 与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示， 连接，易知，则，又， 由，得到，解得， 又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切， 所以，球的体积为，    故选：B. 【一隅三反】 1．（2025·内蒙古赤峰·三模）若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为 . 【答案】 【解析】一个正方体内切球的表面积为，假设内切球半径为， 则，所以可得正方体的边长为， 即正方体的体积为， 故答案为：. 2．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【解析】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1. 如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点. 因为正四棱锥的底面边长为， 所以. 又，所以，即，解得. 所以，所以正四棱锥的体积为. 故选：C. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【答案】A 【解析】 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 所以外接球半径， ∵，∴ 因此圆锥外接球的表面积为48π. 故选：A. 4．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆， 根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得： ， 利用等面积法：， 可得：， 解得：， 再由棱台体积公式得：， 由球的体积公式得：， 所以正四棱台与球的体积之比是：， 故选：B. 考向十一 有关球的最值 【例11-1】（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 为圆锥的轴截面，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O. 由于，故. 设内切圆半径为r，则 ， 解得，其体积. 故选：D 【例11-2】（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 所以球的表面积的最大值为， 故选：C. 【例10-3】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【解析】设外接圆的圆心为，半径为. 由正弦定理，在正中，，，则. 因为，所以，即，解得. 已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得. 当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离. 根据正三角形面积公式，可得. 根据三棱锥体积公式，可得. 故答案为：. 【一隅三反】 1．（2025·四川巴中·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在正四棱台中，上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为， 设分别是下、上底面中心，分别是的中点， 在侧面中，，则， 因为正棱台的内切球半径即为截面的内切圆半径， 在截面中，， 则， 若球心在中点处，即梯形高的中点处， 以下底面中心为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 则直线的方程为， 故点到直线的距离，即直线与圆相离. 结合图形可知，当球心在中点处，球半径时，正四棱台的内切球半径最大. 即该正四棱台内半径最大的球的体积， 故选：B. 2．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【答案】 【解析】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5 外接球与内切球（精讲） 考向一 汉堡模型 【例1-1】．（2025·河南·二模）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·贵州毕节·模拟预测）三棱锥中，底面，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 2．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为 3．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ． 4．（2025·四川成都·模拟预测）在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为 考向二 墙角模型 【例2-1】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为 ． 【例2-2】（2025·云南·模拟预测）已知棱长都相等的三棱锥所有顶点都在球O的表面上．若三棱锥的所有棱长之和为12，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 . 【一隅三反】 1.（2025山西）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.（2025北京）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B．3 C．6 D．9 3．（2025河北）已知长方体的体积为，，则当长方体的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________. 4.（2025湖北）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为 考向三 斗笠模型 【例3-1】（2025·河北唐山·三模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 2．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（   ） A．9π B．4π C． D．3π 3（2025湖南）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ） 考向四 切瓜模型 【例4】（2025湖南）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （ ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2025湖南）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（    ） A． B． C．12π D．60π 3．（2025四川）已知三棱锥的底面是正三角形，侧面底面，且，，若该三棱锥的外接球的表面积为，则AB的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知三棱锥，平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 考向五 怀表模型 【例5】（2025·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． 【一隅三反】 1．（2025·南昌）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．π B．π C．π D．3π 2．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025湖南）已知菱形的边长为4，对角线，将沿着折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 考向六 矩形模型 【例6】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·安徽）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( ) A． B． C． D． 2．（2025福建）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2025海南）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______. 考向七 折叠模型 【例7】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 考向八 台体的外接球 【例8-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·重庆·三模）正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 ，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·三模）已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为 ． 考向九 向量法求外接球 【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 【一隅三反】 1．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·山西·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（   ） A．动点F的轨迹的长度为 B．三棱锥体积的取值范围为 C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 3．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，与底面所成的角分别为和，已知，当四棱锥体积最小时，其外接球的表面积为 . 考向十 内切球 【例10-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例10-3】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·内蒙古赤峰·三模）若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为 . 2．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 3．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 4．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 考向十一 有关球的最值 【例11-1】（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 【例11-2】（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例10-3】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 . 【一隅三反】 1．（2025·四川巴中·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    1 学科网（北京）股份有限公司 $