重难点22 立体几何中的外接球、内切球问题（举一反三专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点22 立体几何中的外接球、内切球问题 【全国通用】 【题型1 定义法求外接球问题】 4 【题型2 补形法求外接球问题】 6 【题型3 截面法求外接球问题】 10 【题型4 棱切球模型问题】 14 【题型5 内切球模型问题】 17 【题型6 多球相切问题】 20 【题型7 外接球之二面角模型】 25 【题型8 与球的切、接有关的最值问题】 29 【题型9 与球的切、接有关的截面问题】 32 【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】 35 1、立体几何中的外接球、内切球问题 球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力，难度中等.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或转化为特殊几何体的切、接问题来解决，球的切、接问题求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解. 知识点1 正方体、长方体与球的切、接问题 1．正方体与球的切、接问题 (1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. (2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长. (3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长. 2．长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长( a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 知识点2 正棱锥与球的切、接问题 1．正棱体与球的切、接问题 (1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. (2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正棱锥外接球半径为R，高为h). 知识点3 正四面体的外接球、内切球 1．正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，， ，. 知识点4 正三棱柱的外接球 1．正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心. 若正三棱柱的高为h柱，正三棱柱的外接球半径为R，则. 知识点5 圆柱、圆锥的外接球 1．圆柱的外接球 (R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 2．圆锥的外接球 (R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 知识点6 空间几何体与球的切、接问题的解题策略 1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 2．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. (2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解. 3．内切球问题的求解策略： (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法. 【题型1 定义法求外接球问题】 【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，可得正三棱柱的高和底面正三角形的内切圆半径，可求出底面正三角形的外接圆半径，可求出外接球的半径和表面积． 【解答过程】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切， 所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1， 则底面正三角形的外接圆半径， 所以该正三棱柱外接球半径为， 所以外接球的表面积为． 故选：D． 【变式1-1】（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件可得出，即可求出体积. 【解答过程】连接，因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为. 故选：C. 【变式1-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出外接圆的半径，再根据三棱锥的特征找出球心与外接圆圆心的位置关系，进而求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出球的表面积. 【解答过程】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. 【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据鳖臑的体积为2先求，进而得阳马外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解. 【解答过程】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 【题型2 补形法求外接球问题】 【例2】（2025·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【解答过程】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 【变式2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将三棱锥放入长方体中，三棱锥的各边为长方体的面对角线，计算出三棱锥的体积与表面积，结合等体积法可求出其内切球的半径. 【解答过程】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中. 设长方体的长宽高分别为、、， 则，解得， 四面体体积为， 在中，，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 四面体的表面积为, 设内切球半径，则，所以， 所以蛋黄半径的最大值为. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【答案】C 【解题思路】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【解答过程】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【变式2-3】（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，将三棱锥补形成长方体，利用长方体与该三棱锥的相同的外接球求解. 【解答过程】 设棱的中点分别为，连接， 构造长方体，则长方体外接球的表面积 即为三棱锥外接球的表面积．依题意，， 设长方体外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积． 故选：B. 【题型3 截面法求外接球问题】 【例3】（2025·广东佛山·一模）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式. 【解答过程】如图，圆台与外接球的轴截面，如下，      设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为， 由下底面的面积为，则， 圆台的体积， 即，解得或（舍）， 设， 和中，，，两式联立， 解得，， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C. 【变式3-1】（2025·安徽·一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圆的半径，记的外心为，证得平面，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【解答过程】设的外接圆半径为，因为，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，所以， 记的外心为，连接，，，则， 取，的中点分别为，，则，， 又因为，可得，， 因为，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以平面，可得， 由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为， 则球心到的距离为， 则有，解得， 所以球的表面积， 故选：A.   【变式3-2】（2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【解答过程】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B.   【变式3-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（    ） A．2 B．8 C．2或12 D．4或8 【答案】C 【解题思路】做出截面，根据圆心是否位于截面内部分两种情况，根据线段关系即可求解. 【解答过程】 如图，做出截面，此时圆心位于截面内部， 取中点，中点，连接、和， 易得点在上，由题意得，，， 因为，， 所以， 当不在截面内， 同第一种情况理可得，， 所以，综上所述：该四棱台的高为或. 故选：C. 【题型4 棱切球模型问题】 【例4】（2025·全国·模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将正四面体补形为正方体，此时正方体的内切球即为正四面体的棱切球，利用球的体积公式求解即可. 【解答过程】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为， 所以棱切球的体积为． 故选：C． 【变式4-1】（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意分析得到最小的球为正方体的棱切球，最大的球为正方体的外接球.然后分别求出半径，后求出表面积的范围. 【解答过程】由题意知，当球是正方体的棱切球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 当球是正方体的外接球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 所以球的半径， 故球的表面积. 故选：C. 【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为，则球冠的曲面面积.球是棱长为1的正方体的棱切球，则球在正方体外面部分曲面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设正方体的棱切球半径为，利用几何关系可求出球冠的高，再求出，代入球冠的曲面面积，即可得出答案. 【解答过程】如图，正方体与正方体的棱切球形成六个球冠， 正方体的棱切球半径为，则， 所以，又球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半， 则，又，所以， 所以所求曲面的面积为：， 故选：D. 【变式4-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 . 【答案】 【解题思路】设，外接球的半径为，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半径，即可由球的表面积公式即可求解． 【解答过程】设，外接球的半径为， 该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得， 如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即， 根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球， 故，即， 故该多面体的棱切球的表面积为． 故答案为：． 【题型5 内切球模型问题】 【例5】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件求出圆台的高，结合条件得到球与圆台的上、下底面相切，从而求出内切球的半径，即可求解. 【解答过程】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知， 又母线长为，则圆台的高为， 若球与圆台的下底面和侧面相切， 设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为， 与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示， 连接，易知，则，又， 由，得到，解得， 又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切， 所以，球的体积为，    故选：B. 【变式5-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆锥和它的内切球的性质，做出轴截面，求出内切球半径和底面半径之比，求出圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比. 【解答过程】 如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点， 设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知， 所以在中，， 由三角形内切圆可得，可得，即，化简得， 圆锥表面积为，内切球表面积， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比， 故选：B. 【变式5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【解答过程】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 【变式5-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【解答过程】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 【题型6 多球相切问题】 【例6】（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，结合圆锥轴截面及内切球列式分别得出即可得出最大值. 【解答过程】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高. 因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1， 所以小球与容器的侧面，底面均相切. 要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球， 圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时， 所以小球的体积与容器体积之比的最大值为. 故选：A. 【变式6-1】（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积. 【解答过程】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D. 【变式6-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .    【答案】 【解题思路】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积. 【解答过程】作几何体的轴截面图如图，，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点.    ，分别是球和球与圆台侧面的切点，，分别是与圆台上下底面的切点. 则，，，，且，，. 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且，， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得，. 又由，所以，所以，. 在直角三角形中，，得，所以. 又在直角三角形中，. 同理在直角三角形中，，. 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高. 所以圆台的体积. 而球的体积，球的体积. 所以容器中水的体积 故答案为：. 【变式6-3】（2025·山东泰安·二模）如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入 个. 【答案】6 【解题思路】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解. 【解答过程】如图， 则，解得， 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， 因为，所以，即， 则，设圆的半径为，则， 解得，即小球的半径为1, 作俯视图， 因为为等边三角形，所以， 由可知，这样的小球最多能放入6个. 故答案为：6. 【题型7 外接球之二面角模型】 【例7】（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【解答过程】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 【变式7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，为斜边上一动点，将沿折起，使的对应点为，且二面角的大小为，当的长最小时，三棱锥外接球的半径为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】设，结合面面垂直性质定理得出平面，再结合图形根据勾股定理可得，即可求解点的位置，结合正方体的外接球计算方法求解即可. 【解答过程】如图，设，则， 过点作于点， 因为二面角的大小为，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 过点作于点，则，， 又，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以， 当时，有最小值2，此时平分，且，，三点重合， 三棱锥可看作是棱长为的正方体的一角， 设三棱锥外接球的半径为， 则，解得. 故选：B. 【变式7-2】（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【解答过程】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 【变式7-3】（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取中点为E，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算. 【解答过程】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A. 【题型8 与球的切、接有关的最值问题】 【例8】（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出外接球的半径，由此可求出圆锥底面半径长，并求出圆锥高的最大值，结合锥体体积公式可求得结果. 【解答过程】设圆锥的外接球半径为，则，解得， 所以，圆锥的底面半径为， 所以，当圆锥的高为时，圆锥的体积最大， 且其最大值为. 故选：B. 【变式8-1】（2025·湖南·二模）在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图建立空间直角坐标系，利用外心定义可得的外接圆圆心的坐标，进而可得外接圆半径，设点的坐标为，设的坐标为，然后利用，可得，再由基本不等式可得答案. 【解答过程】以A为坐标原点，为轴，过A作的垂线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设三角形的外接圆的圆心为，则点在平面上，且为线段AB中垂线与线段AD中垂线交点，注意到线段AB中垂线方程满足，AD中点为， 又在平面中，，则AD中垂线方程满足， 联立与，故解得点的坐标为， 过点作平面的垂线，则外心一定在此垂线上，故可设的坐标为，又因为， 故三角形的外接圆半径， 由题可设点的坐标为，且， 由外接球的定义知：， 故，得， 故当最小时，半径最小，即体积最小， 由基本不等式知， ，当且仅当时等号成立，即， 故体积. 故选：B. 【变式8-2】（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【解答过程】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 【变式8-3】（2025·四川成都·二模）直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据题意利用正四面体的性质得出棱长与高之间的关系，再由10个球在正四面体盒子内部摆放规则以及内切关系，利用三角形相似即可求得的最大值. 【解答过程】如图所示， 因为正四面体的高等于其棱长的倍，所以其高为. 10个半径为的小球放进棱长为的正四面体中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为个， 当取最大值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 则该正四面体的棱长为， 可得正四面体的高. 连接并延长交于点，连接，过点作于点， 易知，所以， 所以， 所以正四面体的高， 解得，所以的最大值为2. 故选：D. 【题型9 与球的切、接有关的截面问题】 【例9】（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案． 【解答过程】设正方体棱长为，则正方体对角线长就是球的直径， 球心O是正方体对角线中点， 由正方体对角线公式，解得． 因为点是棱的中点，当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小． 因为，，勾股定理，解得， 设截面圆半径为，则， 所以截面面积， 故选：C． 【变式9-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥补成长方体并建立空间直角坐标系，设、外接球半径为R，求出各点及球心坐标，分析截面圆的面积差从而求出h、R，代入球的表面积公式即可得解. 【解答过程】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R， 以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为， 最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为. 因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为， 所以，解得， 则，外接球表面积为：. 故选：D. 【变式9-2】（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果. 【解答过程】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 【变式9-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出三棱锥外接球的半径，取的中点，当垂直截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解. 【解答过程】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】 【例10】（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用正方体的外接球与内切球的性质结合球体的表面积与体积公式计算即可. 【解答过程】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知： . 故选：A. 【变式10-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径. 【解答过程】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正四棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D. 【变式10-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解. 【解答过程】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为, 则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形， 在中，， 由得，，整理得，. 设内切球的半径为，中，，， 所以，所以四棱锥表面积为， 由，即， ∴，则的长为. 故选：B. 【变式10-3】（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【解答过程】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 一、单选题 1．