第四章 一元一次方程全章复习讲义（知识回顾+3重难点题型）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

第四章 一元一次方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 等式的性质 题型二 解一元一次方程 题型三 一元一次方程的应用 知识清单 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 题型方法 【题型一】等式的性质 【例1】（21-22七年级上·江苏盐城·期末）下列运用等式的基本性质变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列等式变形中，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【变式3】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，把一边长为厘米的铁皮的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，然后把它折成一个无盖长方体铁盒．    (1)该铁盒的高是______厘米，底面积是______平方厘米； (2)为了使铁盒底面达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满(不考虑铁皮的厚度)，求此时x与y之间的数量关系． 【题型二】解一元一次方程 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【题型三】一元一次方程的应用 【例3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则这列火车的长度是（    ）米 A．120 B．160 C．200 D．240 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 【变式2】（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）甲乙两地相距60千米，小明8点乘车从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度是每分钟1千米，后一半时间平均速度是每分钟0.8千米，小明经过多少分钟到达乙地？ 【变式3】（22-23七年级上·江苏南通·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）假设“”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如．按照这个规定，则方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或或 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据（    ） A．等式的基本性质1 B．乘法结合律 C．等式的基本性质2 D．乘法分配律 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数的值是 ． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当x分别取、0、1、2时，代数式对应的数值如下，则的解 ． …… 0 1 2 …… 1 3 5 10．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   11．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 12．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 三、解答题 13．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求的值 15．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 16．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 17．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”．    (1)若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为______； (2)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______； (3)点表示数，点表示数，为数轴上一点． 若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______； 若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一元一次方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 等式的性质 题型二 解一元一次方程 题型三 一元一次方程的应用 知识清单 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 细节剖析： 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 题型方法 【题型一】等式的性质 【例1】（21-22七年级上·江苏盐城·期末）下列运用等式的基本性质变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．要注意等式的性质：性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．依据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； C、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； D、根据等式的性质可知原变形错误，正确的结果是，故此选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列等式变形中，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，熟记等式的性质是解题的关键．根据等式的性质解答判断即可． 【详解】解：A、的两边都加上或减去m，得到，故该项不符合题意； B、的两边都乘以m，得到，故该项不符合题意； C、如果，在等式两边都除以，得到，当时，分式无意义，故该项符合题意； D、如果，在等式两边都除以，得到，故该项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 【变式3】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，把一边长为厘米的铁皮的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，然后把它折成一个无盖长方体铁盒．    (1)该铁盒的高是______厘米，底面积是______平方厘米； (2)为了使铁盒底面达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满(不考虑铁皮的厚度)，求此时x与y之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式； （1）根据题意可得该纸盒的高为y厘米，然后算出底面积即可； （2）由“剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，既不重叠又恰好铺满”得出，据此变形求解即可． 【详解】（1）由题意可得：该纸盒高度为y厘米；∴底面积=平方厘米； 故答案为：，； （2）由题意得：， ∴． 【题型二】解一元一次方程 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解方程的解，代入计算，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据方程的解代入得到，代入所求方程得到，根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：关于的方程的解为， ∴， 解得，， ∴关于的方程变形得， ∴， ∴， 移项得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故选：B ． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程． 根据一元一次方程解的定义得到，把代入即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得， 把代入得到 ， 解得， 故答案为：2 【变式2】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得． 【变式3】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型三】一元一次方程的应用 【例3】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．则这列火车的长度是（    ）米 A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系．根据行程问题利用火车的速度不变，列出一元一次方程即可求解. 【详解】解：设这列火车的长度是． 根据题意，得 解得． 所以这列火车的长度是． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确地列出方程．设种萝卜的小长方形土地的长为，根据萝卜与白菜的总产量比为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设种萝卜的小长方形土地的长为，萝卜的单位面积产量为， 则：种白菜的小长方形土地的长为，白菜的单位面积产量为， 由题意，得：， 解得：； 种植萝卜的小长方形土地的长为； 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）甲乙两地相距60千米，小明8点乘车从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度是每分钟1千米，后一半时间平均速度是每分钟0.8千米，小明经过多少分钟到达乙地？ 【答案】小明经过分钟到达乙地． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设一半的时间是x分钟，那么前一半时间行驶的路程是x千米，后一半时间行驶的路程是千米；把这两部分路程加在一起就是全程60千米，由此求解． 【详解】解：设一半的时间是x分钟，由题意得： ， 解得， （分钟）， 答：小明经过分钟到达乙地． 【变式3】（22-23七年级上·江苏南通·期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：一元一次方程应同时满足三个条件:①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③整式方程．根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、未知数的次数是2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、只含有一个未知数，未知数的次数是1，是整式方程 ，是一元一次方程，故该选项符合题意； C、有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）假设“”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据图得出三者之间的关系式是解题的关键．由第一个天平可知，，由第二个天平可知，，即可解答． 【详解】解：由第一个天平可知，， 由第二个天平可知，， ∴， ∴“？”处应放△的个数是6， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如．按照这个规定，则方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程．能结合的定义分情况讨论是解题关键． 分时，时和时三种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：当时，， 即，解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 即，解得， 当时，， 即，解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，， 故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据（    ） A．等式的基本性质1 B．乘法结合律 C．等式的基本性质2 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据乘法分配律解答即可． 【详解】解：在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据乘法分配律． 故选D． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 据题意，得：． 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用剩下的部分铁丝原来的长度第一次用去的长度第二次用去的长度，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一次用去它的一半少1米，即米， ∴第一次剩余米， ∵第二次用去剩下的一半多1米， ∴第二次用去米， 根据题意，得， 故选：B． 二、填空题 7．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）已知为整数，且方程的解是正整数，则 ． 【答案】，，， 【分析】此题考查了一元一次方程的解，表示出方程的解是解本题的关键．表示出方程的解，由为整数，方程的解为正整数求出的值即可． 【详解】解：方程移项合并得：， 解得：， 由为整数，且方程的解为正整数，得到，，，， 解得：，，，． 故答案为：，，，． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数的值是 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了解一元一次方程，先解方程得，结合解为非负整数，则或或或或因为为整数，解得或，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于的一元一次方程的解为非负整数， ∴为非负整数， ∴或或或或 解得，或，或，或，或 ∵为整数， ∴或． 故答案为：5或． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当x分别取、0、1、2时，代数式对应的数值如下，则的解 ． …… 0 1 2 …… 1 3 5 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、解一元一次方程，先根据表格数据求出k、b，再解一元一次方程即可． 【详解】解：根据表格数据，当时，，即， 当时，，即，则， 解方程得， 即的解， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识，根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键．设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白色皮子（六边形）中，有三边与黑皮子（五边形）相连，可得白色皮子边数是黑皮子边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白色皮子的周围有3个黑色皮子边， ∴白色皮子的边数为黑色皮子的2倍， ∴， 解得：， 答：黑色皮子共有12块． 故答案为：12． 12．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．利用等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作， ∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （3）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （4）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为：； （2）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为：； （3）解： 去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为：； （4）解： 去分母： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为：． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求的值 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 分别解方程和，即可得到，进而求解即可； 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得， 由题意得，， 解得； 15．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 16．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如上表：现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 【答案】(1)双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元 (2)应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元，根据买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要元列出方程解出x的值可得答案； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，分两种情况：若购买球珠直径的三色笔，与购买球珠直径的三色笔，列出方程，解方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ， 双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元； （2）设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，则购买双色圆珠笔数量为支， 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ∴这种情况不符合题意； 若购买球珠直径的三色笔， 则， 解得， ， 应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支． 17．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”．    (1)若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为______； (2)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______； (3)点表示数，点表示数，为数轴上一点． 若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______； 若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 【答案】(1) (2) (3)或或；或或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“联盟点”的定义，以及求数轴上两点之间距离的方法． （1）根据“联盟点”的定义可得或，设点表示的数为，得出的取值范围为，然后进行分类讨论即可； （2）根据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可； （3）设点标示的数为，进行分类讨论：当点在点和点之间时，当点在点左边时，即可解答；设点表示的数为，然后进行分类讨论：当点是点和点的“联盟点”时，当点是点和点的“联盟点”时，当点是点和点的“联盟点”时． 【详解】（1）解：点是点的“联盟点”， 或， 设点表示数为， 点在、之间，且表示负数， ， 若，则， 解得：，（不合题意舍去）； 若，则， 解得：， 故答案为：； （2）根据题意可得： ， ， 是点的“联盟点”， ， ， 不是点的“联盟点”， ， ， 不是点的“联盟点”， ， ， 是点的“联盟点”， 总之，是点的“联盟点”， 故答案为：； （3）设点表示的数为， 当点在和之间时， 若，则， 解得； 若，则， 解得； 当在左边时，， 则， 解得：； 故答案为：或或； 设点表示的数为， 当是和的“联盟点”时，， 则， 解得； 当是和的“联盟点”时， 若，则， 解得， 若，则， 解得； 当是和的“联盟点”时，， 则， 解得舍去， 综上：点表示的数为或或， 故答案为：或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $