2.5.1 圆的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

2.5　圆的方程 2.5.1　圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 如图所示，设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1，2)，而且半径为2． (1)判断点A(3，2)是否在⊙C上； (2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？ 知识点1　圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合．这个定点即圆心，而定长就是半径． (2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，把它叫作圆的标准方程． 特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2． 方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？ 若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ [提示]　当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)． 当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|． 1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 D　[由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D．] 知识点2　点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与的大小r 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 2．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．在圆上　　　　　　　 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 B　[∵(－2)2＋(－2)2＝8>4， ∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．] 类型1　求圆的标准方程 【例1】　【链接教材P90例2】 已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程． [解]　(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即所求圆以线段AB的中点(0，1)为圆心， |AB|＝为半径．故所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10． (2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0． 由解得即圆心的坐标是(3，2)．所以圆的半径r＝＝2． 所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20． 法二：设圆心坐标为(a，b)，半径为r(r>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 解得 所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20． 【教材原题·P90例2】 例2　已知某圆经过A(－2，2)，B(6，0)两点，圆心M在直线2x－y＝1上，求该圆的方程． [解]　(方法一)设圆心为M(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2． 由题意可得方程组 解此方程组，得 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝34． (方法二)如图2.5-2，由于圆心M到点A，B的距离相等(都等于半径)，因此圆心M在AB的垂直平分线l上，并且位于直线l与直线2x－y＝1的交点处． 因为l⊥AB，所以＝(8，－2)是l的一个法向量，故可设直线l的方程为 8x－2y＋C＝0． ① 又直线l过AB的中点N，而N的坐标为， 即N(2，1)，将其代入①式，解得C＝－14． 所以直线l的方程为8x－2y－14＝0，即4x－y＝7． 圆心M的坐标是方程组的解， 解此方程组，得 所以圆心M的坐标为(3，5)． 圆的半径r＝|AM|＝＝． 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝34． 　圆的标准方程的两种求法 (1)几何法 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解——解方程组，求出a，b，r； ④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [跟进训练] 1．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)； (2)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程． [解]　(1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8． ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25． (2)设圆心为M(a，0)，∵|MC|＝|MD|， ∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9， ∴a＝2，r＝|MC|＝， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10． 类型2　点与圆的位置关系 【例2】　(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内　　　　　　 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 (2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________． (1)B　(2)[0，1)　[(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24， 得点P在圆外． (2)由题意知 即解得0a<1．] 　点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小； (2)代数法：将点的坐标代入圆的标准方程的左边，判断与r2的大小． [跟进训练] 2．已知点A(1，2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围： (1)点A在圆的内部； (2)点A在圆上； (3)点A在圆的外部． [解]　(1)因为点A在圆的内部， 所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2， 且a不为0，解得a<－． (2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2， 解得a＝－． (3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2， 且a不为0，解得a>－且a≠0． 类型3　与圆有关的最值问题 【例3】　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设P(x，y)为圆C上任意一点，试求x2＋(y－4)2的最值． x2＋(y－4)2有什么几何意义？如何求圆上一点和圆外一点距离的最大值和最小值？ [解]　(1)由已知得，圆心C(3，0)，半径r＝|AB|＝2，∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4． (2)x2＋(y－4)2表示点M(0，4)与圆C上任意一点P(x，y)的距离的平方，即|PM|2． 由(0－3)2＋42>4知点M(0，4)在圆C外部． 又|MC|＝＝5， ∴|PM|max＝5＋2＝7，|PM|min＝5－2＝3． ∴＝＝9． 即x2＋(y－4)2的最大值为49，最小值为9． 　已知点(x，y)在圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上，求d＝的最值问题的处理方法如下： (1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)间的距离dMO． (2)根据圆的几何性质知， ①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r； ②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO． [跟进训练] 3．设P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________． ＋2　[因为P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点， 所以表示点M(1，1)与该圆上任意一点P(x，y)的距离|PM|． 因为12＋(1＋4)2>4，所以点M(1，1)在圆外． 设圆心为C(0，－4)， 则|MC|＝＝， 所以|PM|max＝＋2， 即的最大值为＋2．] 1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A．(－1，5)，　　　　　　 B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 B　[由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，－5)，半径r＝，故选B．] 2．(教材P91练习T1改编)圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D　[由圆过原点知r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D．] 3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 B　[由12＋32<24知，点P(1，3)在圆内，故选B．] 4．已知P(x，y)是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点，则x2＋y2的最小值为________． 3－2　[x2＋y2表示点P(x，y)与原点O(0，0)的距离的平方|PO|2． 由(0－1)2＋(0－1)2>1知原点O在圆外． 设M(1，1)，则|MO|＝，则|PO|min＝－1． 从而＝3－2．即x2＋y2的最小值为3－2．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)试写出圆的标准方程． [提示]　圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2)如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？ [提示]　点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； 点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2． (3)如何求圆C外一点M和圆C上任意一点P的距离|PM|的最值？ [提示]　先求点M和圆心C的距离|MC|，则 |PM|max＝|MC|＋r，|PM|min＝|MC|－r． 课时分层作业(十九)　圆的标准方程 一、选择题 1．(教材P91练习T2改编)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D　[圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25．] 2．点(sin 30°，cos 30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．点在圆上　　　　　　 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 C　[因为sin230°＋cos230°＝1>， 所以点在圆外，故选C．] 3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y＋3)2＝1 C．(x－3)2＋y2＝1 D．(x＋3)2＋y2＝1 A　[设圆心坐标为(0，a)，∵圆的半径为1，且过点(1，3)，∴(0－1)2＋(a－3)2＝1，解得a＝3，∴所求圆的方程为x2＋(y－3)2＝1．] 4．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．{－1，1} C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C　[∵点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－1<a<1．故选C．] 5．圆心在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝ C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝ A　[由题意得圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1)．又A(－3，0)，半径r＝|AM|＝＝．则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5．] 二、填空题 6．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为________． 1＋　[的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1，1)的距离，因此最大值为＋1．] 7．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是________． (x－2)2＋(y＋3)2＝13　[易知直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得圆的半径为，因为圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．] 8．圆(x＋1)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的标准方程为________． x2＋(y＋1)2＝5　[圆(x＋1)2＋y2＝5的圆心坐标为(－1，0)，它关于直线y＝x的对称点坐标为(0，－1)，即所求圆的圆心坐标为(0，－1)，所以所求圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝5．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程． [解]　设所求的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2． ① 因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组 解此方程组，得 代入(5－a)2＋(1－b)2＝r2，得r2＝25． 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 (x－2)2＋(y＋3)2＝25． 10．已知A(0，1)，B(2，1)，C(－1，2)，能否确定一个圆？若能，判断D(3，4)与该圆的位置关系． [解]　由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆．设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 则解得 所以经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5． 把点D的坐标(3，4)代入圆的方程的左边，得(3－1)2＋(4－3)2＝5． 所以点D在经过A，B，C三点的圆上．所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5． 11．(多选题)若经过点P(5m＋1，12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值可能是(　　) A．　　B．　　C．－　　D．－ AD　[过P可作圆的两条切线，说明点P在圆的外部，所以(5m＋1－1)2＋(12m)2>1，解得m>或m<－，可知AD可能．] 12．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 A　[由题意可知圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(－2，1)，半径为1， 所以其关于原点对称的圆的圆心坐标为(2，－1)，半径为1， 所以所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1．] 13．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________． 1　[由题意可得，圆C的圆心坐标为(2，4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1．] 14．已知A，B两点是圆x2＋(y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则a＝________；若点A，B关于点P(1，2)对称，则直线AB的方程为________． 3　x＋y－3＝0　[圆x2＋(y－1)2＝4的圆心C的坐标为(0，1)，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则直线经过圆心(0，1)，∴a＝3．又若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1，2)中心对称，则CP⊥AB，P为AB的中点，∵kCP＝＝1，∴kAB＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．] 15．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝，求d的最大值及最小值． [解]　设P(x，y)， 则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2． 圆心坐标为C(3，4)，O为坐标原点， ∴|CO|2＝32＋42＝25，即|CO|＝5， ∴(5－1)2x2＋y2(5＋1)2， 即16x2＋y236． ∴d的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $