章末综合测评3 圆锥曲线与方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

章末综合测评(三) 1．B　[抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的一条渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B．] 2．C　[设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)． 依题意得，2a＝10，∴a＝5，又c＝3， ∴b2＝a2－c2＝16，即b＝4， 因此椭圆的短轴长是2b＝8，故选C．] 3．B　[设P(x，y)，Q(x，－y)，则·＝(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2，故选B．] 4．B　[由椭圆C：＝1(a>0)的长轴长为4，可知焦点在x轴上，即2a＝4，a＝2． ∴椭圆的标准方程为＝1，a＝2，b＝，c＝＝， 椭圆的离心率为e＝＝，故选B．] 5．A　[当m>3时，m－2>0，mx2－(m－2)y2＝1⇒＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m(m－2)>0⇒m>2或m<0．故“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的充分而不必要条件．故选A．] 6．C　[∵y2＝4x，∴焦点F (1，0)，准线l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，将其与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3，2)，∴|AK|＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4．故选C．] 7．D　[由图形的对称性及题设条件得AF⊥x轴，且c＝，则p＝2c．不妨设交点A，代入y2＝2px可得y1＝p，故A，代入双曲线方程可得＝1，即e2－1＝，即e2－1＝，由此可得(e2－1)2＝4e2，即e2－1＝2e，所以e＝＋1(负值舍去)．故选D．] 8．C　[直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0) 联立方程得(3a2＋b2)x2＝a2b2，设A(x0，y0)， ∴B(－x0，－y0)，右焦点F (c，0)，由·＝0代入坐标得c2＝，整理得c4－8a2c2＋4a4＝0， ∴e4－8e2＋4＝0，∴e＝－1(e＝＋1舍去)．故选C．] 9．BD　[若方程＝1表示椭圆，则满足解得1<t<3或3<t<5． 对于A，当t＝3时，此时方程为x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确； 对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，当t＝0时，方程＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确； 若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3<t<5，所以D正确． 故选BD．] 10．ABD　[依题意得，|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a． 又∵|F1F2|＝2c，且a<c， ∴在△PF1F2中，PF2是最小的边， ∴∠PF1F2＝30°， ∴4a2＝4c2＋16a2－2×2c×4a×， 整理得c2－2ac＋3a2＝0，即(c－a)2＝0， ∴c＝a， ∴|F1F2|＝2c＝2a，b＝＝a． ∴双曲线的离心率e＝＝＝，A正确． 双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，B正确． 根据前面的分析可知，△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1＝90°， 若∠PAF2＝45°，则|PF2|＝|AF2|． 又知|PF2|＝2a， |AF2|＝a＋c＝a＋a＝(1＋)a≠|PF2|， ∴∠PAF2≠45°，C不正确． 直线x＋2y－2＝0，即y＝－x＋1， 其斜率为－，－∈[－]， ∴直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD．] 11．AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)． 对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A选项正确． 对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2， 联立方程得 消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3．由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B选项错误． 对于C，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确． 对于D，由两点间距离公式可得|OM|＝，|ON|＝，又|MN|＝，故D选项错误．综上，故选AC．] 12．x2＋(y－2)2＝16　[由题意知，抛物线x2＝8y的焦点(0，2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝16．] 13．　[如图，设右焦点为F′，连接MF′，NF′， 因为△FMN的周长|MF|＋|NF|＋|MN|＝2a－|MF′|＋2a－|NF′|＋|MN|＝4a＋|MN|－|MF′|－|NF′|，且|MN||MF′|＋|NF′|，当M，N，F′三点共线，即m＝1时，等号成立，所以当△FMN的周长最大时，|MN|＝＝，所以△FMN的面积S＝×2＝．] 14．－1　2　[如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA，OB是双曲线的渐近线，则△AOF2是正三角形，∴直线OA的倾斜角为，∴其斜率k＝＝，∴双曲线的离心率e1＝＝＝2；连接F1A，∵正六边形的边长为c，∴|F1A|＝c．由椭圆的定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e2＝＝＝－1．] 15．解：　依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)， ∵点P在抛物线上， ∴6＝2p×． ∴p＝2， ∴所求抛物线的方程为y2＝4x． ∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上， ∴c＝1，即a2＋b2＝1， 又点P在双曲线上，∴＝1， 解方程组 得或(舍去)． ∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1． 16．解：　(1)|PF1|·|PF2|＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为100． ＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝， ∴|PF1|·|PF2|＝， ① 由题意知： ∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2． ② 由①②得c＝6，∴b＝8． 17．证明：　(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y， 得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8， 直线AO的方程为y＝x， BD的方程为x＝x2， 则交点D的坐标为． 又x1x2＝＝4y1， 则有＝＝＝－2， 即D点在定直线y＝－2上(x≠0)． (2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0． 设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0， 化简整理，得b＝－a2，故切线l的方程为y＝ax－a2． 分别令y＝2，y＝－2， 得N1，N2， 则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8， 即|MN2|2－|MN1|2为定值8． 18．解：　(1)由题意得，＝， 则3[(x－1)2＋y2]＝(x－3)2， 即2x2＋3y2＝6，∴＝1， 故曲线C的方程为＝1． (2)由题意知直线l2的斜率不为0，设直线l2的方程为x＝my＋1，P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x， 得(2m2＋3)y2＋4my－4＝0． 则y1＋y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝＋2＝， ∴x0＝x1＋x2＝，y0＝y1＋y2＝． ∵P(x0，y0)在椭圆＝1上， ∴＝1，解得m＝±． ∴直线l2的方程为x＝y＋1或x＝－y＋1，即x－y－＝0或x＋y－＝0． 19．解：　(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1， ∵A在椭圆C上， ∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＝2， ∴a＝，b2＝a2－c2＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)， 由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0， ∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0， 故y0＝＝且－3＜t＜3， 由＝，知四边形PMQN为平行四边形， 而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点， ∴y0＝＝，得y4＝，又－3＜t＜3，可得－＜y4＜－1， ∴点Q不在椭圆上， 故不存在满足题意的直线l． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评(三)　圆锥曲线与方程 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　) A．　　　 B．　　　 C．1 　　　D． 2．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，点P为椭圆C上一点，且|PF1|＋|PF2|＝10，那么椭圆C的短轴长是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 3．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2－y2＝2 C．x＋y2＝2 D．x－y2＝2 4．椭圆C：＝1(a>0)的长轴长为4，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 5．“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　) A．4 B．3 C．4 D．8 7．已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的一个焦点F与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点相同，C1与C2交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为(　　) A． B． C．2 D．＋1 8．直线y＝－x与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C．－1 D．4－2 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9．若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　) A．若1<t<5，则C为椭圆 B．若t<1，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距为4 D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<5 10．已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则(　　) A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为y＝±x C．∠PAF2＝45° D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点 11．设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．过直线y＝2与抛物线x2＝8y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 13．椭圆＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是________． 14．已知椭圆M：＝1(a＞b＞0)，双曲线N：＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程． 16．(本小题满分15分)已知F1，F2分别为椭圆＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值． 17．(本小题满分15分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点 M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点 D(O为坐标原点)． (1)证明：动点D在定直线上； (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2．证明：－|MN1|2为定值，并求此定值． 18．(本小题满分17分)设M(x，y)与定点F (1，0)的距离和它到直线l1：x＝3的距离的比是常数．记点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过定点F的直线l2交曲线C于A，B两点，以O，A，B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l2的方程． 19．(本小题满分17分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $