课时分层作业29 抛物线的标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(二十九) 1．C　[抛物线的标准方程为x2＝－3y，则准线方程为y＝．] 2．D　[抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4＝3y0，解得y0＝2．故选D．] 3．C　[因为抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，所以－＝4，解得a＝－8，故选C．] 4．B　[因为抛物线的焦点为F (a，0)(a<0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B．] 5．　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以点A到准线的距离为1－＝．] 6．(－6，6)或(－6，－6)　[设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6． 代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6． 因此P(－6，6)或P(－6，－6)．] 7．(1，0)　x＝－1　[圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．] 8．解：　(1)因为点(－3，2)在第二象限， 所以抛物线的标准方程可设为 y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)， 把点(－3，2)的坐标分别代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p×2，即2p＝或2p＝． 所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y． (2)令x＝0，解得y＝－2； 令y＝0，解得x＝4． 故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)． 当焦点为(4，0)时，＝4，即2p＝16， 此时抛物线方程为y2＝16x． 当焦点为(0，－2)时，＝2，即2p＝8， 此时抛物线方程为x2＝－8y． 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y． 9．解：　法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5， 即p＝4．所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2． 法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F． ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 故 解得 ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2． 10．B　[设P(x0，y0)，由题意得x0＋1＝5，解得x0＝4． 则＝16，∴P(4，±4)， 从而S△PFO＝×1×4＝2，故选B．] 11．B　[连接MF，MC，过点M作准线的垂线MP，如图所示，由抛物线的定义知|MP|＝|MF|．当M，A，P三点共线时，|MA|＋|MF|的值最小，且最小值为|CP|－1．因为抛物线的准线方程为y＝－1，而C(1，4)，所以|CP|＝4＋1＝5．所以(|MA|＋|MF|)min＝5－1＝4．故选B． ] 12．6　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F (1，0)． 由＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3， 所以||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6．] 13．2　[如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为P到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F (1，0)到直线l1的距离d＝＝2．] 14．解：　(1)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝xM＋xN＋2a．又圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2(4－a)，∴|AM|＋|AN|＝8． (2)不存在．假设存在这样的a，使得2|AP|＝|AM|＋|AN|．过点P作PP′垂直抛物线的准线，垂足为P′(图略)． 根据梯形中位线定理及抛物线的定义得，|AM|＋|AN|＝2|PP′|，∴|AP|＝|PP′|．由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十九)　抛物线的标准方程 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分 一、选择题 1．抛物线y＝－x2的准线方程为(　　) A．x＝　　　　　　　　 B．x＝1 C．y＝ D．y＝2 2．若抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．2 3．已知抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，则实数a的值为(　　) A．8 B． C．－8 D．－ 4．已知抛物线的焦点为F (a，0)(a<0)，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax 二、填空题 5．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________． 6．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________． 7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________． 三、解答题 8．试求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3，2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 10．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 11．已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则||＋||＋||＝________． 13．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 14．已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以B(a＋4，0)为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点． (1)求|AM|＋|AN|的值． (2)是否存在这样的a，使2|AP|＝|AM|＋|AN|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $