2.1.2 有理数的减法题型专练 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步题型练系列

2.1.2 有理数的减法 有理数的减法法则 1．若等式成立，则中应填入的运算符号是（    ） A．+ B． C．× D．÷ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的减法法则可以解答本题． 【详解】， 若等式□成立，则□中应填入的运算符号是“”， 故选：B． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此计算即可求解． 考查了有理数的减法，方法指引：在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号减号变加号；二是减数的性质符号减数变相反数． 【详解】解：． 故选：B． 3．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，根据有理数的减法法则进行运算，再逐一比对，即可得到答案. 【详解】解：故A不符合题意； ，故B不符合题意； 故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选:C. 4．在下列横线上填上适当的数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 3 2.5 2.5 【分析】（1）减去一个数等于加上这个数的相反数； （2）减去一个数等于加上这个数的相反数； （3）减去一个数等于加上这个数的相反数． 【详解】解：（1）， 故答案为：3，； （2）， 故答案为：，； （3）， 故答案为：2.5，2.5． 5．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的计算，可以把带分数拆成整数和分数，再计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 6．计算： （1）1.67﹣2.87； （2）﹣2﹣（）； （3）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）利用减法法则变形，计算即可得到结果． 【详解】（1）原式＝﹣（2.87﹣1.67）＝﹣1.2； （2）原式＝﹣2+31； （3）原式＝（）+（﹣4）＝﹣5． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8； (2)0； (3)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算； （2）根据有理数的减法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 有理数减法的应用 8．以下选项中，比1小2的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解答的关键．题目要求找出比1小2的数，即计算1减去2的结果． 【详解】解：根据题意，“比1小2”即进行减法运算：． 故选：B． 9．重庆城口县冬季里某天白天的气温为，到晚上的气温达到，那么城口的昼夜温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法运算的应用，解题的关键是掌握有理数的解法运算法则．根据题意列出算式，再利用减法法则计算即可． 【详解】解：这一天的温差为：， 故选：B． 10．珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，某日测得山脚气温为，山顶气温为℃，则山脚与山顶的温度差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的减法运算的应用，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵山脚气温为，山顶气温为， ∴山脚与山顶的温度相差为：． 故选：C． 11．近年来，随着我国冷饮市场、冷鲜肉市场、水果蔬菜市场的不断扩大，人们对这些易腐食品的消费量快速增长，进而促进了冷库容量的增长．某零售性冷库的温度是，按照存储要求下降后，又下降了，则两次变化后该冷库的温度是 ． 【答案】/摄氏度 【详解】本题考查了有理数减法的应用，用原温度减去两次下降的温度即可． 【分析】解：， 故答案为：． 12．下表记录的是我国5个城市某天的最低气温． 南京 银川 北京 杭州 连云港    (1)气温最高的城市是 ，气温最低的城市是 ； (2)将这5个城市当天的最低气温所对应的数据在数轴上表示出来； (3)连云港与北京的温度相差 °C． 【答案】(1)银川，北京； (2)图见详解； (3)3； 【分析】本题考查正负数应用及用数轴上的点表示有理数、有理数减法的应用， （1）根据表格找到最大值与最小值即可得到答案； （2）根据表格逐个表示出来即可得到答案； （3）利用高气温减低气温即可得到答案； 【详解】（1）解：由表格可得， ， ∴气温最高的城市是银川，最低的是北京， 故答案为：银川，北京； （2）解：数轴上表示如图所示，   ； （3）解：由表格可得， 连云港与北京的温度相差：， 故答案为：3． 13．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周三生产了多少辆摩托车？ (2)本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 【答案】(1)297辆 (2)减少了21辆 (3)35辆 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加减法运算实际应用． （1）用每天计划生产的数量加上星期三的数据可得答案； （2）把表格中这七天的数据相加，若结果为正则增加，为负则减少； （3）产量最多的一天是星期五，产量最少的一天是星期日，把这两天的数据相减即可得到答案． 【详解】（1）解：（辆）， 答：本周三生产了297辆； （2）解：∵， 答：本周总生产量与计划生产量相比，是减少了21辆． （3）解：根据题意可得产量最多的一天是星期五，产量最少的一天是星期日， ∴（辆）， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产了35辆． 有理数的加减混合运算 14．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据有理数加减法法则计算即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 15．将写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式是解题的关键． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式为． 故选：A． 16．根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算程序图，有理数的加减混合运算，理解有理数的运算程序图是解题关键．根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到4，问题得解． 【详解】解：； ． 故选：C． 17．把写成省略加号和括号的形式是___________；读作：___________或___________． 【答案】 ﹣4﹣13﹣5+9 负4减13减5加9 负4、负13、负5、9的和 【分析】首先把减法改为加法，省略括号和前面的加号即可． 【详解】解： ； 读作：负4减13减5加9或负4、负13、负5、9的和． 故答案为：﹣4﹣13﹣5+9；负4减13减5加9；负4、负13、负5、9的和． 18．简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再根据有理数的简便运算，即可求解； （2）先去括号，再正数与正数相加，负数与负数相加，即可求解； （3）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解； （4）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 19．计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】（1）先将分数化为小数，然后按照加法运算律进行简便运算；（2）根据同分母结合计算； （3）先算绝对值，再计算减法；（4）根据同分母结合计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．用较为简便的方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)1 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）利用交换律与结合律化为，再计算即可； （2）先求解绝对值，再计算即可； （3）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （4）利用交换律与结合律化为，再计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 21．观察以下计算过程： （第一步） （第二步） （第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并改正． 【答案】不正确，错在第一步，改正见解析 【分析】用拆项法把；化为，再用加法的交换律和结合律计算． 【详解】解：不正确，错在第一步，改正如下： ． 有理数加减法的实际应用 22．某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元     月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 甲厂 乙厂 A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4 【答案】B 【分析】先分别求出这5个月甲厂、乙厂的盈利或亏损，再作差即可得． 【详解】解：这5个月甲厂的盈利为（万元）， 这5个月乙厂的盈利为（万元）， 则这5个月甲厂比乙厂多盈利（万元），故选：B． 23．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（    ） 微信转账 扫二维码付款 微信红包 便民菜站 A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元 【答案】A 【分析】根据收入记作“”，支出记作“”，收入与支出之和就是结余钱数，然后计算得出结果． 【详解】解： （元）， ∴元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是收入元． 故选：A． 24．小明从A地向东走10米，然后折回向西走了13米，又折回向东走了6米，则现在小明距离A地 米． 【答案】3 【分析】根据题意列式求解即可． 【详解】由题意可得， ∴现在小明距离A地3米． 故答案为：3． 25．一辆公交车上原有14人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）：此时公交车上有 人． 【答案】11 【分析】本题主要考查的是有理数的计算法则的应用．根据有理数的计算法则即可求出答案． 【详解】解：， 故此时公交车上有11人， 故答案为：11． 26．列式计算： （1）减去与2.5的和所得差是多少？ （2）3，，的和比这三个数和的绝对值大多少？ 【答案】（1）0；（2）-16 【分析】（1）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的减法运算法则进行计算即可得解； （2）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的乘方的定义以及有理数的减法运算法则和绝对值的性质进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 27．检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修公路，如果规定向东行驶为正，一天中行驶记录如下：（单位：千米）． (1)求收工时距离A地多少千米？ (2)若每千米耗油0.3升，这天共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时距离A地1千米 (2)这天共耗油12.3升 【分析】此题考查了正数与负数、绝对值的意义以及有理数的加法运算，解题关键是运用有理数加法运算解决问题． （1）求出行驶记录中的数据之和即可解决问题． （2）求出这天行驶的路程之和即可解决问题． 【详解】（1）由题知， （千米）， 所以收工时距离A地1千米． （2）因为（千米）， 所以（升）， 故这天共耗油12.3升． 绝对值与有理数的加减法 28．若，且，则的值为（    ） A．7 B．3 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，绝对值，正确求出x、y的值是解题的关键． 先根据绝对值的性质求出x、y的值，再根据进一步确定x、y的值，然后分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或， 故选：C． 29．当，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值运算，有理数的减法运算，由得到，根据，确定有两种情况：分别进行计算即可求解，掌握绝对值运算及分类讨论是解题的关键. 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴时，；时，； 当，时， ； 当，， ； ∴的值为或， 故选：B. 30．已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义及化简是解题的关键，由，得到，再根据，得到，确定满足条件的的值，即可得出． 【详解】，， ， ， ， ，或， 当时，， 当时，， 的值为或． 故答案为：或． 31．若，，且，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值，有理数的减法，先根据绝对值的结果分别求出a，b的所有的值，再根据得出，，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， ， ，， ． 有理数的加减法与数轴问题 32．有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；④；⑤，一定成立的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、乘法运算及有理数的数轴表示方法，在利用有理数在数轴上的对应点对有理数的大小进行判断的基础上找出正确选项是解题的关键． 根据数轴确定a、b的范围，即可解答． 【详解】解：由数轴可得：， ∴；；；；， ∴正确的有：①③④⑤，共4个， 故选：B． 33．如图，把周长为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动10周，此时点A表示的数是（    ） A．11 B． C．10或 D．11或 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上点的移动，有理数的加法，减法运算的含义，利用往右移动用加法，往左移动用减法可得答案． 【详解】解：向右转动10周，； 向左转动10周，， 故择：D． 34．如图，半径为1的圆放在数轴上，点A表示的数是2，将圆沿数轴向左侧转动三周，点A转动后表示的数是 ．    【答案】/ 【分析】计算出圆的周长，根据滚动前点A的位置得到点A滚动3周后表示的数． 【详解】解：圆的半径为1， 该圆的周长为， 当该圆从原点出发，向左沿数轴滚动3周时， 滚过． ∵滚动前点A表示的数是2， ∴点A转动后表示的数是． 故答案为：． 35．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法运算： （1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案； （2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案． 【详解】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3， ∴在数轴上点A和点C的距离为， ∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度， ∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）∵在刻度尺上点B对应刻度， ∴在数轴上点A和点B的距离为， ∴数轴上点B所对应的数b为， 则 故答案为：． 36．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空：________0，_________0，___________0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2)0 【分析】（1）根据数轴上点的位置得到，由此根据有理数四则运算法则进行求解即可； （2）根据（1）所求先去绝对值，然后根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴ ． 有理数加减法运算中的新定义和材料阅读题 37．设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 38．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 【答案】D 【分析】根据题意，先规定正方向为正、负方向为负，再利用有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则 ， 故选：D． 39．对于任意有理数，，定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解的运算方法，列出算式是解题的关键．根据的运算方法列出算式，再根据加减运算进行计算即可． 【详解】解：根据定义新运算：， 可得． 故答案为：． 40．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． (1)点A，B在数轴上分别表示有理数x，1，那么A到B的距离可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)请画出数轴探究： ①当取最小值2时，x可以取整数______； ②求的最小值以及此时x的值． 【答案】(1) (2)①1，2，3；②当时，最小值为4． 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点间的距离表示方法即可求解； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，进而求解即可； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离． 【详解】（1）解：∵点A，B在数轴上分别表示有理数x，1， A到B的距离可表示为， 故答案为：； （2）①如图所示， ∴到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间（包含端点），最小距离即是这两个点的距离， ∴当取最小值2时，x在1和3之间（包含端点）， ∴x可以取整数1，2，3 故答案为：1，2，3； ②如图所示， 到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， 在时取最小值，最小值为． 41．对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，，…… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________； (2)根据法则计算：__________；__________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ① ② 【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值 (2)； (3)①；② 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值． （2）解：； ． 故答案为：；． （3）解：， 故答案为：①；②． 42．阅读下面的方法． 解：原式[（﹣5）+（﹣9）+（﹣3）+17] 计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式变形后，利用加法法则计算即可得到结果． 【详解】原式＝[（﹣2011）+（）]+[（﹣2012）+（）]+4023+[（﹣1）+（）] ＝[（﹣2011）+（﹣2012）+4023]+[（）+（）+（）]+（﹣1） ＝﹣3． 有理数加减法运算与数轴上两点间距离问题 43．对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为 ． 【答案】或． 【分析】根据绝对距离的定义分析可得：点C在点P和点Q之间，用含a的式子表示出和，列式求解即可． 【详解】解：设点P表示的数为a，则点Q表示的数为 当点C在线段左侧或者右侧时， ， ∴点C在点P和点Q之间， 当点C在点P和点Q之间时，如图所示： ，， ∴， ， 解得：或； 故答案为：或． 44．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是 　　 ． ②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 　　 ．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 　 　． ③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝　 　． ④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是 　． ⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是 　 　． 【答案】见详解 【分析】①利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； ②利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； ③利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； ④利用数形结合思想和题干中的结论将满足条件的所有整数一一列举，并把它们相加即可得出结论； ⑤利用数形结合思想和题干中的结论结合绝对值的意义解答即可． 【详解】解：①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是|1﹣（﹣5）|＝6， 故答案为：6； ②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|， 数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为|a﹣7|， 故答案为：|x+2|；|x﹣7|； ③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的点到表示2，﹣4两点的距离之和， ∴当x在2和﹣4之间时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值为|2﹣（﹣4）|＝6， 故答案为：6； ④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的点到表示﹣1，4两点的距离之和为5， 又表示﹣1，4两点的距离之和为5， ∴数x在﹣1和4之间， ∵x为整数， ∴满足条件的所有整数x的值为：﹣1，0，1，2，3，4， ∴满足条件的所有整数x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9， 故答案为：9； ⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的点到表示﹣1，3两点的距离之和为8， 又∵3﹣（﹣1）＝4， ∴表示x的点可能在3的右侧或在﹣1的左侧， 即x＞3或x＜﹣1． 当x＞3时， ∵|x﹣3|+|x+1|＝8， ∴x﹣3+x+1＝8， 解得：x＝5； 当x＜﹣1时， ∵|x﹣3|+|x+1|＝8． ∴3﹣x﹣x﹣1＝8， 解得：x＝﹣3， 综上，满足条件的x的所有值是5和﹣3． 故答案为：5和﹣3． 45．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 46．点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 【答案】(1) (2)①最小值为；②点表示的数为，点表示的数为． 【分析】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握点在数轴上的运用，绝对值的意义． （1）根据题意，数轴上的点和点重合，可得到点重合的数，即可; （2）根据题意，则表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和，即可；根据对应的点与对应的点重合，则数轴从对应的点处折叠，即可求出，． 【详解】（1）由数轴折叠可知，数轴上的点和点重合， 所以折叠的点表示的数是2， ∴点与表示数的点重合． 故答案为：． （2）∵表示数轴上对应的点分别到对应的点和对应的点的距离之和 ∴当的值最小时，所对应的点的位置应该在对应的点和对应的点之间 ∴的最小值为； ∵对应的点与对应的点重合， ∴数轴从对应的点处折叠， ∵，两点之间的距离为（点在点的左侧）, ∴点与对应的点之间的距离为，点与对应的点之间的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为． 47．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 48．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 49．（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 50．（2024·河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【答案】（1）-2，1，-1，-4；（2）-88 【分析】（1）根据以为原点，则表示1，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值； （2）根据原点在图中数轴上点的右边，且，可得表示，表示，表示，据此可得的值． 【详解】解：（1）若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为1， 此时，， 若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； （2）原点在图中数轴上点的右边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 有理数的减法 有理数的减法法则 1．若等式成立，则中应填入的运算符号是（    ） A．+ B． C．× D．÷ 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．在下列横线上填上适当的数． （1） ； （2） ； （3） ． 5．计算： 6．计算： （1）1.67﹣2.87； （2）﹣2﹣（）； （3）． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 有理数减法的应用 8．以下选项中，比1小2的数是（   ） A． B． C． D． 9．重庆城口县冬季里某天白天的气温为，到晚上的气温达到，那么城口的昼夜温差为（   ） A． B． C． D． 10．珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，某日测得山脚气温为，山顶气温为℃，则山脚与山顶的温度差为（    ） A． B． C． D． 11．近年来，随着我国冷饮市场、冷鲜肉市场、水果蔬菜市场的不断扩大，人们对这些易腐食品的消费量快速增长，进而促进了冷库容量的增长．某零售性冷库的温度是，按照存储要求下降后，又下降了，则两次变化后该冷库的温度是 ． 12．下表记录的是我国5个城市某天的最低气温． 南京 银川 北京 杭州 连云港    (1)气温最高的城市是 ，气温最低的城市是 ； (2)将这5个城市当天的最低气温所对应的数据在数轴上表示出来； (3)连云港与北京的温度相差 °C． 13．某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周三生产了多少辆摩托车？ (2)本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 有理数的加减混合运算 14．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 15．将写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 16．根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 17．把写成省略加号和括号的形式是___________；读作：___________或___________． 18．简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．用较为简便的方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．观察以下计算过程： （第一步） （第二步） （第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并改正． 有理数加减法的实际应用 22．某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元     月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 甲厂 乙厂 A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4 23．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（    ） 微信转账 扫二维码付款 微信红包 便民菜站 A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元 24．小明从A地向东走10米，然后折回向西走了13米，又折回向东走了6米，则现在小明距离A地 米． 25．一辆公交车上原有14人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）：此时公交车上有 人． 26．列式计算： （1）减去与2.5的和所得差是多少？ （2）3，，的和比这三个数和的绝对值大多少？ 27．检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修公路，如果规定向东行驶为正，一天中行驶记录如下：（单位：千米）． (1)求收工时距离A地多少千米？ (2)若每千米耗油0.3升，这天共耗油多少升？ 绝对值与有理数的加减法 28．若，且，则的值为（    ） A．7 B．3 C．或 D． 29．当，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．已知，，且，则的值为 ． 31．若，，且，求的值． 有理数的加减法与数轴问题 32．有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式①；②；③；④；⑤，一定成立的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 33．如图，把周长为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动10周，此时点A表示的数是（    ） A．11 B． C．10或 D．11或 34．如图，半径为1的圆放在数轴上，点A表示的数是2，将圆沿数轴向左侧转动三周，点A转动后表示的数是 ．    35．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 36．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空：________0，_________0，___________0． (2)化简：． 有理数加减法运算中的新定义和材料阅读题 37．设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 38．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 39．对于任意有理数，，定义新运算：，则 ． 40．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． (1)点A，B在数轴上分别表示有理数x，1，那么A到B的距离可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)请画出数轴探究： ①当取最小值2时，x可以取整数______； ②求的最小值以及此时x的值． 41．对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，，…… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________； (2)根据法则计算：__________；__________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ① ② 42．阅读下面的方法． 解：原式[（﹣5）+（﹣9）+（﹣3）+17] 计算：． 有理数加减法运算与数轴上两点间距离问题 43．对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为 ． 44．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是 　　 ． ②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 　　 ．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 　 　． ③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝　 　． ④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是 　． ⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是 　 　． 45．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 46．点，，在数轴上的位置如图所示． (1)折叠数轴，使数轴上的点和点重合，则点与表示数_____的点重合． (2)有理数，在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若，两点之间的距离为（点在点的左侧），将数轴折叠，使得对应的点与对应的点重合，此时，两点也重合，求，两点分别表示的数． 47．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 48．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 50．（2024·河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 学科网（北京）股份有限公司 $