4.2 第1课时 排列与排列数公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦排列的概念、排列数公式及应用，通过概念辨析例题引入，借助树形图法列举简单排列，逐步过渡到排列数公式的计算、方程与不等式求解，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于用树形图直观呈现排列过程，培养学生几何直观与抽象能力（数学眼光），结合分层练习（A、B、C组）和逻辑推理训练（如方程求解）提升运算能力与推理意识（数学思维）。教师可利用清晰例题解析与分层设计提高效率，学生能深化对排列本质的理解，发展应用意识。

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第4章 计数原理 4.2　排列 第1课时　排列与排列数公式 第1课时　排列与排列数公式 学习任务 核心素养 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点) 1．通过学习排列的概念及排列数公式，培养数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，提升数学运算的素养． 第1课时　排列与排列数公式 在数学竞赛颁奖仪式上，辅导老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念．师生三人站成一排． (1)辅导老师在正中间时，甲在左边和乙在左边是相同的排法吗？ (2)三人任意排列有多少种可能的排法？ 必备知识·情境导学探新知 第1课时　排列与排列数公式 知识点1　排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素，按照__________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点2　相同排列的两个条件 ①两个排列的____完全相同． ②元素的排列____相同． 一定的顺序 元素 顺序 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 思考　1．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？ [提示]　关键是在安排取出的元素时是有序还是无序，有序是排列，否则不是． 思考　2．由实数组成的排列与数列一样吗？ [提示]　不一样．由实数组成的排列中元素不能重复，而数列中的各项可以重复． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 体验　1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． (　　) (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题． (　　) (3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题． (　　) (4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题． (　　) (5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题． (　　) × √ × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 [提示]　(1)因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同． (2)因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题． (3)因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 知识点3　排列与排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素，所有________的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 全排列 从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n个元素的一个全排列，此时＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1 不同排列 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n！表示 排列 数公式 乘积式 ＝_____________________________________ 阶乘式 ＝ 性质 ＝____，0！＝_ 备注 n，m∈N＋，mn n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1) n！ 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 思考　3．排列与排列数有何区别？ [提示]　“一个排列”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(mn)个不同的元素的所有不同排列的个数，是一个数，所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 体验　＝________．(用数字表示) (2)1×2×3×4×5×6×7×8＝________．(用排列数表示) (1)120　＝5×4×3×2＝120． (2)最大的数为8，共8个因式，所以可表示为．] 120 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 类型1　排列的概念 【例1】　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互写信． 关键能力·合作探究释疑难 第1课时　排列与排列数公式 [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 [解]　(1)票价只有三种，虽然往返机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题． 反思领悟　1．解决本题的关键有两点：一是“取出的元素不重复”，二是“与顺序有关”． 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 [跟进训练] 1．判断下列问题是不是排列问题． (1)从2，3，5，7，9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？ (2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？ (3)若从某班学生中选出5名男生和5名女生后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 [解]　(1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题． (2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题． (3)选出的5名男生与5名女生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题． 综上所述，(1)属于排列问题． 类型2　写出简单问题的所有排列 【例2】　(1)从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数，则可组成不同的两位数有(　　) A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 (2)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 (1)B　[用树形图表示为： 由此可知共有12个．] (2)[解]　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理知，有4×3×2×1＝24(种)． 画出树形图． 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC， ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC， BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB， CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA． [母题探究] 1．(变条件)在本例(2)中，若在条件中再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？ [解]　画出树形图： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法． 2．(变条件)在本例(2)中，若在条件中再增加一条“A不坐两头”，则结论如何？ [解]　画出树形图： 由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 3．(变条件)在本例(2)中，若在条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？ [解]　画出树形图： 由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA，共12种． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 反思领悟　利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按“树形图”写出排列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 [跟进训练] 2．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有(　　) A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 B　[本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为： 由此可知共有12个．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 3．A，B，C，D四个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？将它们列出来． [解]　先确定起点，有4种方法，再确定终点，有3种方法．由分步乘法计数原理知，共需要4×3＝12种不同的机票．列举如下： 起点站 终点站　飞机票 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 类型3　排列数公式的应用 角度1　排列数的计算与证明 【例3】　(1)计算； (2)证明：＝(kmn，k，m，n∈N＋)． [解]　(1)原式＝＝． (2)证明：右边＝＝＝左边， ∴原等式成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 角度2　与排列数相关的方程或不等式 【例4】　(1)解方程：； (2)解不等式：． [解]　(1)由，得， 即， 化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13． ∵0<x8且0<x－19，x∈N，∴原方程的解为x＝6． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 (2)原不等式可化为>， 即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0， ∴x<8或x>13． 又易得2<x9，x∈N， ∴2<x<8，x∈N． 故x＝3，4，5，6，7． 反思领悟　1．排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 2．解含排列数的方程或不等式的注意点 计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量中隐含了如下条件：m，n∈N＋，m的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 [跟进训练] 4．(1)计算； (2)证明：＝＝． [解]　(1)法一：． 法二：． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 (2)证明：∵＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， ＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2， ∴＝． 又＝(n＋1)·n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1 ＝(n＋1)！＝， ∴＝＝． 1．已知下列问题： ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组； ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动； ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母； ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数． 其中是排列问题的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 学习效果·课堂评估夯基础 √ 第1课时　排列与排列数公式 B　[①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．] 2．4×5×6×…×(n－1)×n＝(　　) A． B． C．n！－4！ D． √ D　[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为 (　　) A．6 B．4 C．8 D．10 √ B　[列树形图如下： ，共4种．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 ＝________． 120　[原式＝－＋＝＝5×4×3×2×1＝120．] 120 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 >2的解集为_______________． {n|n>4且n∈N＋}　[>2得⇒n>4且n∈N＋， 所以n>4且n∈N＋}．] {n|n>4且n∈N＋} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)你能写出排列数公式吗？ [提示]　＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)， (m，n∈N＋，且mn)． (2)排列与排列数是一回事吗？ [提示]　不是一回事．一个排列是完成一件事的一种方法，排列数是指所有排列的个数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 (3)怎样灵活选择两个排列数公式？ [提示]　＝n(n－1)·…·(n－m＋1)适用于m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式． 适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) 课时分层作业(三十六)　排列与排列数公式 C　[＝．] 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．计算＝(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 C　[， 所以原式＝＝36．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 43 3．若，则n＝(　　) A．1 B．8 C．9 D．10 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[∵，∴2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)， 化简得4n－2＝5n－10，则n＝8．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 44 √ 4．(多选题)满足－n<7的n的可能取值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BC　[由－n<7得(n－1)(n－2)－n<7，所以n2－4n－5<0， 即－1<n<5．又因为n∈N＋且n－1≥2， 所以n可以取值3，4．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 45 √ 5．(多选题)下列各式中，等于n！的是(　　) A．　 B． C． D．·(n＋1)! 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ACD　[＝n！＝(n＋1)！， ＝n(n－1)！＝n！，(n＋1)！＝·(n＋1)·n！＝n！．故选ACD．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 46 二、填空题 6．＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 47 7．如果＝15×14×13×12×11×10，那么n＝______，m＝______． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15　6　[] 15 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 48 8．满足不等式>12的n的最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10　[由排列数公式得>12，所以(n－5)(n－6)>12，即n2－11n＋18>0，解得n>9或n<2，又n≥7，所以n>9，又n∈N＋，所以n的最小值为10．] 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 49 三、解答题 9．A、B、C、D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　假设A、B、C、D四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 50 换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种换位方法． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 10．(1)解不等式； (2)证明：－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由，得<6×， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12， ① 又∴2<x8， ② 由①②及x∈N＋得x＝8． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 52 (2)证明：－，所以－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 √ 11．若S＝＋＋＋…＋，则S的个位数字是(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[∵＝120，∴n≥5时的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33． 故S的个位数字为3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 54 12．(多选题)下列等式正确的是(　　) A．＝ B．＝(n－2)! ＝n×n D．＝ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 55 ABD　[∵＝(n＋1)·n·(n－1)·…·(n－m＋1)， ＝(n＋1)·n·(n－1)·…·(n－m＋1)， ∴＝，故A成立． ＝(n－2)！，故B成立． ＝n！≠n×n，故C不成立． ∵·n(n－1)(n－2)·…·(n－m)＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝，故D成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 13．已知＝89，则n的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15　[根据题意，＝89，则＝90，变形可得，则有， 变形可得(n－5)(n－6)＝90， 解得n＝15或n＝－4(舍)，故n＝15．] 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 57 14．已知自然数n满足，则n＝________，＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4　4　[由得3(n＋1)n(n－1)＝2(n＋2)(n＋1)＋6(n＋1)n， 整理得3n2－11n－4＝0，由于n∈N＋，所以n＝4，＝4．] 4 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 58 15．探讨与的关系，并计算． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　＝(n＋1)！＝n！， ∵＝(n＋1)·n！＝， ∴＋， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 59 即＝－， ∴ ＝(－＋(－－)＋…＋(－ ) ＝－＝9！－1＝362 879． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　排列与排列数公式 $