3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点) 2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点) 通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养． 已知椭圆C的方程为＋y2＝1，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称； (3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标． 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a>b>0) 范围 －axa且－byb －bxb且－aya 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) (1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？ (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？ [提示]　(1)e越大(接近于1)，椭圆越扁，e越小(接近于0)，椭圆越圆． (2)最大值a＋c，最小值a－c． (1)经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(　　) A．＝1　　　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 (2)已知椭圆＝1，则椭圆的离心率e＝_____． (1)A　(2)　[(1)由题易知点P(3，0)，Q(0，2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＝1． (2)由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7， 从而e＝＝．] 类型1　由椭圆方程研究其几何性质 【例1】　(1)椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　) A．相同的焦点　　　　　 B．相同的顶点 C．相同的离心率 D．相同的长、短轴 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． (1)C　[在两个方程的比较中，端点a、b取值均不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．] (2)[解]　椭圆方程可化为＝1． ①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m>4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)． 　根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c． (4)写出椭圆的几何性质． [跟进训练] 1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． [解]　(1)由椭圆C1：＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝． (2)椭圆C2：＝1． 几何性质如下： ①范围：－8x8，－10y10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12． 类型2　由椭圆的几何性质求其标准方程 【例2】　【链接教材P124例4】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率． [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3． ∴椭圆的方程为＝1． 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27． ∴椭圆的方程为＝1． ∴所求椭圆的方程为＝1或＝1． (2)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4， ∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为＝1． (3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＝1或＝1． 将点M(1，2)代入椭圆方程得 ＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3． 故所求椭圆的方程为＝1或＝1． 法二：设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1． 【教材原题·P124例4】 例4　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为18，离心率为； (2)经过点P(2，2)，Q(－3，－1)，焦点在x轴上． [解]　(1)因为2a＝18，e＝＝， 所以a＝9，c＝3． 于是b2＝a2－c2＝81－9＝72． 椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，因此，所求的椭圆标准方程为 ＝1或＝1． (2)设椭圆方程具有标准形式＝1．将P，Q两点的坐标代入得 ＝1， ① ＝1． ② 将看作未知数，则上述两个式子组成二元一次方程组． ②×4－①得＝3，即a2＝． ＝＝＝，即b2＝． 因此，所求的椭圆标准方程为＝1． 　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 提醒：与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)． [跟进训练] 2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为________． (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________． (1)＝1　(2)＝1或＝1　[(1)由题意，得解得 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＝1． (2)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的标准方程是＝1或＝1．] 类型3　求椭圆的离心率 【例3】　(1)设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知P为椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 离心率e＝＝，因此建立a，b，c中两个量之间的关系式就可以求离心率或其范围，由此思考根据条件如何建立关系式． (1)B　(2)D　[(1)法一：由题意知，|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以|PF1|＝a，|PF2|＝a， 又|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2， ∴(2c)2＋＝， ∴＝，即e＝＝． 法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． (2)由题意知 解得由|PF1|＝aa＋c得e≥，又0<e<1，∴e<1，故选D．] 　1．求椭圆的离心率的常见思路 一是先求a，c，再计算e；二是依据条件，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解；三是注意e＝，可以利用a，b直接求e，注意e的范围：0<e<1． 2．注意特殊线段在解题中的应用 在求离心率的过程中，常用到一些特殊线段、特殊值，如过F1(－c，0)垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝，A等，解题中要善于总结，应用． [跟进训练] 3．(1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　) A．1－ B．2－ C． D．－1 (2)已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________． (1)D　(2)　[(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c， 则|PF2|＝c，|PF1|＝c， 又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴c＋c＝2a， ∴e＝＝＝－1，故选D． (2)由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形， 所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以ac， 因为e＝，0<e<1，所以e<1．] 1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F (1，0)，离心率为，则C的方程是(　　) A．＝1　　　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＋y2＝1 C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上， 且c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3， 因此椭圆的方程是＝1．] 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　) A．(－1，0)，(1，0) B．(0，－1)，(0，1) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) D　[椭圆方程可化为x2＋＝1，焦点在y轴上，长轴端点的坐标为(0，±)．] 3．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． A　[由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．] 4．与椭圆＝1有相同的离心率且长轴长与＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________． ＝1或＝1　[椭圆＝1的离心率为e＝，椭圆＝1的长轴长为4． 所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6． 又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＝1或＝1．] 5．若焦点在y轴上的椭圆＝1的离心率为，则m的值为________． 　[由题意知0<m<2，且e2＝1－＝1－＝． 所以m＝．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤． [提示]　①化标准，把椭圆方程化成标准形式； ②定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置； ③求参数，写出a，b的值，并求出c的值； ④写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质． (2)试总结根据椭圆的几何性质，求其标准方程的思路． [提示]　已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为： ①确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式； ②确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c； ③写出标准方程． (3)试总结求椭圆离心率的方法． [提示]　①若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解； ②若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝求解； ③若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解． 课时分层作业(二十五)　椭圆的简单几何性质 一、选择题 1．椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为(　　) A．2，　　B．，2　　C．4，2　　D．2，4 C　[把3x2＋4y2＝12化成标准形式为＝1，得a2＝4，b2＝3，则长轴长为4，短轴长为2．] 2．已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． C　[∵a2＝4＋22＝8， ∴a＝2， ∴e＝＝＝．] 3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 D　[由＝1可知， 所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确； 再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．] 4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 A　[依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4．又因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为＝1．] 5．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． A　[以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2， 所以C的离心率e＝＝．] 二、填空题 6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 　[依题意，得b＝3，a－c＝1． 又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4， ∴椭圆的离心率为e＝＝．] 7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝________． 4　[将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1， 所以长轴长为2，短轴长为2， 由题意得2＝2×2，解得m＝4．] 8．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆E：＝1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是________． 　[由题意知2b＝2c，即b＝c， ∴a2＝b2＋c2＝2c2， ∴＝， ∴e＝．] 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，|AB|＝8，|BC|＝6，以A，B为焦点的椭圆经过点C，求椭圆的标准方程． [解]　根据题意，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， |AB|＝8且AB的中点为O，则A的坐标为(－4，0)，B的坐标为(4，0)，即椭圆中c＝4，则a2－b2＝16． 又由|BC|＝6，故C的坐标为(4，6)，椭圆经过点C，则有＝1， 解得a2＝64，b2＝48，故椭圆的标准方程为＝1． 10．(1)求与椭圆＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． [解]　(1)∵c＝＝， ∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)． 设所求椭圆的方程为＝1(a>b>0)． ∵e＝＝，c＝， ∴a＝5，b2＝a2－c2＝20， ∴所求椭圆的标准方程为＝1． (2)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＝1(a>b>0)， ∵2c＝8，∴c＝4， 又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20． ∴所求椭圆的标准方程为＝1． 11．(多选题)如图，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1的交点依次为A，B，C，D．则下列说法正确的是(　　) A．四边形ABCD为正方形 B．阴影部分的面积大于3　 C．阴影部分的面积小于4　 D．四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝2 ABC　[根据曲线的对称性，可知四边形ABCD为正方形，选项A正确； 联立椭圆方程可得： A，B，C，D， 正方形ABCD的面积为3，所以阴影部分的面积大于3，选项B正确； 由直线x＝±1，y＝±1 围成的正方形的面积为4，所以阴影部分的面积小于4，选项C正确； 四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝，选项D错误．] 12．已知椭圆＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． D　[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，因为0<e<1，所以e＝．故选D．] 13．椭圆＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为________． 　[由椭圆＝1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S＝bc，周长为2a＋2c．由题意可得S＝bc＝(2a＋2c)·， 得a＋c＝5c， 所以e＝＝， 因此该椭圆的离心率为．] 14．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________． ＝1　[0，12]　[因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2． 因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝， 则椭圆的方程为＝1， 所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)． 设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2． 由椭圆的方程，得y2＝3－x2， 所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4． 因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]．] 15．设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|． (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． [解]　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1． 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8． 故|AF2|＝8－3＝5． (2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k． 由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k． 在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝－2|AF2|·|BF2|·cos ∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)． 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0， 而a＋k＞0，故a＝3k． 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k． 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形． 从而c＝a， 所以椭圆E的离心率e＝＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $