3.1列代数式表示数量关系（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版七年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 3.1列代数式表示数量关系（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1：代数式的概念 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 题型1 识别代数式 例1．下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②；③；④a；⑤0；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的定义．根据代数式的定义判断各项即可． 【详解】解：①；②；③；④a；⑤0；⑥中代数式是：①；④a；⑤0；⑥，共4个． 故选：B． 【变式1-1】．下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式，解题的关键是熟练掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“”“”“”“”等符号的不是代数式．根据代数式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 0 是代数式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、不是代数式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式定义，正确理解代数式的定义是解题的关键．利用代数式定义“代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子”逐个判定即可得到答案． 【详解】解：，，这个是代数式， 故选：B． 【变式1-3】．下列各式中，不属于代数式的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的定义，代数式中不能含有表示相等关系或不等关系的符号，熟练掌握代数式的定义是解题的关键．根据代数式的定义：把数或字母用加减乘除乘方等运算符号连接起来的式子就是代数式，即可求解． 【详解】解：A．8是一个数字，属于代数式，故此选项不符合题意； B．是代数式，故此选项不符合题意； C．是代数式，故此选项不符合题意； D．是等式，不是代数式，故此选项符合题意； 故选：D． 知识点2 代数式的意义 代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系 题型2代数式表示的实际意义 例2．代数式的正确解释是（   ） A．a的平方与b的倒数的差 B．a与b的倒数的差的平方 C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数 【答案】A 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果． 【详解】解：依题意，代数式的正确解释是a的平方与b的倒数的差． 故选：A． 【变式2-1】．下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序． 根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 【变式2-2】．某商品的原价为a元，现打八折后再降价元出售，则售价应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据代数式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵某商品原价是元，现打八折后再降价元出售， ∴售价为元， 故选：D； 【变式2-3】．下面是4位同学关于“代数式表示什么”的说法：①贝贝说她每小时走，共走；②晶晶说她每分钟跑，则跑；③小明说一个瓶子的体积为，4个同样的瓶子的体积为；④小强说一只老虎平均一天吃肉，则天吃肉．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．理解代数式的意义，逐一判断选项即可． 【详解】解：①贝贝说她每小时走，共走；正确； ②晶晶说她每分钟跑，则跑；正确 ③小明说一个瓶子的体积为，4个同样的瓶子的体积为；正确； ④小强说一只老虎平均一天吃肉，则天吃肉；正确． 故选：D． 知识点3 代数式书写要求 ①代数式中出现数字与字母相乘、字母与字母相乘，乘号通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 题型3判断代数式书写是否规范 例3．下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意； B、应写成，该选项错误，不符合题意； C、应写成，该选项错误，不符合题意； D.、该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】．在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解：符合代数式书写要求； 应改为； 符合代数式书写要求； 符合代数式书写要求； 应改为； 综上可知符合代数式书写要求的有，，，共个， 故选：． 【变式3-2】．下列式子中符合代数式的一般书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据代数式的知识，进行作答，然后逐选项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； B、原代数式书写正确，此选项符合题意； C、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； D、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式3-3】．以下表示的实际意义，书写不规范的是（　　） A．三角形的面积为cm2 B．高铁的速度为300 km/h C．商品的售价为a－1元 D．圆环的面积是（πR2－πr2）cm2 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式的书写要求以及代数式带单位的要求即可得出选项． 【详解】解：根据代数式的书写要求以及代数式带单位的要求可得A、B、D选项正确，C选项中，商品的售价为元． 故选：C． 【点睛】题目主要考查列代数式的书写规范要求，熟练记忆书写规范是解题关键． 知识点4 列代数式 列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言 题型4用代数式表示数量关系 例4．列式表示下列各量：王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师骑自行车的平均速度是 千米/时；若王老师乘公共汽车可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是 千米/时． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，掌握距离速度时间是解题关键．根据题意正确列式即可． 【详解】解：王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师骑自行车的平均速度是千米/时；若王老师乘公共汽车可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是千米/时， 故答案为：，． 【变式4-1】．如图，正方形的边长为，圆的半径为，用整式表示图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，用圆的面积减正方形的面积列出代数式即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式4-2】．中国最早的一部数学著作——《周髀算经》中记载的“赵爽弦图”（如图），它是由四个完全相同的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．直角三角形的一条直角边为厘米，小正方形的边长为2厘米，则三角形的另一条直角边是( )厘米，大正方形的面积为( )平方厘米． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了直角三角形的边长关系和面积计算公式．首先，根据小正方形的边长和直角三角形的边长关系求出另一条直角边的长度；然后利用直角三角形的面积公式和小正方形的面积计算大正方形的总面积，即可作答． 【详解】解：∵它是由四个完全相同的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．直角三角形的一条直角边为厘米，小正方形的边长为2厘米， ∴三角形的另一条直角边是厘米， ∴大正方形的面积 （平方厘米） 故答案为：， 【变式4-3】．跨学科物理 科学考察船利用声呐从海面向海底垂直发射超声波，经过秒接收到回波信号．已知声音在海水中的传播速度为1500米/秒，则该处海底的深度为 米（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 根据路程速度时间，列代数式即可． 【详解】解：由题意可知超声波从海面到海底的时间为秒， ∴该处海底的深度为 (米)， 故答案为：． 知识点5 用代数式表示正比例关系 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，则称这两个量为成正比例的量，这两个量的关系称正比例关系。 题型5 用代数式表示正比例关系 例5．学校购买每本10元的会议记录本，购买会议记录的本数和应付的钱数成 比例，如果用表示购买会议记录本的本数，用表示应付的总钱数，则 ． 【答案】 正 【知识点】正（反）比例关系、用字母表示数 【分析】此题考查的目的是理解正比例的意义以及单价、数量、总价三者之间的关系，要熟练掌握． 判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例；然后根据总价单价数量，用字母表示出即可． 【详解】解：应付的钱数购买会议记录本的本数每本记录本的钱数（一定）；故购买会议记录的本数和应付的钱数成正比例；， 故答案为：正；． 【变式5-1】．如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是 ．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成 比例关系． 【答案】 48 正 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了正比例关系，理解题意，掌握正比例关系的含义是关键． 根据三角形面积为得到，再代入三角形面积公式，结合正比例关系的概念判定即可． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 当时，三角形的面积是， ∴， 解得，， ∴当时，， ∵，线段的长不变，三角形的面积随着的长度增大而增大， ∴三角形的面积和线段的长度成正比例关系， 故答案为：①；② 正． 【变式5-2】．科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【答案】 正 9.6 【知识点】正（反）比例关系 【分析】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握． （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量． 【详解】解：（1）（千克/厘米） （千克/厘米） （千克/厘米） …… （千克/厘米） 2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是： （厘米） 所挂物体的质量是： （千克） 答：当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克． 故答案为：（1）正．（2）9.6． 【变式5-3】．船在静水中的速度为，水速为，船顺流航行的行程比逆流航行的行程多 ． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据已知表示出船顺流航行的速度和逆流航行的速度，然后根据路程速度时间，可以得出船在顺水和逆水中航行的行程，然后用船顺流航行的行程减去逆流航行的行程，化简即可求出答案． 【详解】解：船在静水中的速度为，水速为， 船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为， 船顺流航行的行程是，船逆流航行的行程是， 两个行程差为， 故答案为：． 知识点6 用代数式表示反比例关系 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，则称这两个量为成反比例的量，这两个量的关系称反比例关系。 题型6用代数式表示反比例关系 例6．已知表格中m与n成反比例关系，则 ． m 6 2 n 3 x 【答案】9 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例的定义，熟练掌握反比例的定义是解题的关键． 根据反比例的定义可知，进一步计算即可． 【详解】解：∵表格中如果与成反比例关系， ， 解得， 故答案为：9． 【变式6-1】．下面各题中的两个量成反比例关系的有 ． ①三角形的面积一定，它的底和高；②全班的人数一定，男生人数与女生人数；③完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数． 【答案】①③ 【知识点】正（反）比例关系 【分析】根据反比例关系的定义即两个量的乘积是一个常数，解答即可． 本题考查了反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得①三角形的面积一定，它的底和高是反比例关系； ②全班的人数一定，男生人数与女生人数的和是一个常数，它们不是反比例关系； ③完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数是反比例关系． 故答案为：①③． 【变式6-2】．判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【答案】③ 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握两个变量的乘积一定时，这两个变量成反比例关系； 根据成反比关系的定义逐项判断即可． 【详解】解：销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故①不符合题意; 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故②不符合题意； 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故③符合题意； 圆的周长与它的半径成正比例关系，故④不符合题意； 故答案为：③. 【变式6-3】．某电路的电源电压U（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为，且电源电压U恒定不变，则电阻R和电流I两个量成 关系（填“正比例”或“反比例”，根据下表，“△”处应填 ． （单位：Ω） 100 110 △ （单位：A） 2 【答案】 反比例 88 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查反比例关系的应用，掌握知识点是解题的关键： （1）根据反比例关系的定义判断即可； （2）利用，求出U的值，可得R，I的关系，再将代入，即可解得． 【详解】解：由得 ， ∴当电源电压U恒定不变，则电阻R和电流I两个量成反比例关系． 将代入，得 解得， ∴， 当时，． 故答案为：反比例，88． 知识点7 用代数式表示式子，图形的规律 规律探求的核心是找出每个数对应的位次之间的关系 若数列是分数系列，按分子、分母分别找规律 若数列是正负交替排列则在答案前加上（-1）n+1 ,若数列是负正交替排列在答案前面加上（-1）n 题型7 用代数式表示数式规律 例7．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的变化规律要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，找到规律：从1开始的连续的奇数的和是一个完全平方数，是奇数的个数的平方，是解题关键． （1）由图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可； （2）利用（1）的规律推出一般规律即可； 【详解】解：（1）∵； ； ； ； ∴； 故答案为： （2）由（1）归纳可得： ， 故答案为：； 【变式7-1】．已知一串有规律的数：，，，，那么这串数中第8个数是 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】解答此题的关键是根据给出的数列，找出规律，再根据规律，即可得出答案． 观察给出的数列，可得出规律：前一个分数的分子和分母的和做后一个分数的分子，前一个分数的分母和后一个分数的分子的和做后一个分数的分母；据此规律即可求出答案． 【详解】解：根据分析， 可得：，，，，，，， 所以这串数中第8个数是． 故答案为：． 【变式7-2】．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查代数式的数字规律，根据题意得到数字的规律是解题的关键． 由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． 故答案为：． 【变式7-3】．由2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…组成的三角形数阵如图所示．则第n行的n个数的和是 ．    【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查归纳推理，首先找出三角形数阵的规律，求出第n行第1个数为和最后一个偶数为，然后求和即可． 【详解】解：由三角形数阵得，第n行有n个偶数， 则前行共有正偶数：个， ∴第n行第1个偶数为：， 第行最后一个偶数为：， 第n行的n个数的和是：． 故答案为：． 题型8用代数式表示图形规律 例8．探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意知：第（1）个图形中五角星的个数为；第（2）个图形中五角星的个数为；第（3）个图形中五角星的个数为；得出第（）个图形中五角星的个数为，由此得出答案即可． 【详解】解：第（1）个图形中五角星的个数为； 第（2）个图形中五角星的个数为； 第（3）个图形中五角星的个数为； 第（4）个图形中五角星的个数为； 所以第（）个图形中五角星的个数为． 故答案为：． 【变式8-1】．如图，每个图案都由若干个“●”组成，其中第1个图案中有7个“●”，第2个图案中有13个“●”，…，则第99个图案中“●”的个数为 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是将原图形中的点进行无重叠的划分来计数．根据第1个图案中“●”有：个，第2个图案中“●”有：个，第3个图案中“●”有：个，第4个图案中“●”有：个，据此可得第n个图案中“●”有：个，即可求出第99个图案中“●”的个数． 【详解】解：∵第1个图案中“●”有：（个）， 第2个图案中“●”有：（个）， 第3个图案中“●”有：（个）， 第4个图案中“●”有：（个）， … ∴第n个图案中“●”有：个， ∴第99个图案中“●”有：（个）， 故答案为：． 【变式8-2】．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示，规律铺设，第一个图案有6块白色地砖，第二个有10块，第三个有14块，依此类推，则第n个图案有 块白色地砖． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 根据图示，第1个图形有白色地砖6块；第2个图形有白色地砖（块）；第3个图形有白色地砖（块），第个图形白色地砖的块数：块．据此解答． 【详解】解：第1个图形有白色地砖6块， 第2个图形有白色地砖（块）， 第3个图形有白色地砖（块）， …… 以此类推，第个图形白色地砖的块数：块， 故答案为： 【变式8-3】．如图分别是甲烷、乙烷、丙烷分子结构模型，按照此规律，则丁烷中“”的个数是 ． 【答案】10 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形规律探索．由图可得，甲烷中“”的个数是；乙烷中“”的个数是；丙烷中“”的个数是；按此规律即可求解． 【详解】解：由图可得，甲烷中“”的个数是； 乙烷中“”的个数是； 丙烷中“”的个数是； 则可知丁烷中“”的个数是． 故答案为：． 题型9 代数式表示式子规律的探究 例9．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】（1）观察发现，第一个等号后面的式子规律是分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1．进而可写出第二个等号后面的式子． （2）把（1）中发现的规律用含的代数式表示出来即可； （3）运用变化规律计算即可． 本题考查了用代数式表示规律，并运用规律进行简便计算．找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律填空，第5个等式为：， 故答案为：，． （2）解：用含的代数式表示第个等式为：， 故答案为：，． （3）解： ． 【变式9-1】．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设，将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)阴影部分的面积是_____． (2)利用图2，设计能求的值的几何图形，并求出它的值_______． (3)根据“破浪组”的方法，计算（为正整数）的值，并写出计算过程． (4)___________________．（直接写答案） 【答案】(1) (2)图见解析， (3)，计算过程见解析 (4) 【知识点】乘方的应用、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等，据此即可求解； （2）依照题目的示范作图，再结合图形的面积即可求值； （3）模仿“破浪”组算法，即可得到答案； （4）利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，将两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又因为第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：； （2）解：如图所示，图中①到⑧部分之和即为：求的值的几何图形 同理（1）中的方法可得，第⑧部分的面积为， 所以阴影部分的面积为， 所以图中①到⑧部分的面积之和为， 即； 故答案为：； （3）解：设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； （4）解：令， 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得， 即． 故答案为：． 【变式9-2】．观察下列等式 …… (1)按规律填空： ； (2)按规律填空： ； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是正确的观察题目给出的各个关系式，考查了同学们的信息加工能力． （1）根据材料可知，和的结果是首数与末数的平均数的平方． （2）根据材料可知，和的结果是首数与末数的平均数的平方． （3）将原式化为后利用总结的规律解得即可． 【详解】（1）解：根据材料规律可得， 故答案为：． （2）解：根据材料规律可得， 故答案为：． （3）解：原式 ． 【变式9-3】．观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第个式子 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了数字规律，掌握从特殊到一般的推理过程进行归纳规律成为解题的关键． 根据已有式子，推出规律即可解答． 【详解】解：第一式：； 第二式：； 第三式：； 第四式：； …… 第个式子是． 题型10代数式表示图形规律的探究 例10．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数？      【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的变化规律，观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，有个； 当时，有个； 当时，有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴窗花数为个． 【变式10-1】．如图，大四边形是由若干个大小形状完全相同小等腰梯形拼成的，每个等腰梯形的上底长为1，下底长为2，腰长是1． (1)填表： 小梯形个数 1 2 3 4 5 … 大四边形外围周长 5 8 17 … (2)当小梯形有n个时，求大四边形外围周长； (3)当有90个小梯形时，求大四边形外围周长． 【答案】(1)11，14 (2) (3)大四边形外围周长是272 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查梯形的周长及图形的规律，理解题意，找出相应规律是解题关键． （1）根据图形即可填表； （2）结合表格中数据找到规律即可解答； （3）将代入（2）中结论计算即可解答． 【详解】（1）解：有3个小梯形时，大四边形外围周长是11； 有4个小梯形时，大四边形外围周长是14； 故答案为：11，14； （2）解：当小梯形的个数是1时，大四边形的外围周长为； 当小梯形的个数是2时，大四边形的外围周长为； 当小梯形的个数是3时，大四边形的外围周长为； …， 当小梯形的个数是n时，大四边形的外围周长为． （3）解：把代入可得，， 答：大四边形外围周长是272． 【变式10-2】．中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【答案】(1)18，37；24，61； (2)169个． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形规律探究，通过分析研究总结出规律是解题的关键． （1）通过分析，总结出第n层新增基站数规律：个； （2）把代入，计算即可． 【详解】（1）解：第二层新增基站数：个，总基站数：个； 第三层新增基站数：个，总基站数：个； 第四层新增基站数：个，总基站数：个； 第五层新增基站数：个，总基站数：个； …… 第n层新增基站数规律：个． 故答案为：18；37；24；61；． （2）解：当时， ． 答：总基站数是169个． 【变式10-3】．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)观察并发现规律，请猜想___________； (2)试用含有的式子表示这一规律：___________；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律和图形的变化类及有理数的运算，根据图形得出等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方是解题的关键． （1）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得； （2）由等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，首数为，等式右边为，则末尾数为； （3）①，则； ②由，，两式相减即可求解． 【详解】（1）解：观察，发现规律：，，，， ． 故答案为：； （2）解：由等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，首数为，等式右边为， 则末尾数为， 故答案为：； （3）解：①， ； ②， ， 上式减去下式可得：． 题型11 实际问题中的代数式 例11．请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的实际意义．当给代数式中的字母赋予不同的意义时，整个代数式表示的意义就会不同，因此本题没有固定答案． （1）根据立方可以和正方体的体积联系即可； （2）根据代数式表示比增加赋予实际意义即可； （3）根据代数式的特点赋予实际意义即可． 【详解】（1）一个棱长为米的正方体钢块的体积是立方米 （2）某款价格为元的钢笔在“双十一”加价后的售价是元 （3）巧克力糖每千克元，奶油糖每千克元，用3千克巧克力糖和2千克奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混合糖每千克的平均价格为元（答案不唯一）． 【变式11-1】．某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，每辆车的平均速度与行驶时间如下表所示： 平均速度 75 80 90 行驶时间 (1)行驶的时间随着平均速度的变化怎样变化？ (2)分别用（单位：）和（单位：）表示平均速度和行驶时间，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)行驶时间随着平均速度的增大而减小 (2)与的关系用式子表示为；与成反比例关系 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义 【分析】本题考查的是成反比例关系的含义，理解反比例关系是解本题的关键； （1）根据平均速度的变化结合时间的变化可得答案； （2）先计算从公司到邻市市场的距离为，再结合速度时间关系可得答案． 【详解】（1）解：观察表格可知，行驶时间随着平均速度的增大而减小． （2）解：∵速度时间距离， ∴从公司到邻市市场的距离为． ∴与的关系用式子表示为．           即与成反比例关系． 【变式11-2】．写出下列代数式表示的实际意义： (1)一个等边三角形的边长为a，一个正方形的边长为b，则表示 ___________； (2)若苹果每千克p元，橘子每千克q元，则代数式表示 ___________． 【答案】(1)三角形和正方形周长的和 (2)用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题主要考查了代数式的意义，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系． （1）根据等边三角形的周长公式和正方形的周长公式即可得出答案； （2）苹果每千克p元，橘子每千克q元，根据苹果6千克，买橘子4千克，可得买苹果和橘子共花了元，由此可得实际意义． 【详解】（1）解：表示三角形和正方形周长的和； 故答案为：三角形和正方形周长的和． （2）解：表示用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱． 故答案为：用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱． 【变式11-3】．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天停车场内共有45辆中小型汽车，其中小型汽车有a辆． (1)单项式表示的实际意义为________； (2)这一天停车场共可收缴停车费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)a辆小型汽车的停车费 (2)这一天停车场共可收缴停车费为元． 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了列代数式． （1）根据题意，得出单项式4a表示的实际意义为a辆小型汽车的停车费； （2）根据停车总费用中型汽车辆数小型汽车辆数，即可得出关于a的代数式． 【详解】（1）解：单项式表示的实际意义为a辆小型汽车的收费， 故答案为：a辆小型汽车的停车费； （2）解：根据题意得：， 答：这一天停车场共可收缴停车费为元． 例12．某商店购进一批旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个20元的价格销售300个，第二周若按每个20元的价格销售，仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，售价每降低2元，可多售出60个，但售价不得低于进价） （1）第一周该商店销售的旅游纪念品获得的总利润是　 　元． （2）若售价降低x元，用含x的代数式表示第二周的旅游纪念品的售价是　 　元，销售数量是　 　个． （3）在实际销售中，商店决定售价降低6元，则第二周该商店销售旅游纪念品获得的总利润是多少元？ 【答案】（1）4200；（2）（60-x），；（3）3840元． 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义 【分析】（1）根据单件利润×销售数量=总利润即可求解； （2）根据题意即可用含x的式子表示出售价和销售数量； （3）根据第（2）步求出售价和销售数量，即可求出总利润． 【详解】解：（1）（20-6）×300=4200（元）， 故答案为：4200； （2）由题意得第二周旅游纪念品的售价是（20-x）元，销售数量是（元）， 故答案为：（60-x）， （3）当商店售价降低6元时，售价为20-6=14（元），销售数量为300+30×6=480（元）， 此时商店的总利润为（14-6）×480=3840（元）， 答：商店决定售价降低6元，则第二周该商店销售旅游纪念品获得的总利润是3840元． 【点睛】本题考查了商品销售利润问题，理解题意，熟知总利润公式，准确求出售价和销售数量是解题关键． 【变式12-1】．小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式． 观察下面式子，完成以下问题：，，，… (1)请写出第15个式子： ； (2)请用含n的式子表示第n个式子： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了代数式规律，并根据规律进行求解； （1）根据已知等式找出第个式子，即可求解； （2）根据已知等式找出第个式子，即可求解； （3）根据已知等式进行拆项化为，进行消项运算， 即可求解； 能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案：； （2）由题意得 ， 故答案：； （3）解：原式 ． 【变式12-2】．观察如图所示的图形与算式的规律并解决问题．       （    ） (1)根据前三个图形与算式的规律，写出如图所示的图形对应的算式：__________． (2)根据以上观察，__________． (3)利用上面发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的混合运算． （1）分析所给的三个图形与算式即可求解； （2）对上述的图形与算式进行总结即可； （3）利用所得的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．表示a除以b乘c的商的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题目中的数量关系是关键．首先表示出除数，然后表示出商即可． 【详解】解：除以b乘c所得的商为， 故选：C． 2．下列代数式书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号，逐一判断即可，解题的关键是正确理解代数式的书写要求． 【详解】解：①应写成； ②书写正确； ③书写正确； ④应写成； ⑤，书写正确． 正确的有②③⑤，共3个， 故选：C． 3．某商品原价为x元，现打八折销售，则现价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据在商品销售中，打几折就是按原价的百分之几十出售可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：某商品原价为x元，现打八折销售，则现价为元， 故选：A． 4．如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．10个黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的规律探索，主要培养学生的观察能力和总结能力， 即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：，由此解答即可． 【详解】解：1个黑色的圆片周围有6个白色圆片； 2个黑色的圆片周围有10个白色圆片； 3个黑色的圆片周围有14个白色圆片； 4个黑色的圆片周围有18个白色圆片； …… 即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：， 故选：A． 5．下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据题意用代数式表示出该阴影部分的面积即可． 【详解】解：图中阴影部分面积是． 故选：B． 6．请你想好一个数，将该数与2019之和乘以6，减去42，再将其差除以6，然后减去你想好的那个数，最后的结果等于（　　） A．0 B．2008 C．2012 D．2019 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式、有理数混合运算等知识点，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 设想好的数为a，再根据题意列代数式，然后运用有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：设想好的数为a，由题意可得： ． 故选C． 7．如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌．一汽车在A地的东处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用代数式表示规律问题，解题的关键是发现汽车所行驶的路程的变化规律，并能用代数式表示出来． 根据题意，经过第一个广告牌时行驶了千米；经过第2个广告牌时行驶了千米；经过第3个广告牌时行驶了千米，从而推出经过第n个广告牌时行驶的路程． 【详解】经过第1个广告牌时所行驶的路程为； 经过第2个广告牌时所行驶的路程为； 经过第3个广告牌时所行驶的路程为； 经过第4个广告牌时所行驶的路程为； ⋯ 经过第n个广告牌时所行驶的路程为． 故选：D 8．如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例，掌握相关知识是解决问题的关键．若x与y成正比例，则▲△，由此解答问题即可． 【详解】解：若x与y成正比例，则▲△， 即▲△， 故C选项不符合题意， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．一本书共100页，赵军每天读a页，读了4天后，还剩下 页． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．先用每天读的页数乘读的天数，算出已经读的页数，再求出剩下的页数即可． 【详解】解：一本书共100页，赵军每天读页，读了4天后，还剩页． 故答案为：． 10．小高去超市买学习用品，已知每支中性笔m元，每支铅笔n元，则代数式的实际意义是 ． 【答案】5支中性笔和3支铅笔的总钱数 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，解题的关键理解题意，根据代数式的运算关系表示实际意义． 根据代数式的运算关系，联系实际场景，表示出实际意义即可． 【详解】解：代数式的实际意义是：5支中性笔和3支铅笔的总钱数， 故答案为：5支中性笔和3支铅笔的总钱数． 11．我们知道，，，，，……那么： ．利用上面规律解答下面问题：算一算： ． 【答案】 【分析】此题考查规律探究、有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可．根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，，，…， ∴， ∴ ， 故答案为：，． 12．如图是由边长为的若干个正方形叠加形成的图形，其中第一个图形由1个正方形组成，周长为，第二个图形由个正方形组成，周长为．第三个图形由个正方形组成，周长为，依次规律…第个图形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形类规律探究，将第1、2、3个图形中正方形个数写成序数的平方，周长是序数6倍与2的差， 即可写出第n个图形中正方形的个数和周长 【详解】解：根据题意，知： 第一个图形：正方形有个，周长为； 第二个图形：正方形有：个，周长为； 第三个图形：正方形有：个，周长为； 第四个图形：正方形有：个，周长为； 以此类推，第个图形有正方形个，其周长为：； 故答案为：． 13．将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，第个图案中，黑棋子的个数为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． 根据图形分别表示各个图案中黑白棋子的变化规律，可得第n个图案的规律． 【详解】解：由图可知， 黑棋子的变化为： 时，0个； 时，个； 时，个； 时，个； ……； 故第n个图案中黑棋子个数为； 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．用代数式表示： (1)的3倍与的和； (2)与两数和的平方减去它们的积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，理解题意是解题关键． （1）m的3倍表示为，与n相加即可； （2）a、b两数和的平方表示为，它们的积表示为：，作差即可． 【详解】（1）解：m的3倍表示为，与n相加得：． （2）a、b两数和的平方表示为，它们的积表示为：， ∴． 15．判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： (1)加工一批零件，每小时加工的个数与加工的时间； (2)长方形的周长一定，长和宽； (3)每公顷的产量一定，总产量和总的公顷数； (4)教室里的面积一定，教室里的人数和每人占地的面积． 【答案】(1)是，见解析 (2)不是，见解析 (3)不是，见解析 (4)是，见解析 【分析】本题考查成反比例关系的判断.判断两个量是否成反比例关系，关键在于看这两个量之间的乘积是否一定，若一定，则成反比例关系，否则不成反比例关系． 【详解】解：（1）因为每小时加工的个数×加工的时间=这一批零件的总个数，所以每小时加工的个数与加工的时间成反比例关系； （2）周长=2（长+宽），所以长方形的周长一定，长和宽不成反比例关系； （3）总产量÷总的公顷数=每公顷的产量，所以总产量和总的公顷数不成反比例关系； （4）教室里的人数×每人占地的面积=教室的面积，所以教室里的人数和每人占地的面积成反比例关系． 16．列式表示下列各量： (1)工程队要修路a米，原计划每天修b米，因天气原因，实际每天少修c米，则实际修了多少天？ (2)王鑫在长跑比赛中，以的速度跑了后进入冲刺阶段，之后他的速度比先前快了，冲刺阶段他用了多长时间？ 【答案】(1)实际修了天 (2)冲刺阶段他用了 【分析】本题考查了列代数式，理解题意并正确列式是解题关键． （1）先根据题意得出实际每天修米，再表示出实际修的天数即可； （2）先根据题意得出冲刺阶段的长度为米，速度为，再表示出冲刺阶段的时间即可． 【详解】（1）解：由题意可知，实际每天修米， 则实际修了天； （2）解：由题意可知，冲刺阶段的长度为米，速度为， 则冲刺阶段他用了． 17．某工艺品厂每天要生产一批某种型号工艺品，每名工人一天能做工艺品的数量与所需工人的人数如下表所示． 每名工人一天能做工艺品的数量（个） 20 30 40 … 所需工人的人数（人） 6 4 3 … (1)求该工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品多少个？ (2)所需工人的人数是怎样随着每名工人一天能做工艺品的数量的变化而变化的？ (3)分别用x，y表示每名工人一天能做工艺品的数量和所需工人的人数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ 【答案】(1)120个 (2)所需工人的人数随着每名工人一天能做工艺品的数量的增大而减小 (3)，x与y成反比例关系 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则成反比例关系． （1）根据表格即可求解； （2）根据表格即可求解； （3）根据可得x与y成反比例关系 【详解】（1）解：由表格可得：（个）， 答：工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品120个； （2）解：由表格可得，所需工人的人数随着每名工人一天能做工艺品的数量的增大而减小； （3）解：由表格可得， ∴x与y成反比例关系． 18．已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 【答案】(1) (2)； (3)14；30；338350． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，图形变化类，通过观察归纳出各图形的正方形个数所符合的规律是解题的关键，同时，也考查了代数运算的能力． （1）直接使用给定的公式来计算从1到10的所有整数的平方和． （2）通过计算从1到60的所有整数的平方和，减去从1到32的所有整数的平方和来即可． （3）观察图形规律，找出图n中正方形的数量，然后将代入公式中计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：根据图形，图1中有1个正方形，可以表示为 ； 图2中有5个正方形，可以表示为 ； 图3中有 个正方形； 图4中有 个正方形； 因此，图n中有正方形的数量为 ． 图100中正方形的数量为： 故答案为：14；30；338350． 19．商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字组成，前12位数字表示国家代码、厂商代码和产品代码相关的信息，而第13位数字为检查码． 其中检查码是用来检查商品条形码中前12位数字代码的正确性，它是按照特定的算法得来的，具体算法如下（以图条码为例）： 步骤1：计算前12位数字中排在偶数位的数字的和P，即； 步骤2：计算前12位数字中排在奇数位的数字的和q，即； 步骤3：计算P的3倍和q的和m，即； 步骤4：取大于或等于m且为十的整数倍的最小数n，即； 步骤5：计算n与m的差所得的结果就是检查码． 【探究与应用】根据以上信息回答下列问题： (1)___________（用含有P，q的式子表示） (2)某商品条码为：，则___________； (3)若某商品的条形码为，则检查码y的值为多少？请写出计算过程 【答案】(1) (2) (3)，过程见解析 【分析】本题考查有理数加减运算，乘法运算的实际应用，列代数式： （1）根据步骤3：P的3倍和q的和为m，列式即可； （2）根据是前12位数字中排在偶数位的数字的和，列式计算即可； （3）根据检查码的计算方法列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：根据题意：； （3）解：步骤1：； 步骤2：； 步骤3：； 步骤4：； 步骤5：． 20．小华打算和朋友们在家小聚，经过商量大家决定点外卖．某餐厅在美团和饿了么平台有以下点餐金额采用不同的优感惠策略，在美团平台实施方案如下： 美团平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元 无优惠 超过元，但不超过元 减元 超过元 减元 在饿了么平台实施方案如下： 饿了么平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元的部分 无优惠 超过元，但不超过元的部分 打折 超过元的部分 打折 (1)若小华点餐金额为元，那么在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？ (2)若小华点餐金额为元，那么小华在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？（用含的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共元．其中美团点餐金额比饿了么点餐金额低，设美团的点餐金额是元，求两次实际付款金额共多少？（用含的代数式表示） 【答案】(1)美团：元；饿了么：元． (2)美团：元；饿了么：当时，元，当时，元． (3)见解析． 【分析】本题考查了列代数式的知识点，理解题意是解题的关键．小问按照表格中优惠政策列式计算即可．小问根据美团的优惠政策，时，只有一种情况，代入列式即可；根据饿了么的优惠政策，时，有或两种情况，代入列式即可． 小问根据题意，我们可以分成三种情况：当时，；当时，；当时，，代入列式即可． 【详解】（1）解：因为，所以优惠元， 所以在美团平台上实际付款金额：元； 因为，所以优惠打折， 所以在饿了么平台上实际付款金额：元． （2）解：因为小华点餐金额为n元， 所以在美团平台上的实际付款金额为元； 所以在饿了么平台上的实际付款金额：当时，元，当时，元． （3）当时，，此时两次实际付款金额总共为 元； 当时，，此时两次实际付款金额总共为 元； 当时，，此时两次实际付款金额总共为 元． c 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 八大题型提分练 B 抓核心 三大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 3.1列代数式表示数量关系（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1：代数式的概念 代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 题型1 识别代数式 例1．下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②；③；④a；⑤0；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】．下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【变式1-3】．下列各式中，不属于代数式的是（   ） A．8 B． C． D． 知识点2 代数式的意义 代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系 题型2代数式表示的实际意义 例2．代数式的正确解释是（   ） A．a的平方与b的倒数的差 B．a与b的倒数的差的平方 C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数 【变式2-1】．下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【变式2-2】．某商品的原价为a元，现打八折后再降价元出售，则售价应该是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．下面是4位同学关于“代数式表示什么”的说法：①贝贝说她每小时走，共走；②晶晶说她每分钟跑，则跑；③小明说一个瓶子的体积为，4个同样的瓶子的体积为；④小强说一只老虎平均一天吃肉，则天吃肉．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3 代数式书写要求 ①代数式中出现数字与字母相乘、字母与字母相乘，乘号通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 题型3判断代数式书写是否规范 例3．下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】．下列式子中符合代数式的一般书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】．以下表示的实际意义，书写不规范的是（　　） A．三角形的面积为cm2 B．高铁的速度为300 km/h C．商品的售价为a－1元 D．圆环的面积是（πR2－πr2）cm2 知识点4 列代数式 列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言 题型4用代数式表示数量关系 例4．列式表示下列各量：王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师骑自行车的平均速度是 千米/时；若王老师乘公共汽车可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是 千米/时． 【变式4-1】．如图，正方形的边长为，圆的半径为，用整式表示图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【变式4-2】．中国最早的一部数学著作——《周髀算经》中记载的“赵爽弦图”（如图），它是由四个完全相同的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．直角三角形的一条直角边为厘米，小正方形的边长为2厘米，则三角形的另一条直角边是( )厘米，大正方形的面积为( )平方厘米． 【变式4-3】．跨学科物理 科学考察船利用声呐从海面向海底垂直发射超声波，经过秒接收到回波信号．已知声音在海水中的传播速度为1500米/秒，则该处海底的深度为 米（用含的代数式表示）． 【答案】 知识点5 用代数式表示正比例关系 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，则称这两个量为成正比例的量，这两个量的关系称正比例关系。 题型5 用代数式表示正比例关系 例5．学校购买每本10元的会议记录本，购买会议记录的本数和应付的钱数成 比例，如果用表示购买会议记录本的本数，用表示应付的总钱数，则 ． 【变式5-1】．如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是 ．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成 比例关系． 【变式5-2】．科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【变式5-3】．船在静水中的速度为，水速为，船顺流航行的行程比逆流航行的行程多 ． 知识点6 用代数式表示反比例关系 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，则称这两个量为成反比例的量，这两个量的关系称反比例关系。 题型6用代数式表示反比例关系 例6．已知表格中m与n成反比例关系，则 ． m 6 2 n 3 x 【变式6-1】．下面各题中的两个量成反比例关系的有 ． ①三角形的面积一定，它的底和高；②全班的人数一定，男生人数与女生人数；③完成一项工程，每天的工作效率与所需的天数． 【变式6-2】．判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【变式6-3】．某电路的电源电压U（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为，且电源电压U恒定不变，则电阻R和电流I两个量成 关系（填“正比例”或“反比例”，根据下表，“△”处应填 ． （单位：Ω） 100 110 △ （单位：A） 2 知识点7 用代数式表示式子，图形的规律 规律探求的核心是找出每个数对应的位次之间的关系 若数列是分数系列，按分子、分母分别找规律 若数列是正负交替排列则在答案前加上（-1）n+1 ,若数列是负正交替排列在答案前面加上（-1）n 题型7 用代数式表示数式规律 例7．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 【变式7-1】．已知一串有规律的数：，，，，那么这串数中第8个数是 ． 【变式7-2】．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【变式7-3】．由2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…组成的三角形数阵如图所示．则第n行的n个数的和是 ．    题型8用代数式表示图形规律 例8．探索规律：如图所示的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中图（1）一共有2个五角星，图（2）一共有8个五角星，图（3）一共有18个五角星，…，则图（n）中五角星的个数为 （用含n的代数式表示）． 【变式8-1】．如图，每个图案都由若干个“●”组成，其中第1个图案中有7个“●”，第2个图案中有13个“●”，…，则第99个图案中“●”的个数为 ． … 【变式8-2】．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示，规律铺设，第一个图案有6块白色地砖，第二个有10块，第三个有14块，依此类推，则第n个图案有 块白色地砖． 【变式8-3】．如图分别是甲烷、乙烷、丙烷分子结构模型，按照此规律，则丁烷中“”的个数是 ． 题型9 代数式表示式子规律的探究 例9．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：… (1)按上述规律填空，第5个等式：______=______． (2)用含的代数式表示第个等式：______=______（为正整数）． (3)求的值． 【变式9-1】．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设，将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)阴影部分的面积是_____． (2)利用图2，设计能求的值的几何图形，并求出它的值_______． (3)根据“破浪组”的方法，计算（为正整数）的值，并写出计算过程． (4)___________________．（直接写答案） 【变式9-2】．观察下列等式 …… (1)按规律填空： ； (2)按规律填空： ； (3)计算的值． 【变式9-3】．观察下列各式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第个式子 题型10代数式表示图形规律的探究 例10．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数？      【变式10-1】．如图，大四边形是由若干个大小形状完全相同小等腰梯形拼成的，每个等腰梯形的上底长为1，下底长为2，腰长是1． (1)填表： 小梯形个数 1 2 3 4 5 … 大四边形外围周长 5 8 17 … (2)当小梯形有n个时，求大四边形外围周长； (3)当有90个小梯形时，求大四边形外围周长． 【变式10-2】．中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【变式10-3】．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)观察并发现规律，请猜想___________； (2)试用含有的式子表示这一规律：___________；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ②． ． 题型11 实际问题中的代数式 例11．请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义： (1)； (2)； (3)． 【变式11-1】．某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，每辆车的平均速度与行驶时间如下表所示： 平均速度 75 80 90 行驶时间 (1)行驶的时间随着平均速度的变化怎样变化？ (2)分别用（单位：）和（单位：）表示平均速度和行驶时间，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【变式11-2】．写出下列代数式表示的实际意义： (1)一个等边三角形的边长为a，一个正方形的边长为b，则表示 ___________； (2)若苹果每千克p元，橘子每千克q元，则代数式表示 ___________． 【变式11-3】．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天停车场内共有45辆中小型汽车，其中小型汽车有a辆． (1)单项式表示的实际意义为________； (2)这一天停车场共可收缴停车费多少元？（用含a的代数式表示） 例12．某商店购进一批旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个20元的价格销售300个，第二周若按每个20元的价格销售，仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，售价每降低2元，可多售出60个，但售价不得低于进价） （1）第一周该商店销售的旅游纪念品获得的总利润是　 　元． （2）若售价降低x元，用含x的代数式表示第二周的旅游纪念品的售价是　 　元，销售数量是　 　个． （3）在实际销售中，商店决定售价降低6元，则第二周该商店销售旅游纪念品获得的总利润是多少元？ 【变式12-1】．小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式． 观察下面式子，完成以下问题：，，，… (1)请写出第15个式子： ； (2)请用含n的式子表示第n个式子： ； (3)计算：． 【变式12-2】．观察如图所示的图形与算式的规律并解决问题．       （    ） (1)根据前三个图形与算式的规律，写出如图所示的图形对应的算式：__________． (2)根据以上观察，__________． (3)利用上面发现的规律计算：． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．表示a除以b乘c的商的代数式是（   ） A． B． C． D． 2．下列代数式书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．某商品原价为x元，现打八折销售，则现价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．10个黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，照这样摆下去，个黑色圆片周围一共摆有白色圆片的个数是（   ） A． B． C． D． 5．下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 6．请你想好一个数，将该数与2019之和乘以6，减去42，再将其差除以6，然后减去你想好的那个数，最后的结果等于（　　） A．0 B．2008 C．2012 D．2019 7．如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌．一汽车在A地的东处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　） A． B． C． D． 8．如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．一本书共100页，赵军每天读a页，读了4天后，还剩下 页． 10．小高去超市买学习用品，已知每支中性笔m元，每支铅笔n元，则代数式的实际意义是 ． 11．我们知道，，，，，……那么： ．利用上面规律解答下面问题：算一算： ． 12．如图是由边长为的若干个正方形叠加形成的图形，其中第一个图形由1个正方形组成，周长为，第二个图形由个正方形组成，周长为．第三个图形由个正方形组成，周长为，依次规律…第个图形的周长为 ． 13．将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如下图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，第个图案中，黑棋子的个数为 ．（用含的式子表示） 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．用代数式表示： (1)的3倍与的和； (2)与两数和的平方减去它们的积． 15．判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： (1)加工一批零件，每小时加工的个数与加工的时间； (2)长方形的周长一定，长和宽； (3)每公顷的产量一定，总产量和总的公顷数； (4)教室里的面积一定，教室里的人数和每人占地的面积． 16．列式表示下列各量： (1)工程队要修路a米，原计划每天修b米，因天气原因，实际每天少修c米，则实际修了多少天？ (2)王鑫在长跑比赛中，以的速度跑了后进入冲刺阶段，之后他的速度比先前快了，冲刺阶段他用了多长时间？ 17．某工艺品厂每天要生产一批某种型号工艺品，每名工人一天能做工艺品的数量与所需工人的人数如下表所示． 每名工人一天能做工艺品的数量（个） 20 30 40 … 所需工人的人数（人） 6 4 3 … (1)求该工艺品厂每天要生产这种型号的工艺品多少个？ (2)所需工人的人数是怎样随着每名工人一天能做工艺品的数量的变化而变化的？ (3)分别用x，y表示每名工人一天能做工艺品的数量和所需工人的人数，用式子表示x与y的关系，x与y成什么比例关系？ 18．已知公式：． (1)_____； (2)求；（写出计算过程） (3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个． 19．商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字组成，前12位数字表示国家代码、厂商代码和产品代码相关的信息，而第13位数字为检查码． 其中检查码是用来检查商品条形码中前12位数字代码的正确性，它是按照特定的算法得来的，具体算法如下（以图条码为例）： 步骤1：计算前12位数字中排在偶数位的数字的和P，即； 步骤2：计算前12位数字中排在奇数位的数字的和q，即； 步骤3：计算P的3倍和q的和m，即； 步骤4：取大于或等于m且为十的整数倍的最小数n，即； 步骤5：计算n与m的差所得的结果就是检查码． 【探究与应用】根据以上信息回答下列问题： (1)___________（用含有P，q的式子表示） (2)某商品条码为：，则___________； (3)若某商品的条形码为，则检查码y的值为多少？请写出计算过程 20．小华打算和朋友们在家小聚，经过商量大家决定点外卖．某餐厅在美团和饿了么平台有以下点餐金额采用不同的优感惠策略，在美团平台实施方案如下： 美团平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元 无优惠 超过元，但不超过元 减元 超过元 减元 在饿了么平台实施方案如下： 饿了么平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元的部分 无优惠 超过元，但不超过元的部分 打折 超过元的部分 打折 (1)若小华点餐金额为元，那么在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？ (2)若小华点餐金额为元，那么小华在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？（用含的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共元．其中美团点餐金额比饿了么点餐金额低，设美团的点餐金额是元，求两次实际付款金额共多少？（用含的代数式表示） B 抓核心 三大题型提升练 c 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 八大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $