2.1.3 不等式的性质（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.1.3 不等式的性质 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 5．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 利用不等式求值或取值范围 6．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 7．（24-25高一上·上海·期中）若，，则的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，且，，则的取值范围是 . 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 11．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 12．已知实数满足，，则的取值范围为 ． 13．已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 题型三 作差法比较代数式的大小 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 16．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 17．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 19．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 题型四 作商法比较代数式的大小 20．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 21．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 22．若，求证：． 题型五 由不等式的性质证明不等式 23．已知，求证：． 24．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 25．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 26．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 题型一 糖水不等式及其应用 27．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 题型二 定义最大数最小数 29．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 30．定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为 . 31．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 1．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（    ） A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定 2．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 3．已知，试比较与的大小，并给出你的证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.3 不等式的性质 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立. 【详解】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误. 对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误. 对于C选项，对于.因为，又恒大于，已知，即，所以，即一定成立. 故C正确. 对于D选项，对于.当，时，满足，但，，，所以不一定成立.故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果. 【详解】当时，，A选项错误； 当，时，，，，B选项错误； ∵且，∴，C选项正确； 当时，，D选项正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A 【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 5．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①，作差法比较大小；②，先得到，，作差法得到，故，即；③，由不等式性质得到，，得到③正确；④，由同号可加性得到. 【详解】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 题型二 利用不等式求值或取值范围 6．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助不等式的性质计算即可得. 【详解】由，，则. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）若，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质直接得出结果. 【详解】由， 得，即. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得. 所以的范围是. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用同向不等式相加求的取值范围. 【详解】由，可得，又， 则有，即的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 11．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可． 【详解】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 12．已知实数满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】因为，，所以，， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 13．已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 题型三 作差法比较代数式的大小 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：>. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】直接由作差法即可比较大小. 【详解】因为，且a，， 所以． 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【分析】根据作差比较法即可得解. 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 19．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】 ， 所以，当且仅当时取等号. 题型四 作商法比较代数式的大小 20．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 21．从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 22．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 题型五 由不等式的性质证明不等式 23．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 24．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 25．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 26．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 题型一 糖水不等式及其应用 27．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 28．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 题型二 定义最大数最小数 29．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 30．定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为 . 【答案】 【分析】解法1：令，，，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解. 解法2：由数轴上点的距离公式，得到分别为线段的长，转化为求三个线段中最长线段的长的最小值，不妨设为，的长为，得到，分和，两情况讨论，结合新定义和不等式的基本性质，即可求解. 【详解】解法一：令，，，其中，，，所以， 若，则，可得， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立. 若，则，即， 令， 则，所以，则， 当且仅当，，时等号成立， 综上可得，的最小值为. 解法二：根据数轴上点的距离公式，可得分别为线段的长， 如图所示，若点固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值， 可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值， 不妨设为，的长为，则，即， 若，则，即，解得； 若，则，即，解得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】对于涉及不等式的基本性质问题的求解策略： 1、运用不等式的性质求解或判断是，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其也不能想当然捏造性质； 2、建立待求范围的整体与已知范围的整体关系，最后利用不等式的基本性质，进行运算，求得待求的范围； 3、注意利用同向不等式的两边相加时，这种转化不时等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，可能会扩大其取值范围； 4、若通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 31．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 1．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（    ） A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定 【答案】A 【分析】设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意得到的取值范围，利用待定系数法将表示为的线性组合，然后利用不等式的基本性质和作差法比较的大小关系即可. 【详解】解：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元， 由题意可得：（*）， 令， 则，解得：， ， 由（*）得,, , ， 因此． 所以2枝红玫瑰的价格高． 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于中档题．将表示为的组合是关键，在利用不等式的基本性质求差的取值范围时，要化成同向不等式才能相加. 2．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得，再利用的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解. 【详解】由，可得，即； 当时，即时，（舍去）； 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，（舍去）； 同理可知，当或时不合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．已知，试比较与的大小，并给出你的证明． 【答案】，证明见解析. 【分析】先证明，然后用，分别替换中的可证明 ，再用，分别替换中再利用已证的不等式放缩即可求证. 【详解】 证明如下： 因为， 所以， 即 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， ， 即证得 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是首先利用，证明，通过类比和放缩即可证明. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$