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【答案】A 【解题思路】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径. 【解答过程】 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 所以外接球半径， ∵，∴ 因此圆锥外接球的表面积为48π. 故选：A. 2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【解答过程】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 3．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【解答过程】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. 4．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【答案】D 【解题思路】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【解答过程】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 5．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据正八面体的结构特征可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而利用球的表面积公式即可求得. 【解答过程】如图正八面体，连接和交于点， 因为，，所以，， 又平面，平面，， 所以平面， 设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为， 假设正八面体的棱长为， 则，，， ，， 因，则，且为正八面体的中心， 则点到平面的距离为内切球半径， 因为，即， 即，所以， 所以. 故选：C. 6．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意得到翻折后四面体ABCD是2个直角三角形构成的，所以外接球球心在斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知平面AOC，又可求体积. 【解答过程】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先证明出平面，所以，则为三棱锥的外接球的直径，且 ，作出辅助线，得到平面，求出到平面的距离 ，平面与三棱锥的外接球球面的交线为圆，且圆的半径，故其周长为. 【解答过程】因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 则为三棱锥的外接球的直径， 平面，平面，所以， ，由勾股定理得． 取为的中点，过作，为垂足，， 平面，平面，所以， 又，平面，故平面， 因为为等边三角形，且，则 ， 所以到平面的距离 ， 故平面与三棱锥的外接球球面的交线为圆， 且圆的半径满足，解得，故其周长为 故选：B. 8．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是的中点，所以外接球的球心与中点的连线垂直面,再使用余弦定理列出方程，根据运动过程中角的范围，求出外接球半径的范围，得出答案. 【解答过程】 如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接， 因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点， 则由球的性质可知，平面， 设外接球半径为, 是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形, , 在中勾股定理可知, 则在中利用余弦定理可得， ,，则，得， 所以的最小值为1，外接球体积最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解题思路】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【解答过程】    对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 10．（2025·江西·模拟预测）已知多面体的底面为正方形，，，，均垂直于底面，，且，，，四点共面．下列说法正确的是（    ） A． B．若多面体存在外接球，则该外接球的表面积为 C． D．若，，则三棱锥的内切球半径为 【答案】ACD 【解题思路】据线面垂直的性质判断A；由外接球的特征和性质判断B；据棱锥的体积公式判断C；应用等体积法判断D. 【解答过程】如图1-4，在正方形中，． 由题意平面，平面，所以， 由，，则四边形为平行四边形，所以， 所以，又都在平面内，所以平面． 又平面，所以，故A正确． 如图1-5，当多面体为正方体时，才有外接球，外接球的半径等于体对角线的一半，为，所以外接球的表面积，故B错误． 如图1-6，，，故C正确． 如图1-7，若，，，解得，故D正确． 故选：. 11．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则（   ） A．正方体的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为 B．平面 C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为 D．平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】BCD 【解题思路】先由外接球的表面积计算正方体的棱长，由面对角线为棱切球的直径即可求得棱切球的半径，进而得表面积，连接交于，连接，即证，由线面平行判断定理即可判断，求当底面为正方体一个面的一半，高为棱长时，三棱锥的体积，再求当底面为正方体面对角线时，高为时，三棱锥的体积，比较体积最大即可判断C，先求平面截正方体所得的截面即可求解. 【解答过程】设正方体的棱长为，由正方体的外接球的表面积为，所以， 解得，又， 对于A：设正方体的棱切球的半径为， 所以，所以棱切球的表面积为，故A错误； 对于B：连接交于，连接，在正方体中，为的中点，又M为线段BC的中点， 所以，又不在平面内，平面，所以平面，故B正确； 对于C：这样的三棱锥有两类：有3个顶点在正方体的一个面内，体积为， 三棱锥任意3个顶点不在正方体的同一面内，体积为，因此三棱锥的体积最大为，C正确； 对于D：取的中点为，连接，取的中点为，连接，由且 所以四边形平行四边形，所以，又且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以，所以平面为平面截正方体所得的截面， 又正方体的棱长为2，所以,所以四边形为菱形， 又，所以四边形的面积为，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为 . 【答案】 【解题思路】设出底面边长和高后，结合正四棱锥外接球与内切球性质用底面边长及高表示出外接球半径与内切球半径，而后作商，多次换元将式子化简后结合基本不等式计算即可. 【解答过程】设正四棱锥底面边长为，高为，底面的中心为，连接， 则，，所以， 设外接球球心为，内切球球心为，则，在上， 因为，所以， 在中，，化简得， 因为， 所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，注意到，故. 故答案为：. . 13．（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ． 【答案】 【解题思路】根据鳖臑的性质结合线面垂直的判定定理与性质得线线垂直，设的中点为，从而可得点为四面体外接球的球心，结合球的几何性质确定球心到平面的距离得截面圆的半径，即可得所求. 【解答过程】设的中点为，连接， 因为鳖臑的四个面都是直角三角形， 且，故． 因为，，，故． 又，，故． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，，平面， 平面， 又平面，所以， 和都是以平面为斜边的直角三角形． 由于为的中点，则点为四面体外接球的球心， 外接球的半径，且点到平面的距离为， 的外接圆半径， 平面截四面体的外接球的截面的面积为． 故答案为：． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【答案】 【解题思路】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【解答过程】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由直角三角形面积公式得到面积，由余弦定理和三角形面积公式得到面积，相加得到表面积； （2）由两两垂直可知补成长方体，长方体体对角线即为外接球直径，再由球的体积公式得到外接球体积. 【解答过程】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 16．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设底面圆心为，半径为，利用正弦定理即可求出，利用圆锥的侧面展开图是半圆即可求出，即可求出圆锥的高，设圆锥外接球半径为，建立方程求出即可求解； （2）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为，利用相似三角形即可求出，根据圆台的体积公式即可求解. 【解答过程】（1）设底面圆心为，半径为，所以. 由正弦定理可知，则. 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以，所以，所以圆锥的高. 设圆锥外接球的半径为，则，解得， 所以外接球的表面积为. （2）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为， 由图根据三角形相似可知，解得，， 所以圆台的体积为. 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）三棱锥中，，且平面平面 (1)证明： (2)证明锐二面角的平面角大于. (3)设三棱锥的体积为，内切球的半径为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）应用线面垂直的判定证明线面垂直，再由线面垂直的性质证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，令，再应用向量法得到二面角余弦值关于的表达式，即可证； （3）根据（2）及棱锥体积公式、等体积法得到关于的表达式，进而有，应用换元法及导数研究其最值，即可得. 【解答过程】（1）由，若为的中点， 则且都在平面内， 所以平面平面，则； （2）由平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，平面，则，又， 故可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 若且，所以， 若为平面的一个法向量，则，取， 若为平面的一个法向量，则，取， 锐二面角的余弦值是， 所以锐二面角的平面角大于. （3）由，则， 而，所以， 令，则，故， 显然时，时， 在上单调递减，在上单调递增，所以. 18．（2025·甘肃白银·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面.    (1)证明：． (2)求三棱锥的外接球的表面积． (3)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【解题思路】（1）要证明线线垂直，转化为证明平面，根据线面垂直的判断定理，结合垂直关系，即可证明； （2）首先根据几何关系，找到三棱锥外接球的球心，再根据半径求外接球的表面积； （3）方法一：首先根据几何关系，证明，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据几何关系，写坐标，再分别求平面和平面的法向量，根据向量公式，即可求解； 方法二：根据二面角平面角的定义，结合几何关系，证明，构造二面角的平面角，即可求解. 【解答过程】（1）∵，∴， ∵，∴． ∵平面，平面，且平面平面， ∴，∴． ∵O为的中点，，∴， 又∵平面平面，平面平面， ∴平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 平面，∴． （2）由（1）知，的外接圆为圆O， 此时，等边的外接圆圆心即为球心Q， ，由正弦定理可得外接圆半径， 则球Q的表面积为． （3）连接，中，为的中点，则， 又，所以， 为公共边，得，则，则是等边三角形， 由（1）知，则，即． （方法一）以O为坐标原点，垂直于的直线为x轴，，所在直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．    设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面PCD的法向量为， 则，即，令，则． ，故二面角的正弦值为． （方法二）易得，又，PC为公共边，则，又， 所以平面，则，易得． 在直角中，作，垂足为E，连接BE，易知， 则为二面角的平面角．    在直角中，由等面积法易求得，则在中， ，故二面角的正弦值为． 19．（2025·四川绵阳·模拟预测）三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面上的射影E是线段靠近点A的四等分点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求三棱锥外接球体积； (3)设靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面?若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【解题思路】（1）法一：利用等体积法，求出点到平面的距离，从而；法二：连接PE，证得，求得，过B作，证得平面，得到为与平面所成角，在中，求得，利用面积相等法，求得，再直角中，即可求得与平面所成角的正弦值； （2）由几何性质知，球心M在过AB中点O且与面CAB垂直的垂线上，建立AB中点O为空间坐标原点，OC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴的空间直角坐标系，设，由，可解； （3）以AB中点O为空间坐标原点，OC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，，则D点轨迹方程，分别求出平面和平面的法向量，根据可解. 【解答过程】（1）法一：等体积法：，， ， ∴由，则， ． 法二：连接PE，因为P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点， 可得，因为平面，所以， 在直角中，可得， 又因为平面，所以平面平面，且交线为CE， 过B作于点G，连接PG， 因为平面，由面面垂直的性质，可得平面， 故为PB与平面PCE所成角， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 又由，所以， 在中，由，所以， 即直线PB与平面PCE所成角的正弦值为； （2）由几何性质知，球心M在过AB中点O且与面CAB垂直的垂线上， 建立AB中点O为空间坐标原点，OC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，过点O平行于的直线为轴的空间直角坐标系， 则，，设， 由，， ，故，， 故； （3）则由几何关系可得，，，，，由， 在平面xOy中，D在以E、F为焦点的椭圆上，故①， 设面PBC的法向量，，，由， 有，令，得， 设面PBD的法向量，，，由， ，取，则， 故得②代入①得（舍）或． 而，故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点22 立体几何中的外接球、内切球问题 【全国通用】 【题型1 定义法求外接球问题】 4 【题型2 补形法求外接球问题】 5 【题型3 截面法求外接球问题】 6 【题型4 棱切球模型问题】 7 【题型5 内切球模型问题】 7 【题型6 多球相切问题】 8 【题型7 外接球之二面角模型】 9 【题型8 与球的切、接有关的最值问题】 10 【题型9 与球的切、接有关的截面问题】 10 【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】 11 1、立体几何中的外接球、内切球问题 球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力，难度中等.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或转化为特殊几何体的切、接问题来解决，球的切、接问题求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解. 知识点1 正方体、长方体与球的切、接问题 1．正方体与球的切、接问题 (1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. (2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长. (3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长. 2．长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长( a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 知识点2 正棱锥与球的切、接问题 1．正棱体与球的切、接问题 (1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. (2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正棱锥外接球半径为R，高为h). 知识点3 正四面体的外接球、内切球 1．正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，， ，. 知识点4 正三棱柱的外接球 1．正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心. 若正三棱柱的高为h柱，正三棱柱的外接球半径为R，则. 知识点5 圆柱、圆锥的外接球 1．圆柱的外接球 (R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 2．圆锥的外接球 (R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 知识点6 空间几何体与球的切、接问题的解题策略 1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 2．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. (2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解. 3．内切球问题的求解策略： (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法. 【题型1 定义法求外接球问题】 【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【题型2 补形法求外接球问题】 【例2】（2025·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（   ）. A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【变式2-3】（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【题型3 截面法求外接球问题】 【例3】（2025·广东佛山·一模）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·安徽·一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（    ） A．2 B．8 C．2或12 D．4或8 【题型4 棱切球模型问题】 【例4】（2025·全国·模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为，则球冠的曲面面积.球是棱长为1的正方体的棱切球，则球在正方体外面部分曲面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 . 【题型5 内切球模型问题】 【例5】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【题型6 多球相切问题】 【例6】（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .    【变式6-3】（2025·山东泰安·二模）如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入 个. 【题型7 外接球之二面角模型】 【例7】（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，为斜边上一动点，将沿折起，使的对应点为，且二面角的大小为，当的长最小时，三棱锥外接球的半径为（   ） A． B． C． D．2 【变式7-2】（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式7-3】（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【题型8 与球的切、接有关的最值问题】 【例8】（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·湖南·二模）在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·四川广安·模拟预测）在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川成都·二模）直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【题型9 与球的切、接有关的截面问题】 【例9】（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型10 多面体与球体内切外接综合问题】 【例10】（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式10-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【变式10-3】（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 5．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 6．（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 10．（2025·江西·模拟预测）已知多面体的底面为正方形，，，，均垂直于底面，，且，，，四点共面．下列说法正确的是（    ） A． B．若多面体存在外接球，则该外接球的表面积为 C． D．若，，则三棱锥的内切球半径为 11．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则（   ） A．正方体的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为 B．平面 C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为 D．平面截正方体所得的截面的面积为 三、填空题 12．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为 . 13．（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    四、解答题 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 16．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积. 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）三棱锥中，，且平面平面 (1)证明： (2)证明锐二面角的平面角大于. (3)设三棱锥的体积为，内切球的半径为，求的最小值. 18．（2025·甘肃白银·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面.    (1)证明：． (2)求三棱锥的外接球的表面积． (3)若，求二面角的正弦值． 19．（2025·四川绵阳·模拟预测）三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面上的射影E是线段靠近点A的四等分点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求三棱锥外接球体积； (3)设靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面?若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $