2.3.1 平均值不等式及其应用（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.3.1 平均值不等式及其应用 题型一 直接用基本不等式求和的最小值 1．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式即可得. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 当且仅当时等号成立，故所求最小值为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为正实数满足， 所以，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值是. 故答案为： 5．（9-10高一下·重庆万州·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】直接展开得，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】，，时取等号， 故答案为：4. 6．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解． 【详解】因为，所以 又因为，，所以,当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：8. 题型二 直接用基本不等式求积的最大值 7．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 8．设a，b为正数，且，则ab的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式，即可求得ab的最大值. 【详解】a，b为正数， ，等号成立当且仅当 故答案为：. 9．已知，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件结合均值不等式即可计算作答. 【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以的最大值为4. 故答案为：4 10．实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式直接求得. 【详解】因为实数满足， 所以由基本不等式可得：（当且仅当时等号成立）， 所以. 即的最大值为. 故答案为：. 11．已知正实数a，b满足则ab的最大值为 . 【答案】5 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【详解】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号， 解得， 则的最大值5． 故答案为：5． 12．已知正实数x，y满足：，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用不等式，直接计算即可. 【详解】， 当且仅当，即时取得等号； 故的最大值为； 故答案为：. 13．已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合几何平均值和算术平均值的定义，即可求解． 【详解】a、2b，均为正数，∴是a、2b的算术平均值， 则有，即，∴， 即，，当且仅当a＝2b，且a+2b＝4，即a＝2，b＝1时取等号， 是a、b的几何平均值，则a、b的几何平均值的最大值为． 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 题型三 拼凑法求最值 15．对于正实数，代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过变形得，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】， ， 当且仅当，即（负舍）时等号成立， 故答案为：5. 16．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于，可将原式整理为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当,即时，取得最小值. 故答案为：. 17．设实数，当代数式取最大值时，的值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求最大值可得结论． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 18．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数a、b满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：2. 19．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 20．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由得， 又，，所以，当且仅当即时等号成立， 故答案为：2 21．已知，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 22．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 23．求的最小值； 【答案】3； 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为3； 题型四 二次与二次（一次）的商式求最值 24．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 25．函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 26．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 27．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【分析】构造基本不等式即可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题. 28．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 29．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 题型五 巧用“1”或常数关系求最值（基础版） 30．（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故， 当且仅当即时取等号， 故选：D 31．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 【答案】 【分析】变形得，展开利用基本不等式求最小值，然后根据题中最小值列方程求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 又的最小值为4， ，得 故答案为：. 32．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 33．（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 又， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 34．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 35．（23-24高一上·四川成都·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 36．已知正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】采用拼凑法可得，再结合“1”的妙用即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，时取到等号. 故答案为： 37．已知，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用计算作答. 【详解】由，，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型一 巧用“1”或常数关系求最值（提升版） 38．已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用“”的代换的方法，结合基本不等式，化简求得的最小值. 【详解】 所以 ， 当且仅当且时等号成立，此时. 故答案为： 39．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先由已知得到，变形展开计算，利用基本不等式求最值即可. 【详解】， ， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为 故答案为： 40．已知x，y均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】19 【分析】根据式子结构，构造基本不等式中“1的代换”，利用基本不等式求最值. 【详解】∵均为正实数，且，∴， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为19. 故答案为：19. 41．若x，y均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】由基本不等式求最小值. 【详解】， 由题意 ，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：9. 42．已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值即可. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，即， 所以的最小值是， 故答案为： 43．已知，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分子进行有理化，然后结合“1”的妙用，利用，即可结合基本不等式来求解最值. 【详解】由题知，， 令 ， 因为，所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为. 故答案为：. 44．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 45．已知，若，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将用与表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解. 【详解】设， 由对应系数相等得 ，得 所以 整理得即 所以 . 经验证当 时，等号可取到. 故答案为： 题型二 换元法求最值 46．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】方法一：消元法.令，则，代入，整理得，转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二：基本不等式法.关键是将式子变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 47．已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【分析】构造，将代数式换元为，由，得到，再用基本不等式得到最小值. 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 48．若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值； 【详解】法一：由实数 满足， 设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立， 所以的最大值为. 法二：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 49．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，则， 因为，故，则. 故， ， 当且仅当，即，结合可得， ， 即，，，时取等号. 故答案为： 50．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，从而可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令，， 则，且， ∴， ∴ ， 当且仅当取等号，即时成立. 故答案为：. 51．（24-25高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 52．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 53．已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】解：令，，因为，所以， 则，，所以, 所以 ， 当且仅当，即，，即时取“”， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型三 两次应用基本不等式求最值 54．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 55．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知实数，，则当取到最小值时， ． 【答案】 【分析】连续两次使用基本不等式，要使得能取到最小值，则取等条件应同时满足，进而解出. 【详解】由题意可得:，当且仅当，原式取“”， 因为，，所以； 所以， 当且仅当,原式取“”， 要使得能取到最小值，则需同时满足：，解得：， 所以. 故答案为：. 56．已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【详解】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 57．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知正数满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即时，等号成立； ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上可得的最小值为. 故答案为：. 58．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 59．已知的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解. 题型四 条件等式变形求最值 60．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】消元得到，然后分离常数、配凑结合基本不等式即可求解. 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 61．已知正数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为正数满足， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以，解得， 所以，所以的取值范围为. 故答案为：. 62．已知，，且，则的最小值是 【答案】/ 【分析】借助基本不等式可将原等式化为与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，，则，当且仅当时，等号成立， 故，即， 令，即，则有或（负值舍去）， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 63．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 64．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 65．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件中的式子进行转化得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 由基本不等式得， 则， 解得，当且仅当取等号. 所以的最大值为. 故答案为：. 66．若，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将已知条件化为，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，又， 当且仅当时等号成立，故，解得，即． 故答案为： 67．已知，若，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4. 68．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【分析】将等式变形后运用基本不等式即可求得最值. 【详解】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 69．若实数x，y满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由已知可得，，代入，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为实数x，y满足， 所以，所以， 所以，， 所以当时，有最大值，最大值为. 故答案为：. 70．设，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，得，又，由乘法，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，且，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. *题型五 基本不等式链的应用（拓展） 【拓展题型】71．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【详解】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 【拓展题型】72．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可. 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为，可得，即 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 题型六 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 73．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， ，解得. 故答案为：. 74．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 75．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，即可求解. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 故答案为：. 76．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为，再利用基本不等式求的最小值可得答案. 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 77．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 78．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 79．（22-23高一上·上海宝山·期中）已知，若不等式对一切实数、恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知对一切实数、恒成立， 因为，所以，，所以，， 当且仅当时，取得最小值，则，解得. 故答案为：. 80．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，且，若恒成立， 则， 又 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 故答案为：． 81．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知不等式对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求得最值，列不等式求解即可. 【详解】已知正实数x，y，a为正实数， 则， 当且仅当时等号成立， 由题意不等式对任意的正实数x，y恒成立，所以， 即，解得或舍去，所以， 即正实数a的取值范围是. 故答案为：. 82．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 题型七 利用基本不等式证明不等式 83．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 84．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立． 85．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 86．已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【详解】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 87．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 题型八 基本不等式的实际应用 88．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 89．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台. 【答案】300 【分析】由总成本表示出平均成本，利用基本不等式求最小值和取最小值时的值. 【详解】购买台机器人的总成本为， 则平均成本， 当且仅当，即时，平均成本最低为2万元. 故答案为：300. 90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 91．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 【答案】7 【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可. 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 题型九 权方和不等式（拓展） 92．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 93．已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 94．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件； （2）求函数的最小值． 【答案】（1），当时两式相等；（2）49. 【分析】（1）利用作差法，结合代数运算即可求解； （2）适当配凑后，结合“1”的妙用以及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）作差比较：=， 所以，，当时两式相等． （2）因为，故可得， 则 ， 当且仅当，，即取得等号， 故的最小值为. 95．已知正实数、且满足，求的最小值 . 【答案】 【分析】设，，，由权方和不等式计算可得. 【详解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 96．求的最大值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 97．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 98．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 99．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 1．对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为 ，当且仅当时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果. 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用时，必须是正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果是负数，求的最值，可转化为，再结合基本不等式来进行求解. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 4．正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，因为， 所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即,故取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 5．（24-25高一上·天津西青·期中）设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为 【答案】/ 【分析】将化为，利用基本不等式可求出时，取最大值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案. 【详解】由题意知正实数，，，满足， 即，则， 则， 当且仅当，即时取等号，故，即最大值为， 此时，故， 当，即时，取最大值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化为单变量问题解决. 6．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 7．（24-25高一上·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 8．已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先利用换元法探索的关系，再结合常数代换法求的最小值. 【详解】因为，为正数，且， 两边平方得：， 所以. 设，则，解得， ，整理得：，即. 所以 . 当且仅当：即时取“”. 即的最小值为. 故答案为： 9．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由基本不等式可得，，故，再结合基本不等式可得，进而可得. 【详解】设， 则，，，， 因为，所以,， 当且仅当时两个不等式同时取等号， 所以， 又， 当且仅当，时取等号，所以，则，当且仅当，时取等号， 故的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够通过观察4个元素，从最值角度出发，考虑基本不等式，,，进而，再利用基本不等式可得，因多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 10．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.1 平均值不等式及其应用 题型一 直接用基本不等式求和的最小值 1．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 2．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 3．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 4．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 5．（9-10高一下·重庆万州·期末）已知，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 题型二 直接用基本不等式求积的最大值 7．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 8．设a，b为正数，且，则ab的最大值为 ． 9．已知，则的最大值为 ． 10．实数满足，则的最大值为 . 11．已知正实数a，b满足则ab的最大值为 . 12．已知正实数x，y满足：，则的最大值为 . 13．已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为 . 14．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 题型三 拼凑法求最值 15．对于正实数，代数式的最小值为 ． 16．若，则的最小值为 ． 17．设实数，当代数式取最大值时，的值为 ． 18．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数a、b满足，则的最小值为 . 19．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 20．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 21．已知，的最小值为 ． 22．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 23．求的最小值； 题型四 二次与二次（一次）的商式求最值 24．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 25．函数的最小值为 . 26．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 27．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 28．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 29．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. 题型五 巧用“1”或常数关系求最值（基础版） 30．（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 31．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 32．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 33．（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 34．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 35．（23-24高一上·四川成都·期末）已知，且，则的最小值为 . 36．已知正实数、满足，则的最小值为 . 37．已知，若，则的最小值为 . 题型一 巧用“1”或常数关系求最值（提升版） 38．已知，且，则的最小值为 . 39．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知且，则的最小值为 . 40．已知x，y均为正实数，且，则的最小值为 ． 41．若x，y均为正实数，且，则的最小值为 ． 42．已知实数，且，则的最小值是 ． 43．已知，则的最小值是 . 44．已知正实数，满足，则的最小值为 . 45．已知，若，则的最小值是 . 题型二 换元法求最值 46．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 47．已知正实数满足且，则的最小值为 48．若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 49．已知，，则的最小值为 . 50．已知，，且，则的最小值为 . 51．（24-25高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 52．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 53．已知且，则的最小值为 . 题型三 两次应用基本不等式求最值 54．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 55．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知实数，，则当取到最小值时， ． 56．已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 57．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知正数满足，，则的最小值为 . 58．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 59．已知的最小值为 . 题型四 条件等式变形求最值 60．已知，，且，则的最小值为 . 61．已知正数满足，则的取值范围是 ． 62．已知，，且，则的最小值是 63．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 64．已知，且，则的最小值为 ． 65．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）已知，且，则的最大值为 . 66．若，，，则的取值范围为 ． 67．已知，若，则的最大值为 . 68．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 69．若实数x，y满足，则的最大值是 ． 70．设，，且，则的最小值为 . *题型五 基本不等式链的应用（拓展） 【拓展题型】71．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【拓展题型】72．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 题型六 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 73．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是 . 74．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 75．（23-24高一上·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ． 76．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 77．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 78．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 79．（22-23高一上·上海宝山·期中）已知，若不等式对一切实数、恒成立，则实数的取值范围是 ． 80．（22-23高一上·上海黄浦·期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 81．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知不等式对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 . 82．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 题型七 利用基本不等式证明不等式 83．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 84．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 85．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 86．已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 87．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 题型八 基本不等式的实际应用 88．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 89．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台. 90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 91．（23-24高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 题型九 权方和不等式（拓展） 92．已知正数，，满足，则的最小值为 93．已知，求的最小值为 94．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件； （2）求函数的最小值． 95．已知正实数、且满足，求的最小值 . 96．求的最大值为 97．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为 . 98．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 99．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 1．对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 . 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 4．正实数，满足，则的最小值为 ． 5．（24-25高一上·天津西青·期中）设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为 6．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 7．（24-25高一上·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为 . 8．已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 9．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 10．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$