第6章 §1 1.1 条件概率的概念(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦随机事件的条件概率，系统梳理概念、公式（P(B|A)=P(AB)/P(A)）、性质（范围、互斥事件加法）及应用。前承随机事件概率基础，后启独立性等内容，通过问题链引入、集合角度释公式、性质归纳，结合奖券抽取等例题与训练，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活情境问题（如3张奖券抽取、5个粽子取馅）激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过公式的集合阐释和性质推导发展数学思维，分层例题与作业设计，课中助力教师引导深化理解，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

§1　随机事件的条件概率 1.1　条件概率的概念 学习任务 核心素养 1．了解条件概率的概念．(重点) 2．掌握求条件概率的两种方法．(重点、难点) 3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题． 1．通过对条件概率的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助求条件概率，培养数学运算素养． 1．3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3位同学不放回地抽取，那么第二位同学抽到中奖奖券的概率是多少？比第一位同学中奖的概率小吗？ 2．如果已知第一位同学未抽到中奖奖券，那么第二位同学抽到中奖奖券概率又是多少？ 3．上述两个问题有何不同？ 1．条件概率 (1)条件概率的定义 在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A)． (2)条件概率公式 当P(A)>0时，有P(B|A)＝． 1．如何从集合角度看条件概率公式？ [提示]　若事件A已发生，则为使事件B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB．由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间，因此，有P(B|A)＝． 2．条件概率的性质 (1)P(B|A)∈[0，1]． (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．P(B|A)与P(B)有何大小关系？ [提示]　P(B|A)≥P(B)． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)P(A|B)＝P(B|A)． (　　) (2)P(B|A)＝P(B)． (　　) (3)P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (　　) (4)对于古典概型，P(A|B)＝． (　　) [答案]　　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　) A．　 B． C． 　 D． B　[设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝．] 3．小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中2个红枣馅、3个豆沙馅，小明随机取出2个，记事件A为“取到的2个为同一种馅”，事件B为“取到的2个都是豆 沙馅”，则P(AB)＝________，P(B|A)＝________． 　[由题意知P(A)＝＝， P(AB)＝＝， P(B|A)＝＝＝．] 类型1　利用定义求条件概率 【例1】　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B． (1)分别求事件A，B，AB发生的概率； (2)求P(B|A)． [思路点拨]　可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝求概率． [解]　由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝，P(B)＝＝＝， P(AB)＝＝． (2)P(B|A)＝＝＝． 　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(AB)； (3)代入公式求P(B|A)＝． [跟进训练] 1．若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为________． 　[设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A， “取出的2件产品中另1件是一等品”为事件B， 则P(A)＝P(AB)＝． 所以在取出的1件不是一等品的条件下， 另1件是一等品的概率为P(B|A)＝＝＝．] 类型2　利用基本事件个数求条件概率 【例2】　【链接教材P185例1】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可利用古典概型的概率计算公式求解；第(3)问为条件概率，可以利用定义P(B|A)＝求解，也可以利用公式P(B|A)＝求解． [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB． (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝＝30，根据分步乘法计数原理n(A)＝＝20，于是P(A)＝＝＝． (2)因为n(AB)＝＝12，于是P(AB)＝＝＝． (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝． 法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝． 【教材原题·P185例1】 例1　在5道题中有3道选择题和2道填空题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第一次抽到选择题的概率； (2)第一次和第二次都抽到选择题的概率； (3)在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率． [解]　设事件A表示“第一次抽到选择题”，事件B表示“第二次抽到选择题”，则事件AB表示“第一次和第二次都抽到选择题”． (1)在从5道题中不放回地依次抽取2道题的试验中，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝＝20． 由分步乘法计数原理，得n(A)＝＝12． 于是P(A)＝＝＝． 故第一次抽到选择题的概率为． (2)因为n(AB)＝＝6，所以P(AB)＝＝＝． 故第一次和第二次都抽到选择题的概率为． (3)方法1　由(1)(2)可知P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝． 故在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率为． 方法2　由(1)(2)可知n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝＝＝． 故在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率为． 　如果随机试验属于古典概型，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数． [跟进训练] 2．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．现在要在班内任选一名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一组内的概率． [解]　把40名学生看成40个基本事件，其中第一小组所包含的基本事件个数为10个，第一小组的团员所包含的基本事件个数为4个． 记“班内任选一名学生是共青团员”为事件A． 记“任选一名团员代表在第一小组”为事件B． ∴n(A)＝15，n(AB)＝4，∴P(B|A)＝＝． 故这个团员代表恰好在第一组内的概率为． 类型3　条件概率的性质及应用 【例3】　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率． [解]　设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C， 则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝， P(C|A)＝＝＝， 所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝． 　1．应用概率加法公式的前提是事件互斥． 2．为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件的和，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率． [跟进训练] 3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率． [解]　设事件A为“周日值班”，事件B为“周五值班”，事件C为“周六值班”，则P(A)＝P(AB)＝P(AC)＝所以P(B|A)＝P(C|A)＝故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝． 1．从5名男生2名女生中任选3人参加学校组织的“奋进新征程”的演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[设男生甲被选中为事件A，男生乙和女生丙至少一人被选中为事件B， 由古典概型知识可知，P．] 2．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[P(AB)＝，P(A)＝， ∴P(B|A)＝＝＝．] 3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D．1 B　[因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是．] 4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 0.5　[根据条件概率公式知P＝＝0.5．] 5．抛掷红、蓝两个骰子，事件A＝“红骰子出现4点”，事件B＝“蓝骰子出现的点数是偶数”．求P(A|B)． [解]　∵P(B)＝，P(AB)＝． ∴P(A|B)＝＝＝． 1．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等． 2．在条件概率的定义中，要强调P(A)＞0． 当P(A)＝0时，P(B|A)＝0． 3．分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 课时分层作业(三十七)　条件概率的概念 一、选择题 1．已知事件A，B，若P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[因为P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝．] 2．将三颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则P(A|B)＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(AB)＝3×5×4＝60． ∴P(A|B)＝＝．] 3．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[甲不跑第一棒共有＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝．] 4．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 　 B．0.6 C．0.5 　 D．0.4 A　[令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8，故选A．] 5．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)． 记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}． 于是可知P(A)＝，P(AB)＝．问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝．] 二、填空题 6．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．则P(B|A)＝________． 　[∵P(A)＝＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝．] 7．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝______． 　[P(A)＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝．] 8．现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为________；在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是________． 　[设事件A1＝“第一次抽到A”，事件A2＝“第二次抽到A”． 第1空　法一：不放回地取两次的可能结果种数为52×51，事件A1A2包含的可能结果种数为4×3，所以P(A1A2)＝＝． 法二：不放回地取两次，可以看成一次取出两张牌，所以共有种可能结果，事件A1A2包含的可能结果为，所以P(A1A2)＝＝． 第2空　法一：因为P(A1)＝，所以P(A2|A1)＝＝＝． 法二：缩小样本空间，已知第一次抽到的是A，所以还剩下51张牌，其中有3张A，所以P(A2|A1)＝＝．] 三、解答题 9．一个袋子中，放有大小、形状相同的小球若干个．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个．从袋中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是． (1)求n的值； (2)从袋中任取两个小球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率． [解]　(1)由题意得：＝＝，解得n＝2． (2)记“其中一个标号是1”为事件A，“另一个标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝＝＝． 10．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄在区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． [解]　(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)． (2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，则 P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89． (3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式，得P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4． 11．东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与人文景观为一体的新型公园．现有甲、乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件A：甲和乙至少一人选择映翠湖，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[甲和乙至少一人选择映翠湖对应的基本事件有4×4－3×3＝7(个)， ∵甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有＝6(个)， ∴P(B|A)＝． 故选C．] 12．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[法一：设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”， 则P(A)＝，P(AB)＝＝， 则所求概率为P(B|A)＝＝＝． 法二：第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为＝．] 13．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝是可能的 C．0≤P(B|A)≤1 D．P(A|A)＝1 BCD　[由条件概率公式P(B|A)＝及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误； 当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确； C，D选项正确．] 14．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个． (1)选出球的最大号码为6的概率为________． (2)已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． (1)　(2)　[(1)令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}． 则P(B)＝＝． (2)法一：依题意知P(A)＝，P(AB)＝， ∴P(B|A)＝＝＝． 法二：依题意知n(A)＝＝84，n(AB)＝＝6， ∴P(B|A)＝＝＝．] 15．有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7．现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成钝角三角形的概率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[记事件A：取三条线段可以构成三角形，事件B：取三条线段构成钝角三角形． 则事件A包含的基本事件有：(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(2，6，7)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，5，7)，(3，6，7)，(4，5，6)，(4，5，7)，(4，6，7)，(5，6，7)，共13个； 事件AB包含的基本事件有：(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(2，6，7)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，5，7)，(3，6，7)，(4，5，7)，共9个． ∴P(A)＝．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $