课时分层作业13 双曲线及其标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(十三) 1．A 2．B　[由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．] 3．D　[设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1<c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D．] 4．B　[因为双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，故1＋＝9，所以k＝，故选B．] 5．A　[若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0， ∴k<－3或k>3，故“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．] 6．　[由题意知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝．] 7．16　[由双曲线方程得，2a＝8． 由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，① |QF2|－|QF1|＝2a＝8，② ①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16， 所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16．] 8．－8　[将x2－y2＝16化为标准形式为＝1，所以a2＝16，2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8．] 9．解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)． 由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上， 所以 故所求双曲线的标准方程为＝1． (2)椭圆＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)． 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则 故所求双曲线的标准方程为＝1． 10．解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径均为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4． 则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1， ∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1． (2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值． 又|MF|＝＝2， ∴||MP|－|FP||的最大值为2． 11．B　[在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2， 则|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝8．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，则4＋|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4．] 12．BCD　[对于A，当方程＝1表示圆时，16＋k＝k－9>0，无解，故A错误： 对于B，当k>9时，＝1，16＋k>k－9，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确： 对于C，当－16<k<9时，＝1，16＋k>0，9－k>0，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确： 对于D，当方程＝1表示双曲线时，c2＝16＋k＋9－k＝25：当方程＝1表示椭圆时，c2＝16＋k－(k－9)＝25，所以焦距均为10，故D正确．故选BCD．] 13．ACD　[由双曲线E：＝1， 知a＝4，b＝3，c＝5， 对于A，设P(m，n)，m>0，n>0， 由已知得|F1F2|n＝cn＝5n＝20， 即n＝4，由＝1，可得m＝，故A正确： 对于B，由P，F2(5，0)， 可得>0，则∠PF2F1为钝角， 所以△PF1F2为钝角三角形，故B错误： 对于C，利用两点之间的距离， 可知|PF1|＝， |PF2|＝， 则△PF1F2的周长为，故C正确： 对于D，设△PF1F2的内心为I， 连接IP，IF1，IF2(图略)，内切圆半径为r， 利用等面积法可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝20，可得r＝40，解得r＝，故D正确．故选ACD．] 14．－2　　[设双曲线的另一焦点为F'，则有F'(－2，0)，F(2，0)，连接AF'(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF'|－2)≥|AF'|－2＝－2：|PB|＋|PF|≥|BF|＝．] 15．解：(1)如图所示，设PF1，PF2，F1F2分别与圆I相切于点A，B，C， 则|PA|＝|PB|，|AF1|＝|CF1|， |BF2|＝|CF2|． 由双曲线的定义， 可得|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|＝|CF1|－|CF2|＝2． 设点I的横坐标为t，则点C(t，0)， 所以|CF1|－|CF2|＝(t＋2)－(2－t)＝2t＝2， 解得t＝1，所以点I的横坐标为1． (2)设圆I的半径为r， 由， 得r·|PF1|＝r·|PF2|＋λr·|F1F2|， 所以|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|， 即4λ＝2，解得λ＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十三)　双曲线及其标准方程 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分 一、选择题 1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3　　 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 2．椭圆＝1和双曲线＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5　 　 　 B．±3　 　 　 C．5　 　 　 D．9 3．双曲线＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　) A．1或21 　 B．14或36　　 C．2　　　　 　 D．21 4．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，则实数k＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 5．若k∈R，则“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．双曲线＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________． 7．已知F1，F2是双曲线＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________． 8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________． 三、解答题 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)与椭圆＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4． 10．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求C的圆心轨迹L的方程； (2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值． 11．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2　　　　 B．4　　 C．6　　　　 D．8 12．(多选题)已知方程＝1(k∈R)，则下列说法中正确的有(　　) A．方程＝1可表示圆 B．当k>9时，方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆 C．当－16<k<9时，方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线 D．当方程＝1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 13．(多选题)已知点P是双曲线E：＝1的右支上在x轴上方的一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A．点P的横坐标为 B．△PF1F2为锐角三角形 C．△PF1F2的周长为 D．△PF1F2的内切圆半径为 14．设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________． 15．如图所示，已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PF1F2的内切圆的圆心为I． (1)求点I的横坐标； (2)若△PIF1，△PIF2，△F1IF2的面积满足＝，求λ的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $