第3章 §4 4.3 第2课时 空间中的距离问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学空间中的距离问题，系统梳理点到直线、点到平面的距离概念及公式，通过向量投影几何意义引入，构建“概念定义-公式推导-例题应用-分层训练”的学习支架，衔接空间向量与立体几何知识。 资料以正方体、直三棱柱等模型为载体，设置思考辨析、坐标法求解等环节，培养直观想象（空间图形观察）、数学运算（向量坐标运算）、逻辑推理（距离转化）素养。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后分层作业帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第2课时　空间中的距离问题 学习任务 核心素养 1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养． 1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影数量是什么？其几何意义是什么？ 2．如何利用在s上的投影数量求点A到直线l的距离？ 1．点到平面的距离 (1)定义：如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离． (2)求法：点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|，n0＝． 2．点到直线的距离 (1)定义：如图所示，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的距离． (2)求法：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，l0＝． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值． (　　) (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． (　　) (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A．　　　 B．　 C．　　　 D． D　[以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)． 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)， 则d＝＝．] 3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________． [答案]　5 4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________． 3　[建立如图所示的空间直角坐标系，连接A1E，BE，作EH⊥A1B于H，则A1(4，0，4)，B(4，4，0)，E(0，4，2)， ∴＝(－4，4，－2)， ＝(0，4，－4)， ∴||＝＝6， ||＝＝4， ∴||＝＝3， ∴||＝＝＝3．] 类型1　求点到平面的距离 【例1】　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离． [思路点拨]　建立坐标系，确定向量的坐标并找出平面A1BC的一个法向量n，代入d＝求解． [解]　如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)， ∴＝(－1，1，－)，＝(－1，0，－)，＝(1，－1，0)． 设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝1，得n＝(－，0，1)， 所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝． 　求点到平面的距离的四个步骤 [跟进训练] 1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A1到平面AD1C的距离． [解]　如图建立空间直角坐标系，则＝(0，0，1)， ＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)， 设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y，1)， 则 得则 ∴n＝(1，1，1)， ∴d＝＝＝． 类型2　求点到直线的距离 【例2】　【链接教材P139例15】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离． [思路点拨]　先求的坐标，再代入公式d＝计算． [解]　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)， G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)， 所以＝＝，||＝， 所以点D1到直线GF的距离 d＝＝＝． 【教材原题·P139例15】 例15　如图3－57，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离． 图3－57 [解]　依题意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)． 所以＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)， 在方向上的投影数量为＝ ． 所以点B到直线A′C的距离为d＝＝＝． 　用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点： (1)点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点； (2)直线l的方向向量可任意选取； (3)点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化． [跟进训练] 2．已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝，则P到AB的距离为(　　) A．　　　 B．　 C．　　　 D． A　[建立如图所示空间直角坐标系，则＝×(1，0，0)＋×(0，1，0)＋×(0，0，1)＝． 又∵＝(1，0，0)， ∴在上的投影数量为＝，∴点P到AB的距离为＝．] 类型3　求直线与平面的距离 【例3】　如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求直线A1B1与平面ABE的距离． [思路点拨]　因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解． [解]　如图所示，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)， 过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝， ∴B(1，2，0)， ∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)． 设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则由得 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)． ∵直线A1B1∥平面ABE， ∴直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离． ∵＝(0，0，2)，∴直线A1B1到平面ABE的距离为＝＝． 　求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡． [跟进训练] 3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD， PC的中点． (1)证明：DE∥平面PFB； (2)求点E到平面PFB的距离． [解]　(1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，∴＝． ∴∥平面PFB．又∵DE⊄平面PFB， ∴DE∥平面PFB． (2)∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即 取x＝2，得n＝(2，－1，1)， 又＝(－1，0，0)，∴D到平面PFB的距离为d＝＝＝． 1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为(　　) A．　 　 B．　 　 C．　 　 D． A　[＝(－2，0，－1)，||＝＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝．] 2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，O，所以＝(1，0，1)，＝， 由题意知为平面ABC1D1的法向量， ∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝．] 3．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________． 　[如图所示建立空间直角坐标系， 则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)， 所以＝(－4，6，0)，＝(0，6，－3)，＝(0，6，0)， 设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由得取x＝1得，n＝．所以d＝＝．] 4．(源自人教A版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． [解]　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，所以 ＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝， ＝＝＝． (1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝． 所以，点B到直线AC1的距离为＝＝． (2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 所以 所以 取z＝1，则x＝1，y＝2． 所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量． 又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝． 即直线FC到平面AEC1的距离为． 空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离． 异面直线间的距离 设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？ 图(1) 如图(1)，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可． 如何求这两个平行平面的法向量呢？ 设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可． 图(2) 如图(2)，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝． 课时分层作业(二十八)　空间中的距离问题 一、选择题 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是(　　) A．a　　 B．a　 C．a　　 D． A　[如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，||＝a，＝(－a，0，a)，||＝a． ∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a．] 2．如图，已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为(　　) A．a　　　 　 B．a C．a 　 D．a A　[∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则 d＝＝ ＝＝ ＝a．] 3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1-EFD1的体积V等于(　　) A． 　 B． C． 　 D．16 C　[以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，0)，F(，2，0)， ∴＝(2，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)， ∴cos〈〉＝＝＝，∴sin 〈〉＝， ∴＝||·||·sin 〈〉＝ ×＝5，又∵平面D1EF的法向量为n＝，∴点B1到平面D1EF的距离d＝＝， ∴＝·d＝×5×＝．] 4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　) A．5　　　 　 B．　　　 C．4　　　 　 D．2 A　[由已知得，＝(0，4，－3)，＝(4，－5，0)， ||＝＝5， ||＝＝， ∴＝＝－4， ∴点B到AC的距离，即AC边上的高BD＝＝＝5．] 5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A．a　 　 B．a C．a　 　 D．a D　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)， 由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)， 则两平面间的距离d＝||＝＝a．] 二、填空题 6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________． 　[建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝， ＝(0，0，1)，所以在上的投影数量为＝＝－， 所以点C1到直线EC的距离d＝＝＝．] 7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________． 　[设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0， ∴ 取z＝－2，则n＝(3，2，－2)． 又＝(－7，－7，7)， ∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝．] 8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________． 　[如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)， A1(2，0，2)，D(0，0，0)， B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)， 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．] 三、解答题 9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离． [解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)， B(1，1，0)，E， ∴＝(1，1，0)， ＝， ∴＝＝， ∴点E到直线BD的距离为d＝＝＝． 10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离． [解]　以A为坐标原点，取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)． ∴＝＝(0，1，0)． 设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)． 则即 取z＝2，得n＝(1，0，2)．又＝， ∴点F到平面A1D1E的距离d＝＝＝． 11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是(　　) A．a 　 B．a C．a 　 D．a A　[设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，故当m＝－＝时，d取最小值a．] 12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为(　　) A． 　 B． C． 　 D． B　[如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则B(3，0，0)，D(0，4，0)， P(0，0，2)，Q(0，0，1)， ＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1)． 设平面BQD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝4，则y＝3，z＝12， ∴n＝(4，3，12)． ∴点P到平面BQD的距离d＝＝．] 13．(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是(　　) A．AC1与EF相交 B．B1C1∥平面DEF C．EF与AC1所成的角为90° D．点B1到平面DEF的距离为 BCD　[对于选项A，由题图知AC1⊂平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E∉AC1． 由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误； 对于选项B，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC． ∵D，F分别是AC，AB的中点， ∴FD∥BC，∴B1C1∥FD． 又∵B1C1⊄平面DEF，DF⊂平面DEF， ∴B1C1∥平面DEF．故B正确； 对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)， B1(0，2，2)，C1(0，0，2)， D(1，0，0)，E(2，0，1)， F(1，1，0)． ∴＝(－1，1，－1)， ＝(－2，0，2)． ∵＝2＋0－2＝0，∴⊥， ∴EF与AC1所成的角为90°．故C正确； 对于选项D，设向量n＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量． ∵＝(1，0，1)，＝(0，1，0)， ∴由即得 取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)， 设点B1到平面DEF的距离为d． 又∵＝(－1，2，2)， ∴d＝＝＝， ∴点B1到平面DEF的距离为，故D正确．] 14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则 (1)点B1到平面ABC1的距离为________； (2)点C到平面ABC1的距离为________． (1)　(2)　[(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)． 设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)， 则有 解得n＝，则所求距离为＝＝． 法二：连接AB1(图略)，＝＝AB＝． 设点B1到平面ABC1的距离为h，则＝＝AB×＝，所以h＝． (2)连接B1C与BC1相交于点D(图略)，则D为B1C的中点， 所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等． 所以点C到平面ABC1的距离为．] 15．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点． (1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tan β＝tan α； (2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高． [解]　设正四棱柱的高为h． (1)证明：连AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1， ∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成的角， ∴∠AB1A1＝α． ∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A-B1D1-A1的一个平面角，∴∠AO1A1＝β． 在Rt△AB1A1中，tan α＝＝h； 在Rt△AO1A1中，tan β＝＝h． ∴tan β＝tan α． (2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)， 则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)． 设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w)． ∵n⊥，n⊥， ∴n·＝0，n·＝0． 由 得u＝hw，v＝hw， ∴n＝(hw，hw，w)．取w＝1，得n＝(h，h，1)． 由点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝，解得高h＝2． §5　数学探究活动(一)：正方体截面探究(略) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $