专题01 有理数及其运算（期中真题汇编，湖南长沙专用）七年级数学上学期人教版2024

专题01有理数及其运算 考点01 正负数的识别 考点08动点问题（压轴题） 考点02正负数的实际应用 考点09有理数在生活中的实际应用 考点03有理数的分类 考点10用科学记数法表示数（常考题） 考点04用数轴上的点表示有理数 考点11程序流程图与有理数的计算 考点05含乘方的有理数加减混合运算（必考题） 考点12求一个数的近似数 考点06绝对值的非负性 考点13有理数中新定义问题 考点07绝对值的几何意义（压轴题） 考点14有理数中找规律问题 地 城 考点01 正负数的识别 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）负数的引入是数学思想史上一个重要突破．中国古代最早引进正负数的概念，《九章算术》中的“正负术”是数学史上最早的正负数加减运算法则．如果水位上升5米记作米，那么水位下降4米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义；运用正负数去表示相反意义的量是解题关键． 【详解】解：∵水位上升5米记作米， ∴水位下降4米记作米， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）秋季运动会开幕式环节中，若前进10米记作米，则后退6米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了具有相反意义的量．根据具有相反意义的量，即可求解． 【详解】解：若前进10米记作米，则后退6米记作米． 故选：C． 3．（21-22七年级上·湖南长沙·期中）湘江属于长江流域洞庭湖水系，它是湖南省最大河流，若湘江的水位上升0.5米记为米，则米表示（   ） A．水位上升0.2米 B．水位下降0.2米 C．水位上升0.7米 D．水位下降米 【答案】B 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，水位升高记为正，可得水位下降的表示方法． 【详解】解：水位升高0.5米记为+0.5米，那么﹣0.2米表示水位下降0.2米． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 4．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）低于正常水位0.16米记为﹣0.16，高于正常水位0.02米记作（　　） A．+0.02 B．﹣0.02 C．+0.18 D．﹣0.14 【答案】A 【分析】本题是正负数来表示具有意义相反的两种量：低于正常水位记为负，则高于正常水位就记为正，直接得出结论即可． 【详解】解：低于正常水位0.16米记作﹣0.16，高于正常水位0.02米记作+0.02； 故选：A． 地 城 考点02 正负数的实际应用 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）巴黎奥运会乒乓球比赛包含男子和女子单打、男子和女子团体以及混双五个项目．最终中国队包揽全部五枚金牌，位列奖牌榜首位．国际乒联规定：正式乒乓球比赛中使用直径是40 ，质量是(单位：克)的白色或橙色乒乓球，则下列乒乓球质量不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数．根据正数和负数的实际意义求得乒乓球质量合格的范围，然后进行判断即可． 【详解】解：由正式乒乓球比赛中使用直径是40，质量是(单位：克)可得乒乓球质量合格的范围为， 观察四个选项，，故选项D不在质量合格的范围内， 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）如图，对4个足球的质量进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，，，的绝对值，再比较，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴最接近标准的是． 故选：C 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）国庆期间，小明在一超市购买了一种巧克力，在其包装上发现巧克力的质量标识为“克”，则下列不合格的是（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】B 【分析】根据巧克力的质量标识求出合格范围，看哪个选项不在合格范围内即可． 【详解】解：克， 克， 所以巧克力的质量合格范围在克到之克间． ， 故克不合格． 故选B． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）“神舟十六号”航天员乘组在与“神舟十七号”航天员乘组完成在轨轮换任务后，瞄准10月31日返回东风着陆场，飞船上有一种零件尺寸标准是（单位：），则下列零件尺寸不合格的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得零件尺寸的正常范围是解题的关键．根据正数和负数的实际意义求得零件尺寸的正常范围，然后进行判断即可． 【详解】解：∵零件的尺寸标准是， ∴是正常范围， 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南·期中）下列说法正确的是（    ）地 城 考点03 有理数的分类 A．0既不是整数也不是分数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．不是所有有理数都可以在数轴上表示 D．绝对值等于本身的数是0和1 【答案】B 【分析】本题考查数轴，有理数，绝对值，关键是掌握有理数、整数的概念．由有理数和整数的概念，数轴上的点与有理数的关系，绝对值意义逐项判断即可． 【详解】解：A、0是整数，故此选项不符合题意； B、可以写成分数形式的数是有理数，故此选项符合题意； C、所有有理数都可以在数轴上表示，故此选项不符合题意； D、绝对值等于本身的数是0和正数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南·期中）在下列数，，，0，，中，正有理数有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，理解正有理数的意义是正确判断的前提．根据正有理数的意义进行判断即可． 【详解】解：在下列数，，，0，，中，正有理数有，，共2个， 故选：A． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，如图阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数分类，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用负整数的定义分析得出答案． 【详解】解：阴影部分表示负整数， 选项中只有符合题意． 故选：B． 4．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）在，，，0，中，负数的个数有（    ） A．2个 B．4个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：，是负数，是正数，0既不是正数也不是负数，表示的是的相反数，是正数． 故答案为：A． 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）已知点A、B、C、D在数轴上分别对应下列各数：．地 城 考点04 用数轴上的点表示有理数 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）； (2)请用“＜”将它们连接起来． 【答案】(1)数轴表示见解析 (2)或． 【分析】本题考查用数轴表示有理数，并比较有理数的大小． （1）先化简绝对值，多重符号，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上的数右边的大，进行作答即可． 正确的表示出各数，是解题的关键． 【详解】（1）解：，如图： （2）由图可知：或． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查用数轴比较有理数大小，首先化简多重符号，然后根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】解：， ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）画出数轴并在数轴上表示出下列各数，将这些数用“<”号连接． 、、、、 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小．从左往右，数轴上的数依次增大．化简各数后，表示在数轴上，即可比较大小． 【详解】解：，，，如图所示：    4．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）将、、、3这些数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查利用数轴表示有理数，绝对值定义，并利用数轴比较有理数的大小，将有理数表示在数轴上，再根据数轴上右边的数始终大于左边的数，比较这些有理数的大小，即可解题． 【详解】解：在数轴上表示的数如图所示， 由图可知，． 地 城 考点05 含乘方的有理数加减混合运算（必考题） 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与a 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值等知识．熟练掌握有理数的乘方，绝对值是解题的关键． 分别计算各选项中的值，然后判断是否相等即可． 【详解】解：A中与不相等，故不符合要求； B中与相等，故符合要求； C中与不相等，故不符合要求； D中当时，与a不相等，故不符合要求； 故选：B． 2．（18-19七年级上·湖南长沙·期中）计算：                          【答案】（1）0；（2）-5；（3）；（4）22 【分析】（1）先计算同分母分数，再计算加法； （2）利用乘法分配律计算即可求出值； （3）先算乘方，再算乘法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括绝对值，要先做绝对值内的运算； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】 =8-8 = =22. 3．（21-22七年级上·湖南长沙·期中）计算 （1）(－27.8)+43.9                      （2） （3）                 （4） 【答案】（1）16.1；（2）39；（3）0；（4）-13 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）（4）根据有理数的混合运算，先算乘方，后乘除，再计算加减，按顺序计算即可； 【详解】（1）(－27.8)+43.9     = 16.1           （2） = =14+27-30+28 =39 （3）-×+8÷ =-2+2 =0       （4）-10÷5+4×（-3） =1-2-12 =-13 4．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）计算题 （1）2﹣（﹣8）+（﹣7）﹣5； （2）3×（﹣2）+28÷7； （3）﹣42×|﹣|+8÷（﹣2）2； （4）﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]； （5）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣1）﹣（+1.75）； （6）（+﹣）×（﹣12）； 【答案】（1）-2；（2）-2；（3）-6；（4）32；（5）-1；（6）-6；（7）7a2﹣9a；（8）x2﹣x﹣3 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则和运算顺序计算即可； （3）先乘方、绝对运算，再乘除，最后加减运算即可解答； （4）先乘方运算，再算括号内的，然后合并计算即可； （5）利用加法交换律和结合律进行有理数加减法简便运算即可； （6）利用乘法分配律进行简便运算即可； 【详解】解：（1）2﹣（﹣8）+（﹣7）﹣5 ＝2+8﹣7﹣5 ＝10﹣12 ＝﹣2； （2）3×（﹣2）+28÷7 ＝﹣6+4 ＝﹣2； （3）﹣42×|﹣|+8÷（﹣2）2 ＝﹣16×+8÷4 ＝﹣8+2 ＝﹣6； （4）﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3] ＝﹣8+[16﹣（1﹣9）×3] ＝﹣8+[16﹣（﹣8）×3] ＝﹣8+[16+24] ＝﹣8+40 ＝32； （5）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣1）﹣（+1.75） ＝（﹣3+1）+（2﹣1） ＝﹣2+1 ＝﹣1； （6）（+﹣）×（﹣12） ＝×（﹣12）+×（﹣12）﹣×（﹣12） ＝﹣7﹣8+9 ＝﹣6； 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）若，则的值是（    ）地 城 考点06 绝对值的非负性 A． B．1 C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，求解代数式的值，本题由非负数的性质可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； 故选B 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值非负性以及乘方运算，根据题意得出a，b的值是解本题的关键． 根据绝对值非负性求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：B． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）如果有理数a，b满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数运算中的规律问题，根据绝对值和平方的非负性可得，通过“裂项相消法”即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方和绝对值的非负性，熟知平方和绝对值的非负性是解题的关键．根据平方和绝对值的非负性求出、的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1地 城 考点07 绝对值的几何意义（压轴题） (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)6；或 (2)①，0，1，2，3；3；②；6 (3)菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求出线段的长度，根据的几何意义分两种情况求解即可． （2）①根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7，即可求解；根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差，分为当在1的右边时，和当在1的左边时，求解即可． ②根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离，确定出在和2之间时，三个距离之和最小即可解答． （3）菜鸟驿站P在x处，根据题意得出运输总成本为，再根据其几何意义求出的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：线段的长度， ∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∵， ∴当在2的左边时，则； ∴当在2的右边时，则； 则的值为：或5； 故答案为：6；或5． （2）解：①根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7， ∵， ∴在和3之间， ∴整数的值为：，0，1，2，3； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在1的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为3； 当在1的左边时，则， ∴最大值为3； 故答案为：，0，1，2，3；3． ②解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和2之间的距离，即为6， ∴最小值为6； 故答案为：； （3）解：设菜鸟驿站P在x处， 根据题意可得，运输总成本为， 的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本为12元， ∴菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元/（千份·千米）． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． (1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为_________． (2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，运动了后，点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点．设点运动时间为秒，为何值时到点的距离为2． (3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为_________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，求的最小值？并求出此时的取值范围． 【答案】(1) (2)当点Q运动17或9秒时，到点的距离为2 (3)①②的最小值为，此时 【分析】（1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （2）首先依题意求出点所表示的数为：，点所表示的数为：，然后根据为的中点得，再根据到点的距离为2建立方程求解即可； （3）①依题意可得出对应的数；②由（2）可知：点所表示的数为：，点所表示的数为：，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， 解得：， ∴的中点所对应的数为：， 故答案为：． （2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动， ∴点Q运动秒时，点所表示的数为：， ∵点从D点出发，以每秒2个单位的速度向右运动， ∴点Q运动秒时，点所表示的数为：， ∵为的中点， ∴点所表示的数为 又∵点到点的距离为2， 整理得：， ∴或 解得：或， ∴当点Q运动17或9秒时，到点的距离为2． （3）解：①∵为靠近的三等分点时，对应的数为， 为靠近的四等分点时，对应的数为， 以此类推，为靠近的5等分点时，对应的数为， 故答案为：． ②由（2）可知：点所表示的数为：，点所表示的数为：， ∵是最靠近的五等分点， ∴点所表示的数为：， ∵为中点， ∴点所表示的数为：， ∴， ∴， ∵表示数轴上表示t的数到表示的距离，表示数轴上表示t的数到表示的距离， ∴表示的是数轴上表示t的数到表示4和的数的距离之和， ∴当时，的值最小，最小为， ∴的最小值为，此时． 3．（24-25七年级上·湖南·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)当时，的值为________； (2)当时，的值为________； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________，最小值是________． (4)请问代数式的最小值是多少？满足最小值时所有整数的和是多少？并说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)；5 (4)代数式的最小值13，满足最小值时所有整数的和是7，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用： （1）根据绝对值的几何意义可得表示的是数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离为3，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得表示的是数轴上表示数x的点到表示数2和数的点的距离之和为9，进而可推出表示数x的点在数2的右边或在数的左边，据此化简绝对值并解方程即可； （3）根据绝对值的几何意义可推出当表示数x的点在数2和数之间时的值最小，据此求解即可； （4）同（3）可推出当时，和能同时取得最小值，即当时，能取得最小值，据此求出最小值，并求出满足题意的x的和即可． 【详解】（1）解：由题意得表示的是数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离为3， ∴x的值为或， 故答案为：或； （2）解：由题意得表示的是数轴上表示数x的点到表示数2和数的点的距离之和为9， ∵表示数2和数的点的距离为， ∴表示数x的点在数2的右边或在数的左边， 当表示数x的点在数2的右边时，则，解得； 当表示数x的点在数的左边时，则，解得； 综上所述，或， 故答案为：或； （3）解：由题意得表示的是数轴上表示数x的点到表示数2和数的点的距离之和， 当表示数x的点在数2的右边或在数的左边时，的值一定大于表示数2和数的点的距离， ∴当表示数x的点在数2和数之间时的值最小，最小为， ∴当代数式取最小值时，相应的的取值范围是，最小值为5， 故答案为：；5； （4）解：代数式的最小值13，满足最小值时所有整数的和是7，理由如下： 同（3）可知当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，能取得最小值，最小值为， ∴满足题意的整数x有， ∴满足最小值时所有整数的和是． 4．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离. (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)求的最小值，并指出取最小值时的值. 【答案】（1），x＝3或−7； （2）最小值是5； （3）当x=1010时，最小值为1019090. 【分析】（1）根据两点间的距离公式直接计算即可； （2）根据绝对值的几何意义求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，可得有最小值，当x＝1010时，的最小值为1019090． 【详解】（1）数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为， 根据数轴上与表示−2的点相距5个单位的点表示的数为3或−7，可得若|x＋2|＝5，则x＝3或−7； （2）若点P表示的数为x，当点P在数轴上-3≤x≤2位置时，|x+3|＋|x−2|有最小值，最小值是5； （3） = 要使|x−1|＋|x-2019|的值最小，x的值取1到2019之间（包括1、2019）的任意一个数， 要使|x−2|＋|x-2018|的值最小，x取2到2018之间（包括2、2018）的任意一个数，… 要使|x−1009|＋|x-1011|的值最小，x取1009到1011之间（包括1009、1011）的任意一个数， 要使|x−1010|的值最小，x取1010， 把x＝1010代入原式， 得 ＝1009+1008+…+1+0+1+2+…+1008+1009＝1019090， 即当x=1010时，最小值为1019090. 1．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“至善点”．例如：若数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，则点B是点A、C的“至善点”．地 城 考点08 动点问题（必考题） （1）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数、0、1、6所对应的点分别为C1、C2、C3、C4，其中是点A、B的“至善点”的有　 　（填代号）； （2）已知点A表示数﹣1，点B表示数3，点M为数轴上一个动点： ①若点M在点A的左侧，且点M是点A、B的“至善点”，求此时点M表示的数m； ②若点M在点B的右侧，点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，求出此时点M表示的数m． 【答案】（1）C1、C4；（2）①﹣5；②点M表示的数m可以为5，7，11 【分析】（1）根据C1、C2、C3、C4所表示的数，分别计算这个点到A、B的距离，根据“至善点”的意义进行判断即可； （2）①点M在点A的左侧，则m＜﹣1，点M是点A、B的“至善点”，则有2MA＝MB，列方程求解即可； ②点M在点B的右侧，则m＞3，由点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，分三种情况进行讨论： M是A、B的“至善点”，A是B、M的“至善点”，B是A、M的“至善点”，分别建立方程即可求解． 【详解】解：（1）当C1＝﹣时，AC1＝|﹣+2|＝，BC1＝|2+|＝，有BC1＝2AC1，因此C1符合题意； 当C2＝0时，AC2＝|0+2|＝2，BC2＝|2+0|＝2，有BC2＝AC2，因此C2不符合题意； 当C3＝1时，AC3＝|1+2|＝3，BC3＝|2﹣1|＝1，有3BC3＝AC3，因此C3不符合题意； 当C4＝6时，AC4＝|6+2|＝8，BC4＝|2﹣6|＝4，有2BC4＝AC4，因此C4符合题意； 故答案为：C1、C4； （2）①点M在点A的左侧，则m＜﹣1， 点M是点A、B的“至善点”，因此有2MA＝MB，即2（﹣1﹣m）＝3﹣m， 解得，m＝﹣5， ②点M在点B的右侧，则m＞3， 点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”， Ⅰ）若M是A、B的“至善点”，则2MB＝MA，即2（m﹣3）＝m+1，解得m＝7， Ⅱ）若A是B、M的“至善点”，则2AB＝AM，即2（3+1）＝m+1，解得m＝7， Ⅲ）若B是A、M的“至善点”，则2AB＝BM或AB＝2BM，即2（3+1）＝m﹣3或3+1＝2（m﹣3），解得m＝11或m＝5， 答：点M表示的数m可以为5，7，11． 2．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． （2）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是（A，B）的三倍点，不是（B，A）的三倍点．若A、B点表示的数分别为﹣1，3． ①若点C是（A，B）的三倍点，求点C表示的数； ②若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点． 【答案】（1）3；5；1或﹣5；（2）①点C表示的数为2或5；②存在，点C表示的数为﹣13或﹣8或﹣3或﹣ 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式可求出各数之间的距离，由数a和-2的两点之间的距离是3，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值； （2）①设点C表示的数为x，则CA=|x-（-1）|，CB=|x-3|，分x＜-1，-1≤x≤3及x＞3三种情况，由点C是（A，B）的三倍点，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设点C表示的数为m（m＜-1），则CA=|m-（-1）|=-1-m，CB=|m-3|=3-m，AB=|-1-3|=4，由A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点（6种情况），可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）|4﹣1|＝3，|﹣3﹣2|＝5， |a﹣（﹣2）|＝3，即a+2＝3或﹣a﹣2＝3， ∴a＝1或a＝﹣5． 故答案为：3；5；1或﹣5． （2）①设点C表示的数为x，则CA＝|x﹣（﹣1）|，CB＝|x﹣3|． 当x＜﹣1时，﹣x﹣1＝3×（3﹣x）， 解得：x＝5（不合题意，舍去）； 当﹣1≤x≤3时，x+1＝3×（3﹣x）， 解得：x＝2； 当x＞3时，x+1＝3×（x﹣3）， 解得：x＝5． 答：点C表示的数为2或5． ②设点C表示的数为m（m＜﹣1），则CA＝|m﹣（﹣1）|＝﹣1﹣m，CB＝|m﹣3|＝3﹣m，AB＝|﹣1﹣3|＝4． 当点C是（A，B）的三倍点时，﹣1﹣m＝3×（3﹣m）， 解得：m＝5（不合题意，舍去）； 当点C是（B，A）的三倍点时，3﹣m＝3×（﹣1﹣m）， 解得：m＝﹣3； 当点A是（B，C）的三倍点时，4＝3×（﹣1﹣m）， 解得：m＝﹣； 当点A是（C，B）的三倍点时，﹣1﹣m＝3×4， 解得：m＝﹣13； 当点B是（A，C）的三倍点时，4＝3×（3﹣m）， 解得：m＝（不合题意，舍去）； 当点B是（C，A）的三倍点时，3﹣m＝3×4， 解得：m＝﹣8． 综上所述：当点C表示的数为﹣13或﹣8或﹣3或﹣时，A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点． 3．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）已知在数轴上有、两点，点表示的数为，点在点的左边，且.若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，解决以下问题： (1)写出数轴上点所表示的数； (2)当秒时，写出数轴上点，所表示的数； (3)若点，分别从、两点同时出发，问运动多少秒后点与点相距个单位长度？ 【答案】（1）-4；（2）P表示5，Q表示-2；（3）1.8秒或3秒. 【分析】（1）根据点表示的数为，点在点的左边，且，设点B为x，根据绝对值的意义列式即可得知B的数值； （2）根据数轴上的数值越向左越小，越向右越大的规律，用A的数值减去P点运动距离，用B的数值加上Q运动的数值即可得出答案； （3）设点P运动时间为t秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3t，BQ=2t，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3列式计算即可. 【详解】解：（1）设B点为x， ∵点表示的数为，且， ∴ 解得 ∵点在点的左边 ∴点B为-4； （2）∵从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P=8-3×1=5 ∵从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动 ∴Q=-4+2×1=-2 即数轴上点，所表示的数分别为3，-2； （3）设点P运动t秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3t，BQ=2t， ①如下图， 当AP+BQ=AB-3时，即3t+2t=12-3，解得t=1.8秒； ②如下图， 当AP+BQ=AB+3时，即3t+2t=12+3，解得t=3秒， 故运动1.8秒或3秒后点与点相距个单位长度. 4．（21-22七年级上·湖南长沙·期中）如图，数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的x的值． （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． （3）点A、B分别以2个单位长度/分，1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以2.5个单位长度/分的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停往返于点A与点B之间，当点A与点B重合时，A、B、P同时停止运动，求此过程中点P所经过的总路程是多少？ 【答案】（1）-1；（2）存在，3或-5；（3）15个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式列方程解答； （2）分三种情况，利用两点之间的距离公式列方程解答； （3）设经过a分钟点A与点B重合，列方程求出a的值，再根据路程等于时间乘以速度解答． 【详解】（1）∵点P到点A、点B的距离相等， ∴x-（-4）=2-x，解得x=-1， 答：点P对应的数是-1． （2）由题意，得|-4-x|+|2-x|=8， 如果x≤-4，得-4-x+2-x=8，解得x=-5； 如果-4＜x≤2，得4+x+2-x=8，x无解； 如果x＞2，得x+4+x-2=8，解得x=3； 答：数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为8，此时x的值为3或-5； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得： 2a=6+a， 解得a=6． 6×2.5=15． 答：点P所经过的总路程为15个单位长度． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）某校为提高环保意识，实现资源的有效利用，举办了“矿泉水瓶回收”活动．各班收集的矿泉水瓶（容量均为550毫升）以500个为标准，超过的记为“＋”，不足的记为“－”，七年级六个班级的矿泉水瓶收集情况如下表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集的矿泉水瓶最少，且收集矿泉水瓶最多和最少的班级的数量差为40个．地 城 考点09 有理数在生活中的实际应用 班级 一 二 三 四 五 六 超过或不足 （单位：个） 0 (1)请你计算七年级六班同学收集矿泉水瓶的数量； (2)若本次活动收集矿泉水瓶数量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集矿泉水瓶的总数量； (3)若七年级六个班级将本次活动收集的矿泉水瓶集中卖出，3 000个以内（包括3 000个）的0.1元/个，超出3000个的部分0.15元/个，求矿泉水瓶卖出的总价格． 【答案】(1)525个 (2)1555个 (3)304.5元 【分析】本题考查了有理数运算的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据收集矿泉水瓶最多和最少的班级的数量差为40个可知六班为收集最多的班级，进而求解即可； （2）先算出每个班的数量，再相加即可； （3）先算出瓶子总数，再计算几个即可． 【详解】（1）解：（个）， 答：六班收集525个； （2）（个）， 答：共收集1555个； （3）解：（个）， （元）， 答：总价格为304.5元． 2．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）出租车司机小张某天下午的营运可以看作全是在东西走向的大道上行驶的，若规定向东为正，行车记录情况（单位，千米）如下：． (1)当把最后一名乘客送到目的地时，小张在出发地的哪个方向？距离为多少？ (2)小张的平均营运额为元/千米，成本为 元/千米，求这天下午小张盈利多少元． 【答案】(1)小张在出发地的西边，距离为2km (2)当天下午盈利元． 【分析】（1）将所有数据相加，根据结果进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的盈利，即可． 【详解】（1）解：设出发地在坐标轴的原点处，则根据题意列式得 因为规定向东为正， 又因为，所以在出发地的西边． 答：小张在出发地的西边，距离为． （2）解：（元）； 答：这天下午小张盈利元． 【点睛】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，有理数乘法的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）玩具厂要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表所示： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 … (1)这批毛绒玩具共多少件？ (2)用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系．y与x成什么比例关系？ 【答案】(1)360件 (2)，反比例关系 【分析】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察表格数据，发现，即可作答． （2）结合因为工作时间×工作效率＝工作总量，且工作总量不变，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴这批毛绒玩具共360件； （2）解：∵工作总量不变，都是360件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变， ∴， 故x与y成反比例关系． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)求该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ 【答案】(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单 (2)该外卖小哥这一周一共送餐369单 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． （1）根据题意列出算式，计算即可； （2）根据题意列出算式，再计算即可得出答案． 【详解】（1）（单， 即该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单； （2） （单， 即该外卖小哥这一周一共送餐369单． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）2024年6月29日，长沙正式跻身特大城市行列，排在武汉后面，重庆前面．2023年底的数据显示，长沙的达到了万亿元人民币．这个数字可不得了，在湖南省内可是一枝独秀．将万亿用科学记数法表示为（   ）地 城 考点10 科学计数法（常考题） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：万亿， 故选：C． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）长沙近年来跻身“网红城市”，其实它更是全国首批历史文化名城，全国重点红色旅游城市，素有“革命摇篮”之称，长沙市文化旅游广电数据显示，2023年中秋、国庆双节长假首日接待游客约147000人次，与去年长假首日同比增长，将147000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此解答即可．确定与的值是解题的关键． 【详解】解：将147000用科学记数法表示为， 故选：． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江杭州举行，亚运会主场馆为杭州奥体中心体育馆，又名“大莲花”．体育馆总建筑面积约为平方米，将数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 【详解】解：． 故选：B． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）《年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，用“龘龘”之姿生动描摹亿中华儿女昂扬向上的精神风貌，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的一般形式并正确确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 地 城 考点11 程序流程图与有理数的计算 1．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）如图，是小明在编程课中设计的一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则输出的结果为 ． 【答案】7 【分析】把输入，按运算顺序进行计算，根据运算结果先判断能否输出，再考虑重新输入． 【详解】解：当输入时， 可输出． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）按如图所示的运算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ．    【答案】1 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图的顺序，进行计算即可． 【详解】解：由流程图可得：； 故答案为：1． 3．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为我们发现第一次得到的结果为第次得到的结果为…，请你探索第次得到的结果为 ． 【答案】 【分析】把x＝48代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，求出第2018次的得到的结果即可． 【详解】解：把x＝48代入得：48×＝24， 把x＝24代入得：24×＝12， 把x＝12代入得：12×＝6， 把x＝6代入得：6×＝3， 把x＝3代入得：3＋5＝8， 把x＝8代入得：8×＝4， 把x＝4代入得：4×＝2， 把x＝2代入得：2×＝1， 把x＝1代入得：1＋5＝6， 以此类推， ∵（2018−2）÷6＝2016÷6＝336， ∴第2018次的得到的结果为：1， 故答案为：1． 4．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，则第次输出的结果为 . 【答案】 【分析】把x的值代入运算程序中计算，归纳总结得到一般性结论，即可确定出所求． 【详解】把x=10代入得第一次输出结果：10=5，把x=5代入得第二次输出结果：5+3=8，把x=8代入得第三次输出结果：8=4，把x=4代入得第四次输出结果：4=2，把x=2代入得第五次输出结果：2=1，把x=1代入得第六次输出结果：x+3=4，依此类推． ∵（2019﹣2）÷3=672…1，∴第2019次输出的结果为4． 故答案为4． 地 城 考点12 求一个数的近似数 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）2024年10月20日7时30分，2024长沙马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第四站）鸣枪开跑，赛事设置马拉松、半程马拉松和欢乐跑3个项目，满足不同水平跑者的需求．本次马拉松赛道全长，将精确到0.1的近似值是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数和有效数字，根据四舍五入法将题目中的数据精确到十分位即可． 【详解】解：将精确到0.1的近似值是， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）用四舍五入法求近似数2.513749（精确到百分位）的结果是 ． 【答案】2.51 【分析】本题考查求一个数的近似数．根据四舍五入法进行求解即可． 【详解】解：（精确到百分位）． 故答案为：2.51． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）把3.1415926精确到百分位的近似值为 ． 【答案】3.14 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．近似数是指与准确数相近的一个数，即经过四舍五入、进一法或者去尾法等方法得到的一个与原始数据相差不大的一个数，据此求解即可． 【详解】解：把3.1415926精确到百分位的近似值为3.14， 故答案为：3.14． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）10月20日，2024长沙马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第四站）在长沙鸣枪，小雅参加了半程马拉松（21.0975公里）．请用四舍五入法把21.0975精确到0.01，所得到的近似数为（   ） A．21.10 B．21.09 C．21.1 D．21.097 【答案】A 【分析】本题考查的是利用四舍五入的方法求解近似数，本题精确度到0.01，把千分位上的数按照四舍五入的方法处理即可得到答案． 【详解】解：把21.0975精确到0.01，所得到的近似数为21.10． 故选：A． 地 城 考点13 有理数中的新定义问题 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 2．（24-25七年级上·湖南·期中）规定符号“*”的意义：当时，；当时，．比如，．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)10 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据新定义，可以求得所求式子，再进行计算，本题得以解决； （2）根据新定义，可以求得所求式子，再进行计算，本题得以解决； （3）根据新定义，可以求得所求式子，再进行计算，本题得以解决． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是______填序号 ①； ②； ③对于任意正整数，都有； ④对于任意正整数，都有 (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式： 为正整数，，． 请利用推导公式计算：． 【答案】(1)， (2)④ (3) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）①分别计算和的结果进行比较即可；②按定义计算即可；③要考虑n为奇数和偶数的两种情况；④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正． （3）按照推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ， 故①错误； ， 故②错误； 当为奇数时，， 当为偶数时，， 故③错误； 对于任意正整数，为偶数，偶数个负数相除为正数， 故④正确． （3）解： ． 地 城 考点14 有理数中找规律问题 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，如二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，即． (1)将二进制数转换为十进制数． (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：；；（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数和的加法：．从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；，没有进位；，这里也需要进位，最终的结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来） (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算， ①计算：，（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数．（请把计算或探究过程写出来） 【详解】（1）解：； （2）解：从最低位开始相加，，这里需要进位； ，没有进位；，这里需要进位；，这里需要进位； ，这里也需要进位，∴最终的结果是； （3）解：①类比十进制的乘法运算，二进制的乘法运算法则为：；；；， ∴从最低位开始相加，； ；，这里需要进位；，需进位；，∴结果为； ②类比十进制的减法运算，二进制的减法运算法则为：；；；（同一数位不够减时，向高一位借1当2），∴从最低位开始相减，； ，需向高一位借1当2；；，需向高一位借1当2；；； ∴结果为；∴ 从最低位开始相加，，需进位；，需进位； ，需进位；，需进位；，需进位；，需进位； ，需进位；，需进位；；∴结果为， ∴． 2．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）阅读下面材料：小牛在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：称为数列：，其中为整数且．定义．例如，若数列，2，3，4，5，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，5，3，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出所有满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且．直接写出的最大值和最小值及对应的数列． 【答案】(1)9 (2)数列为：5，6，7，9；5，6，8，9；5，7，8，9； (3)的最大值为30，对应数列为：30，0，0，0，0或0，0，0，0，30；最小值为0，对应数列为：6，6，6，6，6． 【分析】（1）根据定义，代入数据即可求出结论； （2）由题意可得，、在5到9之间，再根据为4个互不相等的整数，求解即可； （3）由，然后进行分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：可看成3条线段的长度和， ， 、在5到9之间， 为4个互不相等的整数， 数列为：5，6，7，9；5，6，8，9；5，7，8，9； （3）解：数列中5个数均为非负数， ∴当时，取得最小值0； 当，或时， 取得最大值，且最大值为， 即， 的最大值为60，对应数列为：或；最小值为0，对应数列为：6，6，6，6，6． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：； 第②式：； 第③式：； 将这三个等式的两边相加,可以得到：； 读完这段材料,请你思考后回答： （1）______； （2）______（用含的式子表示）； 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：； 第②式：； 第③式：； 第④式：； 请你思考后解答下列问题： （1）______； （2）计算：； 【拓展应用】： 直接写出下式的结果：___． 【详解】解：【阅读材料一】（1）．故答案为：3080； （2）．故答案为：． 【阅读材料二】（1）；故答案为：2870； （2）．故答案为：； （3）∵， ∵，∴； 拓展应用：∵， ， ∴ ．故答案为：10100． 4．（23-24七年级·湖南长沙·期中）对于任意一个四位数，我们记为，即．若规定：对任意整数进行运算，得到整数．例如：． (1)计算； (2)求出所有满足的四位数． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：，，即，为非负整数， 或或或，满足的四位数有：或或或． 5．（24-257年级下·长沙·期中）探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （   ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3）请运用上述规律计算：． 【详解】解：〖规律探究〗（1），， （2），故答案为：；； 〖问题解决〗（3） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数及其运算 考点01 正负数的识别 考点08动点问题（压轴题） 考点02正负数的实际应用 考点09有理数在生活中的实际应用 考点03有理数的分类 考点10用科学记数法表示数（常考题） 考点04用数轴上的点表示有理数 考点11程序流程图与有理数的计算 考点05含乘方的有理数加减混合运算（必考题） 考点12求一个数的近似数 考点06绝对值的非负性 考点13有理数中新定义问题 考点07绝对值的几何意义（压轴题） 考点14有理数中找规律问题 地 城 考点01 正负数的识别 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）负数的引入是数学思想史上一个重要突破．中国古代最早引进正负数的概念，《九章算术》中的“正负术”是数学史上最早的正负数加减运算法则．如果水位上升5米记作米，那么水位下降4米记作 米． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）秋季运动会开幕式环节中，若前进10米记作米，则后退6米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（21-22七年级上·湖南长沙·期中）湘江属于长江流域洞庭湖水系，它是湖南省最大河流，若湘江的水位上升0.5米记为米，则米表示（   ） A．水位上升0.2米 B．水位下降0.2米 C．水位上升0.7米 D．水位下降米 4．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）低于正常水位0.16米记为﹣0.16，高于正常水位0.02米记作（　　） A．+0.02 B．﹣0.02 C．+0.18 D．﹣0.14 地 城 考点02 正负数的实际应用 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）巴黎奥运会乒乓球比赛包含男子和女子单打、男子和女子团体以及混双五个项目．最终中国队包揽全部五枚金牌，位列奖牌榜首位．国际乒联规定：正式乒乓球比赛中使用直径是40 ，质量是(单位：克)的白色或橙色乒乓球，则下列乒乓球质量不合格的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）如图，对4个足球的质量进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）国庆期间，小明在一超市购买了一种巧克力，在其包装上发现巧克力的质量标识为“克”，则下列不合格的是（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）“神舟十六号”航天员乘组在与“神舟十七号”航天员乘组完成在轨轮换任务后，瞄准10月31日返回东风着陆场，飞船上有一种零件尺寸标准是（单位：），则下列零件尺寸不合格的是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南·期中）下列说法正确的是（    ）地 城 考点03 有理数的分类 A．0既不是整数也不是分数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．不是所有有理数都可以在数轴上表示 D．绝对值等于本身的数是0和1 2．（24-25七年级上·湖南·期中）在下列数，，，0，，中，正有理数有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，如图阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数是（   ） A． B． C．0 D． 4．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）在，，，0，中，负数的个数有（    ） A．2个 B．4个 C．3个 D．5个 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）已知点A、B、C、D在数轴上分别对应下列各数：．地 城 考点04 用数轴上的点表示有理数 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）； (2)请用“＜”将它们连接起来． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）画出数轴并在数轴上表示出下列各数，将这些数用“<”号连接． 、、、、 4．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）将、、、3这些数在数轴上表示出来，并用“”将它们连接起来． 地 城 考点05 含乘方的有理数加减混合运算（必考题） 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与a 2．（18-19七年级上·湖南长沙·期中）计算：                     3．（21-22七年级上·湖南长沙·期中）计算 （1）(－27.8)+43.9                      （2） （3）                 （4） 4．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）计算题 （1）2﹣（﹣8）+（﹣7）﹣5； （2）3×（﹣2）+28÷7； （3）﹣42×|﹣|+8÷（﹣2）2； （4）﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]； （5） （﹣3）﹣（﹣2）﹣（﹣1）﹣（+1.75）； （6）（+﹣）×（﹣12）； 1．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）若，则的值是（    ）地 城 考点06 绝对值的非负性 A． B．1 C．2023 D． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．2024 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）如果有理数a，b满足，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）若，则代数式的值是 ． 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1地 城 考点07 绝对值的几何意义（压轴题） (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． (1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为_________． (2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，运动了后，点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点．设点运动时间为秒，为何值时到点的距离为2． (3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为_________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，求的最小值？并求出此时的取值范围． 3．（24-25七年级上·湖南·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)当时，的值为________； (2)当时，的值为________； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________，最小值是________． (4)请问代数式的最小值是多少？满足最小值时所有整数的和是多少？并说明理由． 4．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离. (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)求的最小值，并指出取最小值时的值. 1．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）对于数轴上的A、B、C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“至善点”．例如：若数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，则点B是点A、C的“至善点”．地 城 考点08 动点问题（必考题） （1）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数、0、1、6所对应的点分别为C1、C2、C3、C4，其中是点A、B的“至善点”的有　 　（填代号）； （2）已知点A表示数﹣1，点B表示数3，点M为数轴上一个动点： ①若点M在点A的左侧，且点M是点A、B的“至善点”，求此时点M表示的数m； ②若点M在点B的右侧，点M、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“至善点”，求出此时点M表示的数m． 2．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． （2）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是（A，B）的三倍点，不是（B，A）的三倍点．若A、B点表示的数分别为﹣1，3． ①若点C是（A，B）的三倍点，求点C表示的数； ②若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点． 3．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）已知在数轴上有、两点，点表示的数为，点在点的左边，且.若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，解决以下问题： (1)写出数轴上点所表示的数； (2)当秒时，写出数轴上点，所表示的数； (3)若点，分别从、两点同时出发，问运动多少秒后点与点相距个单位长度？ 4．（21-22七年级上·湖南长沙·期中）如图，数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的x的值． （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． （3）点A、B分别以2个单位长度/分，1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以2.5个单位长度/分的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停往返于点A与点B之间，当点A与点B重合时，A、B、P同时停止运动，求此过程中点P所经过的总路程是多少？ 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）某校为提高环保意识，实现资源的有效利用，举办了“矿泉水瓶回收”活动．各班收集的矿泉水瓶（容量均为550毫升）以500个为标准，超过的记为“＋”，不足的记为“－”，七年级六个班级的矿泉水瓶收集情况如下表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集的矿泉水瓶最少，且收集矿泉水瓶最多和最少的班级的数量差为40个．地 城 考点09 有理数在生活中的实际应用 班级 一 二 三 四 五 六 超过或不足 （单位：个） 0 (1)请你计算七年级六班同学收集矿泉水瓶的数量； (2)若本次活动收集矿泉水瓶数量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集矿泉水瓶的总数量； (3)若七年级六个班级将本次活动收集的矿泉水瓶集中卖出，3 000个以内（包括3 000个）的0.1元/个，超出3000个的部分0.15元/个，求矿泉水瓶卖出的总价格． 2．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）出租车司机小张某天下午的营运可以看作全是在东西走向的大道上行驶的，若规定向东为正，行车记录情况（单位，千米）如下：． (1)当把最后一名乘客送到目的地时，小张在出发地的哪个方向？距离为多少？ (2)小张的平均营运额为元/千米，成本为 元/千米，求这天下午小张盈利多少元． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）玩具厂要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表所示： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 … (1)这批毛绒玩具共多少件？ (2)用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系．y与x成什么比例关系？ 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ (2)求该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）2024年6月29日，长沙正式跻身特大城市行列，排在武汉后面，重庆前面．2023年底的数据显示，长沙的达到了万亿元人民币．这个数字可不得了，在湖南省内可是一枝独秀．将万亿用科学记数法表示为（   ）地 城 考点10 科学计数法（常考题） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）长沙近年来跻身“网红城市”，其实它更是全国首批历史文化名城，全国重点红色旅游城市，素有“革命摇篮”之称，长沙市文化旅游广电数据显示，2023年中秋、国庆双节长假首日接待游客约147000人次，与去年长假首日同比增长，将147000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在中国浙江杭州举行，亚运会主场馆为杭州奥体中心体育馆，又名“大莲花”．体育馆总建筑面积约为平方米，将数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）《年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，用“龘龘”之姿生动描摹亿中华儿女昂扬向上的精神风貌，将用科学记数法表示为 ． 地 城 考点11 程序流程图与有理数的计算 1．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）如图，是小明在编程课中设计的一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则输出的结果为 ． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）按如图所示的运算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ．    3．（20-21七年级上·湖南长沙·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为我们发现第一次得到的结果为第次得到的结果为…，请你探索第次得到的结果为 ． 4．（19-20七年级上·湖南长沙·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，则第次输出的结果为 . 地 城 考点12 求一个数的近似数 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）2024年10月20日7时30分，2024长沙马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第四站）鸣枪开跑，赛事设置马拉松、半程马拉松和欢乐跑3个项目，满足不同水平跑者的需求．本次马拉松赛道全长，将精确到0.1的近似值是 ． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）用四舍五入法求近似数2.513749（精确到百分位）的结果是 ． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）把3.1415926精确到百分位的近似值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）10月20日，2024长沙马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第四站）在长沙鸣枪，小雅参加了半程马拉松（21.0975公里）．请用四舍五入法把21.0975精确到0.01，所得到的近似数为（   ） A．21.10 B．21.09 C．21.1 D．21.097 地 城 考点13 有理数中的新定义问题 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 2．（24-25七年级上·湖南·期中）规定符号“*”的意义：当时，；当时，．比如，．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是______填序号 ①； ②； ③对于任意正整数，都有； ④对于任意正整数，都有 (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式： 为正整数，，． 请利用推导公式计算：． 地 城 考点14 有理数中找规律问题 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，如二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，即． (1)将二进制数转换为十进制数． (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：；；（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数和的加法：．从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；，没有进位；，这里也需要进位，最终的结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来） (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算， ①计算：，（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数．（请把计算或探究过程写出来） 2．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）阅读下面材料：小牛在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：称为数列：，其中为整数且．定义．例如，若数列，2，3，4，5，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，5，3，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出所有满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且．直接写出的最大值和最小值及对应的数列． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式： 第①式：； 第②式：； 第③式：； 将这三个等式的两边相加,可以得到：； 读完这段材料,请你思考后回答： （1）______； （2）______（用含的式子表示）； 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：； 第②式：； 第③式：； 第④式：； 请你思考后解答下列问题： （1）______； （2）计算：； 【拓展应用】： 直接写出下式的结果：___． 4．（23-24七年级·湖南长沙·期中）对于任意一个四位数，我们记为，即．若规定：对任意整数进行运算，得到整数．例如：． (1)计算； (2)求出所有满足的四位数． 5．（24-257年级下·长沙·期中）探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （   ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3）请运用上述规律计算：． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $