3.1.1 指数幂的拓展（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

3.1.1 指数幂的拓展 题型一 求n次方根 1．9的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义确定结果. 【详解】设9的平方根为，则，所以，即9的平方根是. 故答案为：. 2．实数9的4次方根为 ． 【答案】 【分析】将根式化为分数指数幂，求解即可. 【详解】实数9的4次方根为. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 . 【答案】 【分析】根据根式运算的性质求解即可 【详解】16的8次方根即：， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用立方根的定义求解即可. （2）利用四次方根的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）的5次方根是 . 【答案】 【分析】根据指数幂的性质求解即可. 【详解】因为， 所以的5次方根是， 故答案为：. 6．填空： （1）27的3次方根表示为 ； （2）的3次方根表示为 ； （3）16的4次方根表示为 ． 【答案】 【分析】根据次方根的定义求解即可. 【详解】（1）27的3次方根表示为； （2）的3次方根表示为； （3）16的4次方根表示为. 故答案为：，， 题型二 根式的化简求值（基础版） 7．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 8．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 9．求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）原式 10．求下列各式的值；； 【答案】 【分析】利用 进行化简，求得答案. 【详解】由题意可得：= ． 题型三 指数幂的运算（基础版） 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则 【答案】/ 【分析】应用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】解：因为，，所以. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则 ． 【答案】180 【分析】由指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：180 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 【答案】 【分析】运用指数幂的运算性质可解． 【详解】（负数舍去） . 故答案为：. 14．若，，则的值为 ． 【答案】150 【分析】应用指数幂的运算性质求目标式的值即可. 【详解】因为，，所以， 故答案为：150． 15．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 题型四 用有理数指数幂的形式表示各式（基础版） 16．（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【答案】 【分析】利用分数指数幂的意义及运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 18．（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】由分数指数幂的运算即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 19．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示: 【答案】 【分析】根据根式与有理数指数幂的关系及有理数指数幂的运算化简即可. 【详解】由，则. 故答案为： 20．（24-25高一上·上海·期中）已知，则用有理数指数幂表示的结果是 【答案】 【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 21．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 【答案】 【分析】，结合指数幂运算法则进行求解. 【详解】，. 故答案为： 22．将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 23．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 24．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂互化及运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为：. 25．用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【分析】将根式转化为分数指数幂结合指数的运算性质逐一计算即可. 【详解】（1）原式=. （2）原式=. （3）原式=. （4）原式=. （5）原式=. （6）原式====. 题型一 根式的化简求值（提升版） 26．化简下列各式： (1)（，且）； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用根式的性质求解. 【详解】（1）解：当为奇数时，； 当为偶数时，． （2）． 当时，； 当时，． 27．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质化简计算即可. 【详解】， ，解得. 故答案为：. 28．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 29．（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 【答案】 【分析】利用根式化简计算即可； 【详解】因为 所以， 故答案为： 30．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由成立，即可得出，解得即可. 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 31．若，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 题型二 分数指数幂与根式的互化 32．用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】将根式用指数幂表示，再利用指数幂的运算法则即得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 33．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用指数幂运算律计算求解； 【详解】（1） （2）因为，， 所以 ． （3）因为，， 所以 ． 34．将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 35．用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. 【详解】（1）. （2）. 36．把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据指数幂的概念和根式运算法则进行化简. 【详解】（1） （2） （3）因为， 所以 37．用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）． 38．将写成分数指数幂的形式为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则求解即可. 【详解】解：原式 . 故答案为： 题型三 指数幂的运算及化简（提升版） 39．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 40．化简：. 【答案】 【分析】根据指数幂与立方和、差公式进行化简，准确运算，即可求解. 【详解】根据指数幂和立方和、差的运算性质，可得， ， 可得. 41．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】原式． 42．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算律进行运算化简. 【详解】 ， 所以化简结果为. 题型四 指数幂的运算及求值（提升版） 43．已知实数满足，求： (1)；（用表示） (2)．（用表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程可得，由可得结果； （2）根据可求得结果. 【详解】（1）由得：，又不满足方程，； . （2），. 44．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)14 (2)194 (3)2702 【分析】（1）将原式平方即可求得答案； （2）将条件（1）平方即可求得答案； （3）将原式因式分解，进而结合（1）（2）求得答案. 【详解】（1）由题意，. （2）由（1），. （3）由题意，. 45．已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)7 (2)47 (3) 【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值； (2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值； (3)首先利用立方差公式可得，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以． （2）将两边平方，得， 所以． （3）∵，，， ∴， ∴． 46． 【答案】或 【分析】将方程变形为，令，则解出，再计算出； 【详解】解：因为 令，则，解得或（舍去） 即则或 解得或 【点睛】本题考查指数方程的计算，指数的运算，属于中档题. 47．已知，求的值. 【答案】. 【分析】首先对化简，然后结合已知条件求解即可. 【详解】， 因为， 所以. 48．（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）将目标式化为，再代入求值； （3）由已知及指数幂运算得、，代入目标式求值. 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. 49．（1）化简：； （2）已知，分别求，的值. 【答案】（1）；（2）3，18. 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得； （2）由完全平方公式得到，即可求出，再由立方和公式计算可得. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，由，可得； 所以. 50．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 51．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 1．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 2．若， ，，则 ． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式． 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 指数幂的拓展 题型一 求n次方根 1．9的平方根是 ． 2．实数9的4次方根为 ． 3．（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）的5次方根是 . 6．填空： （1）27的3次方根表示为 ； （2）的3次方根表示为 ； （3）16的4次方根表示为 ． 题型二 根式的化简求值（基础版） 7．（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 8．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 9．求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 10．求下列各式的值；； 题型三 指数幂的运算（基础版） 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 14．若，，则的值为 ． 15．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 题型四 用有理数指数幂的形式表示各式（基础版） 16．（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 17．（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 18．（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 19．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示: 20．（24-25高一上·上海·期中）已知，则用有理数指数幂表示的结果是 21．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 22．将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 23．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 24．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知，将化成有理数指数幂的形式，其结果是 . 25．用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 题型一 根式的化简求值（提升版） 26．化简下列各式： (1)（，且）； (2)． 27．若，则实数的取值范围是 ． 28．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 29．（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 30．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 31．若，则 . 题型二 分数指数幂与根式的互化 32．用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4). 33．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 34．将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 35．用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 36．把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 37．用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 38．将写成分数指数幂的形式为 ． 题型三 指数幂的运算及化简（提升版） 39．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 40．化简：. 41．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 42．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简. 题型四 指数幂的运算及求值（提升版） 43．已知实数满足，求： (1)；（用表示） (2)．（用表示） 44．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 45．已知，求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 46． 47．已知，求的值. 48．（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 49．（1）化简：； （2）已知，分别求，的值. 50．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 51．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 1．已知，则 ． 2．若， ，，则 ． 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$