6.4 空间几何体的空间角与空间距离（精练）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

6.4 空间几何体的空间角与空间距离（精练试卷版） 1． 单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（23-24安徽芜湖·期末）在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 因为E，F分别是，的中点， 所以，故或其补角为直线与所成的角， ， 又， 故， 故直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 2.（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，， ，，设向量与的夹角为， ， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 3．（2025·青海）在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 则，故， 因为轴平面，则可取平面的法向量为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 4．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，而平面平面，平面平面， 又平面平面，则平面，， 因此直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令圆半径，则， ，设平面的一个法向量， 则，令，得，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 5（2025广西）如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为上一动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点作于点，连，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又∵平面，∴，故为直线与平面所成的角，在中，越小，越大，越大，当时，最小，此时最大，∵为等腰直角三角形，又，在中，,在中，，则,在等腰直角三角形中，，在中，,,则， 故选：C. 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ． 则 ，，，，所以 ，，， 设平面 的法向量为，则 令 ，则 ，，所以平面 的一个法向量为． 所以点 到平面 的距离为， 故选：A 7．（2025·甘肃白银·三模）已知平行六面体的各棱长均为1，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B．线段的长度为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积是平行六面体的体积的 【答案】D 【解析】以为空间向量的基底来表示空间向量： ， 因为 所以，故B正确； 又由， 则，故A正确； 由底面是菱形，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 因为平面，平面平面， 所以直线与平面所成的角就是， 利用的菱形可得：， 再由余弦定理得：， 则，故C正确； 设平行六面体的高为，则三棱锥的体积为， 而平行六面体的体积为， 所以三棱锥的体积是平行六面体的体积的，故D错误； 故选：D. 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）在等腰梯形中，为中点，点为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，下列说法中不正确的有（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】B 【解析】在等腰梯形中，为中点， ，且，四边形为平行四边形， ，且，又，所以为等边三角形， 即，所以四边形和四边形均为菱形， ，，， ，翻折后， ，， 又平面，，所以平面，故A正确； 对于B，平面平面，平面平面，， 平面，平面，， ，，， 则，即，， 设点到平面的距离为， ，解得，故B错误； 对于C，与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，根据题意为等边三角形，且平面平面， 设外接圆圆心，过分别作平面与平面的垂线，交点即为球心，连接， ， ， 所以三棱锥外接球表面积为，故D正确； 故选：B 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 10．（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【解析】对于A：依题意，，则四边形为平行四边形, 所以，又平面，平面，故平面，故A正确； 对于B：因为，又，， 所以 ， 则，故B正确； 对于C，因为，所以（或其补角）即为直线与所成的角， 不妨设，，则，， 故直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，取的中点，连接，则是正三棱柱的中截面， 平面平面，平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 取的中点，连接，由， 得，又，则是平面与平面的夹角， 在中，，则， 所以平面与平面的夹角为，故D正确． 故选：ABD 11．（2025·浙江嘉兴·二模）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．当时，点到平面的距离为 C．当平面平面时， D．当二面角为时， 【答案】AC 【解析】因为底面，，底面是边长为的正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，其中， 故点， 对于A选项，，， 若存在点，使得，则，解得，合乎题意， 所以，存在点，使得，A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得，且， 所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 若平面平面，则，解得，C对； 对于D选项，平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 若二面角为，则，解得，D错. 故选：AC. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    【答案】 【解析】连接与交于点，因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以平面， 又，则平面， 故即 为在平面上的射影，即为所求的线面角， 又，，故.    故答案为：. 13．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 【答案】 【解析】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 14．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内（包含边界）的动点，且，则动点的轨迹长度为 ；当线段取最小值时，三棱锥的外接球的半径 ． 【答案】 【解析】如图①，建立空间直角坐标系，则． 设，则， 由题意得，则． 又因为，，所以． 设分别为的中点，则线段为动点的轨迹，轨迹长度为． ，则当时，线段取得最小值，此时， 则点在平面内的投影为点的中点． 如图②，设三棱锥的外接球的球心为． 由题意，为的外接圆圆心，， 则，即， 解得，所以． 故答案为：  ，. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 16．（2025·江西赣州·二模）如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点．    (1)证明：； (2)若，，，求E到平面ACD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）设的中点为，连接，    由是等边三角形，则， 由中位线定理知且，则， 又平面，故平面， 由平面，所以. （2）由，则， 由题设，则，， 由余弦定理， 又，，则， 由，则， 由平面，平面，可得平面平面， 在平面内作，则平面， 综上，两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，    所以，而，则， 所以，，， 设为平面的一个法向量，则， 取，则， 所以到平面的距离为. 17．（2025·全国·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）如图所示，取的中点，连接． 由分别为的中点，则， 而，得， 即四边形为平行四边形，故， 而平面平面，故平面． （2）取的中点的中点，连接， 由为等边三角形，则． 由平面平面，平面平面平面， 故平面． 由， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 则． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 则．     由图形知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 18．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【解析】（1）证明：因为， 所以由题在和中，，故， 所以， 所以可得，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又由直三棱柱性质可得，平面， 所以平面. （2）由题意和（1）可以C为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若，则可设， 则,设， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，， 则，， 取，则， 所以， 解得（舍去）或 ， 所以若，在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时为线段的中点. 19．（23-24广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【解析】（1）连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； （2）由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 空间几何体的空间角与空间距离（精练试卷版） 1． 单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（23-24安徽芜湖·期末）在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·青海）在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5（2025广西）如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为上一动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃白银·三模）已知平行六面体的各棱长均为1，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B．线段的长度为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积是平行六面体的体积的 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）在等腰梯形中，为中点，点为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，下列说法中不正确的有（    ） A．平面 B．点到平面的距离为 C．与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球表面积为 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱中，点E为棱的中点，点F为棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 11．（2025·浙江嘉兴·二模）已知四棱锥，底面是边长为的正方形，底面，，点满足，，下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．当时，点到平面的距离为 C．当平面平面时， D．当二面角为时， 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，四边形为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为 .    13．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 14．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内（包含边界）的动点，且，则动点的轨迹长度为 ；当线段取最小值时，三棱锥的外接球的半径 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 16．（2025·江西赣州·二模）如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点．    (1)证明：； (2)若，，，求E到平面ACD的距离． 17．（2025·全国·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，如图所示． (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，平面平面，，求二面角的余弦值． 18．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19．（23-24广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $