专题10 幂与指数讲义（10大题型+能力训练）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题10 幂与指数 知识点一、根式 1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点二、分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点三、实数指数幂的运算性质 1.有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 2.无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点四、幂的基本不等式 定理 当，时，； 题型01：对根式的理解 【例1】若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【答案】C 【分析】根据根式的概念即得. 【详解】被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数， 故选：C. 【例2】表示的含义是（    ） A．a的正的n次方根 B．a的n次方根 C．当时，表示a的正的n次方根 D．当时，且n为奇数时，表示a的n次方根 【答案】D 【分析】根据n次方根的意义可依此进行排除选项即可． 【详解】解：对于A、B选项当a＜0时 ，n为偶数时，无意义， 对于C，需多加一个条件，n为偶数时； 对于D选项，其说法正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查n次方根，熟练掌握n次方根的意义是解题的关键． 【例3】下列各式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶数次根式无意义的条件就是被开方数是负数，据此即可判断． 【详解】A.中被开方数是正数，有意义，故A不符合题意； B.是奇数次方根，被开方数是负数也有意义，故B不符合题意； C.是奇数次方根，被开方数是负数也有意义，故C不符合题意； D.是偶次方根，被开方数是负数，无意义，故D不符合题意． 故选：D． 【点睛】主要考查了n次根式的概念和性质，理解偶次根式中的被开方数必须是非负数，否则偶次根式无意义，是解题得关键． 题型02：求n次方根 【例4】（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据立方根的定义求解； （2）根据4次方根的定义求解. 【详解】的立方根为； 256的4次方根为. 【例5】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根及n次方根可进行求解． 【详解】解：A、由可得，故原计算错误； B、由可知，故原计算错误； C、由可得，故原计算正确； D、，故原计算错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查立方根及n次方根，正确计算是解题的关键． 【例6】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根及n次方根可进行求解． 【详解】解：A、由可得，故原计算错误； B、由可知，故原计算错误； C、由可得，故原计算正确； D、，故原计算错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查立方根及n次方根，正确计算是解题的关键． 【例7】求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)3 【分析】（1）（2）（3）（4）利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） （4）. 题型03：根式的化简 【例8】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可. 【详解】由已知，. 故选：C. 【例9】化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 解析：因为 所以， 故，故选：A 【例10】若，则__________. 解析：由题意有，故答案为1. 【例11】，则实数a的取值范围 【答案】 【分析】由二次根式的化简求解 【详解】由题设得， ， 所以 所以，． 故答案为： 【例12】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4），． 【答案】（1）-2；（2）；（3）；（4） 解析：（1）（2）（3） （4）原式，当时，原式； 当时，原式． 因此，原式 题型04：分数指数幂的化简 【例13】计算：________．______．______ 【答案】##0.25【答案】3【答案】4 【例14】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据无理数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】， 故选：． 【例15】化简分数指数幂： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1） ； （2）； （3）； （4）． 【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换． 【例16】用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 题型05：根式化成分数指数幂 【例17】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数运算公式直接计算. 【详解】， 故选：C. 【例18】将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的转换即可求解. 【详解】， 故选：D 【例19】根式化为分数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】. 故答案为： 【例20】用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式和分数指数幂的化简计算即可. 【详解】, 故选:B. 【例21】将 化为分数指数幂为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果. 【详解】＝＝＝＝＝. 故选：D 【例22】可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数运算的性质化简即可 【详解】. 故选：C 【例23】将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接利用根式与分数指数幂互化的公式求解. 【详解】； 故选：A. 【点睛】本题考查根式与分数指数幂互化的公式，属于基础题. 题型06：根式与分数指数幂的互化 【例24】已知，则_________. 解析：，，故答案为9． 【例25】已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂，根据指数运算的运算法则即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得； 要使得等式有意义，则，所以； 故选：. 【例26】化简__________ . 解析：，故答案为. 【例27】化简求值(式子中的字母都为正数)： （1）； 【解析】（1） ； 【例28】化简：． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】原式． 题型07：指数幂的运算性质 【例29】下列运算结果中正确的为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，而，所以B错误， 对于C，0的0次幂没有意义，当时,无意义，所以C错误， 对于D，由幂的乘方可得，所以D正确， 故选D. 【例30】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用合并同类项、指数幂的运算性质化简判断各项正误. 【详解】由，，，，显然B正确. 故选：B 【例31】设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 【例32】对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算的条件计算即可. 【详解】选项A、B中a的条件限制为C中的a的条件限制为 故选：D. 【例33】化简的结果为（     ） A．－ B．－ C．－ D．－6ab 解析：原式＝.故选：C. 题型08：根式与分数指数幂混合运算 【例34】1.计算：. 【答案】2 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 原式. 2.计算：； 原式 . 3.计算：； 4.计算： . 5.计算：； . 6. 计算：； ． 7.计算：； 原式. 题型09：指数幂运算中的条件求值 【例35】若，求下列各式的值: （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）3；（2）4；（3）；（4）． 解析：（1），，． （2）． （3），． （4）， 即，由（2）得：，． 【例36】已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用平方关系，变形求值即可. 【详解】由，两边同时平方，得，所以， 对两边同时平方，得，即， 则． 故答案为：. 【例37】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算法则可得，结合条件即得；或先平方可得，结合条件即得. 【详解】解法一：， ∵，， ， 又 ， 所以， 所以原式． 解法二：， 由，得， 所以原式． 故选：D. 【例38】已知，则（    ） A．120 B．210 C．336 D．504 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】首先变形条件等式，求得，再计算结果. 【详解】，得，解得：， 所以. 故选：C 题型10：幂的基本不等式 【例39】已知幂的基本不等式：当，时，． 请利用此基本不等式解决下列相关问题： 当，时，求的取值范围； 【分析】根据，时，即可得出，时，，从而得出的取值范围； 【解答】解：，时，， ，时，，， ， ， 的取值范围为； 【例40】已知：，求证：． 【分析】利用相除法，再根据指数函数的性质即可比较． 【解答】证明：设， 当时，，，根据指数函数的性质可知，即． 【点评】本题主要考查了不等式的证明，考查指数函数的性质，属于基础题． 2．设，，且，试比较，，的大小． 【分析】做商法比较大小，注意讨论，的大小即可． 【解答】解： ， ①若，则，； 故， ②若，则，； 故， ， 同理可得，， 故． 【点评】本题考查了做商法比较大小的应用及分类讨论的思想应用． 一、填空题 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算 【答案】9 【分析】运用分数指数幂和根式之间转化计算即可. 【详解】. 故答案为：9. 2．（24-25高一上·上海松江期中）的6次方根是（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】C 【分析】由，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴的6次方根是； 故选C． 【点睛】本题主要考查偶次方根，熟练掌握偶次方根是解题的关键． 3．（2023-24徐汇区高一上期中）已知，则实数 ． 【答案】 4．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解. 【详解】 故答案为：. 5．（2024秋•徐汇区校级期中）化简：　　． 【分析】根据根式的定义求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查根式的运算，属于基础题． 6．（24-25高一上复旦附中期中） . 【答案】/ 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】, 故答案为： 7．（2024秋•青浦区校级期中）将化成有理数指数幂的形式为 　　． 【分析】由已知结合根式与分数指数幂的互化即可求解． 【解答】解：当时，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分数指数幂与根式的互化，属于基础题． 8．（2023秋•长宁区期末）根式的指数幂形式为 　　． 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题． 9．（24-25高一上·上海闵行期中）计算： . 【答案】/ 【分析】应用指数幂运算化简求值. 【详解】. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海黄浦期中）已知则， . 【答案】 【分析】对平方，进行求解. 【详解】， 又，所以. 故答案为： 11.（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【答案】 【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 12.（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】1或 【分析】根据题意，先求，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以， 则或. 故答案为：1或. 二、选择题 12．（2024秋•浦东新区校级期中）设，下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】结合指数幂的运算性质分别检验各选项即可判断． 【解答】解：，错误； ，错误； ，错误； ，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查 指数幂的运算性质的应用，属于基础题． 14.（24-25高一上延安中学期中）若，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 15（24-25高一上复兴高级中学期中）.用分数指数幂表示，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【解析】先将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算性质化简. 【详解】. 故选：B. 【点睛】本题考查了根式与分数指数幂，属于基础题. 16.（24-25高一上·上海嘉定期中）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解. 【详解】①,正确； ②，正确； ③因为可知，，， 所以，故错误； ④，正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题. 三、解答题 17．（24-25上海高一上阶段练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 18．（24-25上海高一上阶段练习）求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案. （2）根据根式运算的知识求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 19．（24-25高一上·上海阶段练习）化简：（1）． (2). 【详解】（1）原式． （2）. 20．（24-25上海高一上阶段练习）已知x+x-1=4，其中0<x<1，求的值. 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】由题求出x-x-1=，+=，即得解. 【详解】因为x+x-1=4，所以=x2+x-2+2=16，即x2+x-2=14， 则=x2+x-2-2=12. 因为0<x<1，所以x<x-1，所以x-x-1=， x+x-1+2=6， 故+=， 所以 21．（24-25上海高一上阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题10 幂与指数 知识点一、根式 1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点二、分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点三、实数指数幂的运算性质 1.有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 2.无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点四、幂的基本不等式 定理 当，时，； 题型01：对根式的理解 【例1】若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【例2】表示的含义是（    ） A．a的正的n次方根 B．a的n次方根 C．当时，表示a的正的n次方根 D．当时，且n为奇数时，表示a的n次方根 【例3】下列各式无意义的是（    ） A． B． C． D． 题型02：求n次方根 【例4】（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【例5】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例7】求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03：根式的化简 【例8】计算：（   ） A． B． C． D． 【例9】化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【例10】若，则__________. 【例11】，则实数a的取值范围 【例12】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4），． 题型04：分数指数幂的化简 【例13】计算：________．______．______ 【例14】的值为（    ） A． B． C． D． 【例15】化简分数指数幂： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例16】用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 题型05：根式化成分数指数幂 【例17】设，则（    ） A． B． C． D． 【例18】将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 【例19】根式化为分数指数幂的形式为 . 【例20】用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【例21】将 化为分数指数幂为（    ） A． B． C． D． 【例22】可以化简为（    ） A． B． C． D． 【例23】将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 题型06：根式与分数指数幂的互化 【例24】已知，则_________. 【例25】已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 【例26】化简__________ . 【例27】化简求值(式子中的字母都为正数)： ； 【例28】化简：． 题型07：指数幂的运算性质 【例29】下列运算结果中正确的为 A． B． C． D． 【例30】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例31】设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例32】对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例33】化简的结果为（     ） A．－ B．－ C．－ D．－6ab 题型08：根式与分数指数幂混合运算 【例34】1.计算：. 2.计算：； 3.计算：； 4.计算： 5.计算：； 6. 计算：； 7.计算：； 题型09：指数幂运算中的条件求值 【例35】若，求下列各式的值: （1）；（2）；（3）；（4） ． 【例36】已知，则 ． 【例37】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例38】已知，则（    ） A．120 B．210 C．336 D．504 题型10：幂的基本不等式 【例39】已知幂的基本不等式：当，时，． 请利用此基本不等式解决下列相关问题： 当，时，求的取值范围； 【例40】已知：，求证：． 2．设，，且，试比较，，的大小． 一、填空题 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算 2．（24-25高一上·上海松江期中）的6次方根是_______ 3．（2023-24徐汇区高一上期中）已知，则实数 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 5．（2024秋•徐汇区校级期中）化简：　　． 6．（24-25高一上复旦附中期中） . 7．（2024秋•青浦区校级期中）将化成有理数指数幂的形式为 　　． 8．（2023秋•长宁区期末）根式的指数幂形式为 　　． 9．（24-25高一上·上海闵行期中）计算： . 10．（24-25高一上·上海黄浦期中）已知则， . 11.（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 12.（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 二、选择题 12．（2024秋•浦东新区校级期中）设，下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 14.（24-25高一上延安中学期中）若，则 . 15（24-25高一上复兴高级中学期中）.用分数指数幂表示，为（    ） A． B． C． D． 16.（24-25高一上·上海嘉定期中）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 三、解答题 17．（24-25上海高一上阶段练习）计算下列各式： (1)； (2)． 18．（24-25上海高一上阶段练习）求值： (1) (2) 19．（24-25高一上·上海阶段练习）化简：（1）． (2). 20．（24-25上海高一上阶段练习）已知x+x-1=4，其中0<x<1，求的值. 21．（24-25上海高一上阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $