专题09 基本不等式及其应用（10大题型+能力训练）同步培优讲义-2025-2026学年高一数学上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题09 基本不等式及其应用 知识点1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点3 三角不等式 1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 2、如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 题型01：对平均值不等式的理解与辨析 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【例2】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【例3】若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD. 【解答过程】解： ，即，故A恒成立， 取，此时，故B不恒成立， 因为，所以，所以，故C恒成立， 因为，所以，所以，故D恒成立， 故选：B. 【例4】不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式可知， 当且仅当，即时等号成立，故选：. 【例5】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以， 当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以， 当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C. 题型02：利用平均值不等式比较大小 【例6】设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 【例7】设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：B 【例8】）已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【解析】因为， 所以，当且仅当取等号， 而，故选：A． 【例9】设，且， 则它们的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】Q为调和不等式，M为几何不等式，N为算术平方数，R为平方平均数， 由均值不等式性质可知四种平均数满足调和不等式≤几何不等式≤算术平方数≤平方平均数 ∴Q＜M＜N＜R ∵≥，∴P＜Q，故选A． 【例10】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由基本不等式得，故， 因为，， 两式相减得，， 故，所以，故， 所以.故选：B 题型03：利用平均值不等式证明不等式 【例11】若，，都是正数，求证：. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【例12】已知、、都是正实数，且，求证：. （2）因为、、都是正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 【例13】设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【详解】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 【例14】已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【例15】已知，，都是正实数，求证： 【答案】证明见解析. 【解析】因为，，都是正实数， 所以，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即. 题型04：利用平均值不等式的求最值 1、直接法求最值 【例16】函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 【例17】已知，则的范围是 ． 【答案】 【分析】利用重要不等式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的范围是. 故答案为：. 【例18】已知，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 2、配凑法求最值 【例19】已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 【例20】已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】首先将函数构造成能够利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，故，根据基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立． 此时函数的最小值为7. 故选：D. 【例21】若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【解答过程】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 【例22】已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【解题思路】将原式变形为，结合不等式的加法性质利用基本不等式即可求得最值. 【解答过程】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 3、常数代换法 【例23】已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 【例24】已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】变形目标式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【例25】已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 【例26】若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式计算得出，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值． 【详解】，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立， . 故选：A. 【例27】已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】B 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：B. 4、消元法 【例28】若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【例29】已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将代入得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】，, ，， 令， ， 当且仅当，即时取等号，此时， 的最大值为. 故选：D. 题型05：平均值不等式有关的恒成立问题 【例30】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【例31】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 【例32】若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即，解得（舍）或， 所以.故选：C. 【例33】已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 【解题思路】（1）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （2）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （3）根据，，利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）解：∵， ∴， ∴恒成立等价于恒成立． 又， ∴， 当且仅当，即，即，时等号成立． ∴， ∴． 故实数m的取值范围是． （2）∵，， ∴恒成立等价于恒成立． 又，当且仅当，即时取等号， ∴，即． ∴实数的最小值为－4． （3）∵，， ∴，当且仅当，即时等号成立． 又恒成立， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故正实数的最小值为4． 题型06：利用平均值不等式解决实际问题 【例34】已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 【例35】某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 【例36】如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为矩形ABCD的面积为，，所以， 两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形， 则，解得， 则绿化带面积为； （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以绿化带面积的最大值为. 【例37】一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和的费用分别为万元和万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则仓库到车站的距离（单位：）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)时，的最小值为万元 【分析】（1）设，，根据已知条件求出，得、的解析式，再根据使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元可得答案； （2）利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）设，， 由题知：当时，和的费用分别为万元和万元， 即，解得，所以，． 若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元， 则：，因为，即， 解得； （2）， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，的最小值为万元． 【例38】第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【解题思路】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【解答过程】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 题型07：三角不等式“取等”条件探究 【例39】1 、三角不等式中，等号当且仅当________成立． 【答案】 【分析】当、同号或时，的等号成立. 【详解】当时，，当时，，故当且仅当时，等号成立 故答案为： 2、实数a、b满足，则a、b之间的关系是_________. 【答案】ab<0 【分析】将已知不等式两边直接平方，化简可得等价条件. 【详解】因为，所以(a+b)2<()2，即a2+2ab+b2<a22ab+b2， 所以4ab<0，故ab<0. 故答案为： 3、已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【答案】或 【解析】根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解. 【详解】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 【例40】（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2）设，求方程的解集. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）将证明转化为，再用分析法进行证明； （2）利用（1）中等号成立的条件确定方程的解集. 【详解】（1）令，， 则， 要证， 即证 要证成立， 只需证， 即证， 即证， 显然成立， 且当且仅当，即时取等号； 所以成立，当且仅当时取等号； 则成立，当且仅当时取等号. （2）可化为： ， 由（1）得， 且当且仅当取等号， 所以当且仅当时， 成立， 解得：或， 即的解集为：. 题型08：应用三角不等式求最值 【例41】若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是. 故答案为：3. 【例42】对任意的均有，则的最大值为_________. 【答案】2 【分析】由已知取时，得，，继而由，可得答案. 【详解】解：对任意的，都有，所以取时，有，， 所以，所以的最大值为2， 故答案为：2. 【例43】已知，，，则的最大值是_____________. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式可得，再根据，，求出，即可得出答案. 【详解】解：， 因为，则， 又因，则， 所以， 所以，当且仅当，时，取等号， 所以的最大值是. 故答案为：. 题型09：三角不等式恒成立问题 【例44】已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 【例45】如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围. 【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是. 故答案为： 【例46】若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 【例47】若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】由题可知，利用绝对值不等式的性质可以求出 的最大值，进而可求出实数的取值范围. 【详解】解：由于不等式对一切实数恒成立， 则大于等于的最大值，即， ，当 时取等号， 则的最大值为7， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查含有两个绝对值的函数的最值及恒成立问题，一般利用绝对值的性质或者几何意义进行求解，在恒成立问题中求参数的范围的常用结论如下： 恒成立 ； 恒成立 . 题型10：综合提升 【例48】设函数． （1）解关于x的不等式； （2）若实数a，b满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）利用平方去绝对值，然后解一元二次不等式； （2）利用绝对值不等式的性质，即可求得结果. 【详解】解：（1） ， 解得，故原不等式的解集为． （2） ． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及利用绝对值不等式性质求最值，属于中档题. 【例49】（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或. 【解析】（1）分，，三种情况求解即可； （2）根据三角不等式得，，由此可得，从而可求出的取值范围； （3）先解不等式.与|，可得，当时，符合题意，当时，构造函数，则有，从而可求出的值 【详解】（1）若时，，符合题意； 若时，，解得，故； 若时，，无解； 综上，的解是； （2）根据三角不等式得，，所以，解得或， ∴集合； （3）由可得，由可得，故， 若，，解得，符合题意； 若，设，由于，所以只要即可 即 因为，可得或； 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数，可得，从而可求出的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题 一、填空题 1.（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 2.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为正实数满足， 所以，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值是. 故答案为： 3.（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 4.（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 5.（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 6．（24-25高一上控江中学期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【分析】巧用“1“可得答案. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 7．（23-24高一下延安中学期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【分析】巧用“1“可得答案. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 8. （24-25高一上·上海松江期中）若正数，满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 9.（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 10．（2021·上海·高一专题练习）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________； 【答案】 【分析】先根据绝对值三角不等式得最大值，再根据不等式有解条件确定结果. 【详解】因为， 又关于的不等式有解，所以 故答案为 【点睛】本题考查绝对值三角不等式以及不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 11．（2024上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）已知恒成立，则的取值范围是____________ 【答案】或 【解析】利用绝对值不等式可求的最小值，从而得到，进而得解. 【详解】令，则由绝对值不等式有 ，当且仅当时等号成立， 因为不等式对任意恒成立， 所以，解得或， 故答案为：或.. 12．（2024·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值三角不等式求出代数式的最小值，可得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围. 【详解】由于存在实数，使得不等式成立，则， 由绝对值三角不等式可得， 所以，，即，解得. 故选：D. 二、选择题 13.（24-25高一上·上海徐汇·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 14．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 15.（24-25高一上·上海黄浦期中）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【解析】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以无最大值，故D错误.故选：C. 16．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【解答过程】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 三、解答题 17.（1）已知为正数，且满足.证明：. 【答案】证明见解析 【解析】  ，  ， ， ， 当且仅当时，等号成产， ，即. （2）设a、b为实数，求证： 【分析】利用绝对值三角不等式证明即可. 【详解】证明：因为2b=(a+b)-(a-b)， 由三角不等式可得， ， 即 18．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 19.（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【答案】(1)，证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用做差法可得答案； （2）利用基本不等式可得答案． 【详解】（1）结论：，当且仅当时，等号成立. 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 20．（2024上海·高一专题练习）（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为Ø，求实数a的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）a>-1；（3）a≤-1. 【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出最大值，只需a大于的最大值即可求解. （2）去绝对值求出的最小值，只需a大于的最小值即可求解. （3）由（1）只需a小于等于的最小值-1即可， 【详解】（1）， 因为关于x的不等式的解集为R， 所以a大于的最大值1即可，即a>1； （2）设， 当x<1时，f(x)=-x+1+x-2=-1， 当x>2时，f(x)=x-1-x+2=1， 当1≤x≤2时，f(x)=x-1+x-2=2x-3， 故-1≤≤1，的最小值为-1， 因为关于x的不等式有实数解， 所以a大于的最小值-1即可，即a>-1； （3）由（2）得，的最小值为-1， 因为关于x的不等式的解集为空集，所以 a小于等于的最小值-1即可，即a≤-1. 21．（23-24高一上·江苏苏州·月考）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)500名；(2) 【解析】（1）由题意得：，即， 又，所以. 即最多调整500名员工从事第三产业. （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则 所以 所以，即恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 又，所以，即的取值范围为. 22.（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②时，取最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为、都是正实数，所以， 所以 当且仅当，解得或， 因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值. （2）①因为，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足， 所以. ②令，，所以，， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： ， 当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题09 基本不等式及其应用 知识点1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点3 三角不等式 1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 2、如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 题型01：对平均值不等式的理解与辨析 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例3】若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例4】不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【例5】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． ， 题型02：利用平均值不等式比较大小 【例6】设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例7】设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【例8】）已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【例9】设，且， 则它们的大小关系是 A． B． C． D． 【例10】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型03：利用平均值不等式证明不等式 【例11】若，，都是正数，求证：. 【例12】已知、、都是正实数，且，求证：. 【例13】设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【例14】已知，，且，证明： (1)； (2)． 【例15】已知，，都是正实数，求证： 题型04：利用平均值不等式的求最值 1、直接法求最值 【例16】函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例17】已知，则的范围是 ． 【例18】已知，的最小值为 2、配凑法求最值 【例19】已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例20】已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【例21】若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例22】已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 3、常数代换法 【例23】已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【例24】已知，则的最小值为 ． 【例25】已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【例26】若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例27】已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 4、消元法 【例28】若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【例29】已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 题型05：平均值不等式有关的恒成立问题 【例30】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例31】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【例32】若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例33】已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 题型06：利用平均值不等式解决实际问题 【例34】已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【例35】某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【例36】如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. (1)用x表示绿化带的面积； (2)求绿化带面积的最大值. 【例37】一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和的费用分别为万元和万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过万元，则仓库到车站的距离（单位：）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值 【例38】第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 题型07：三角不等式“取等”条件探究 【例39】1 、三角不等式中，等号当且仅当________成立． 2、实数a、b满足，则a、b之间的关系是_________. 3、已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【例40】（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2） 设，求方程的解集. 题型08：应用三角不等式求最值 【例41】若对任意，都有，则实数的最大值为 【例42】对任意的均有，则的最大值为_________. 【例43】已知，，，则的最大值是_____________. 题型09：三角不等式恒成立问题 【例44】已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【例45】如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________. 【例46】若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【例47】若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________ 题型10：综合提升 【例48】设函数． （1）解关于x的不等式； （2）若实数a，b满足，求的最小值． 【例49】（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 一、填空题 1.（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 2.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 3.（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4.（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 5.（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 6．（24-25高一上控江中学期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 7．（23-24高一下延安中学期中）已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 8. （24-25高一上·上海松江期中）若正数，满足，则的最大值为 . 9.（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 10．（2021·上海·高一专题练习）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________； 11．（2024上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）已知恒成立，则的取值范围是____________ 12．（2024·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 二、选择题 13.（24-25高一上·上海徐汇·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 14．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一上·上海黄浦期中）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 16．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 三、解答题 17.（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）设a、b为实数，求证： 18．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 19.（23-24高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 20．（2024上海·高一专题练习）（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； 21．（23-24高一上·江苏苏州·月考）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 22.（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． ， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $