2.3.2 两条直线的交点坐标(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

2.3.2　两条直线的交点坐标 学习任务 核心素养 1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养． 点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，当P(x0，y0)同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么点P就是这两条直线的交点． 下面我们就来研究两直线的交点问题． 知识点1　两条直线的交点 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点． 1．直线x＋y＝5与直线x－y＝3的交点坐标是(　　) A．(1，2)　　B．(4，1)　　C．(3，2)　　D．(2，1) B　[解方程组得因此交点坐标为(4，1)，故选B．] 知识点2　两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示． 方程组的解的情况 一组解 无数组解 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 2．若方程组无解，则直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________． l1∥l2　[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．] 类型1　求两条直线的交点 【例1】　【链接教材P80例6】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． [解]　(1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2． 【教材原题·P80例6】 例6　判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0． [解]　(1)解方程组 得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾． 由此可知方程组无解，因此直线l1与l2平行． (3)解方程组 ①×2得2x－2y＋2＝0． 说明方程①和方程②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线． 此时方程组有无数组解，直线l1与l2重合． 　两条直线相交的判定方法 方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 方法二 两直线斜率都存在且斜率不相等 方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在 提醒：在判定两直线是否相交时，要特别注意斜率不存在的情况． [跟进训练] 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． B　[由 得所以交点为．] 2．直线kx－y－1＝0与直线x＋2y－2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为(　　) A． B． C． D． A　[由解得 因为直线kx－y－1＝0与直线x＋2y－2＝0的交点在第四象限， 所以解得－<k<，所以实数k的取值范围为，故选A．] 类型2　求过两条直线交点的直线方程 【例2】　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． [解]　法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3． 故所求直线方程为y＋＝－3，即15x＋5y＋16＝0． 法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0．(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有得λ＝．代入(*)式， 得x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0． [母题探究] (变条件)本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ [解]　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0． 　求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程． [跟进训练] 3．已知两条直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P．求： (1)过点P与Q(1，4)的直线方程； (2)过点P且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程． [解]　设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为 x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0， 即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0①． (1)把点Q(1，4)代入方程①，化简得3－5m＝0，解得m＝． 所以过点P与Q的直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0． (2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直，则 (m＋1)－3(2－2m)＝0，解得m＝， 所以所求直线的方程为x＋y－＝0， 即3x＋y－8＝0． 类型3　直线系过定点问题 【例3】　直线(a－1)x－(2a－1)y＋1＝0恒过一定点，则此定点为(　　) A．(－2，1) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，1) D　[法一：直线可变形为：a(x－2y)－(x－y－1)＝0，若该方程对任意a都成立， 则即直线恒过点(2，1)，故选D． 法二：在方程(a－1)x－(2a－1)y＋1＝0中， 令a＝1得：－y＋1＝0，即y＝1， 令a＝0得：－x＋y＋1＝0，将y＝1代入－x＋y＋1＝0得x＝2， 将 代入(a－1)x－(2a－1)y＋1＝0，得(a－1)×2－(2a－1)＋1＝0恒成立， ∴直线恒过点(2，1)，故选D．] 　解含有参数的直线恒过定点的问题的方法 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． [跟进训练] 4．已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0，求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点． [证明]　把直线方程整理为2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0． 解方程组得 即点(－1，－2)是方程2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0的解， 也就是方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0的解， 所以不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0必过定点(－1，－2)． 1．(教材P81练习T1改编)直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[联立解得 ∴交点(－1，1)在第二象限．故选B．] 2．(教材P81练习T3改编)经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是(　　) A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－7＝0 C．2x＋y＋7＝0 D．2x－y＋7＝0 B　[联立方程解得 ∴交点坐标为(3，－1)，且斜率为2，直线方程为2x－y－7＝0，故选B．] 3．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m＝________． ±6　[分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6．] 4．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为________． (3，3)　[∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2， ∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1， 联立方程易得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3，3)．] 5．不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________． (9，－4)　[法一：取m＝1，得直线y＝－4．取m＝，得直线x＝9．故两直线的交点为(9，－4)． 将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)×9－4×(2m－1)＝m－5＝右边， 故直线恒过点(9，－4)． 法二：直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0， ∵对任意m该方程恒成立，∴解得故直线恒过定点(9，－4)．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)如何求两直线的交点坐标？ [提示]　解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标． (2)直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？ [提示]　当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点． (3)对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两直线相交、平行或重合、垂直的充要条件是什么？ [提示]　l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1； l1与l2平行或重合⇔A1B2＝A2B1； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 课时分层作业(十七)　两条直线的交点坐标 一、选择题 1．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1和x＋ky＝0相交于一点，则k的值为(　　) A．－　　　B．　　　C．2　　　D．－2 A　[由方程组 得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x＋ky＝0，得k＝－．] 2．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 B　[设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8．则所求直线方程为2x－y＝0．] 3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，－1) C．(－4，－3) D．(0，1) A　[由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0．直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程解得即N点坐标为(2，3)．] 4．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则(　　) A．m≠－1且m≠3 B．m≠－1且m≠－3 C．m≠1且m≠3 D．m≠1且m≠－1 A　[因为直线l1：x＋my－6＝0与直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点， 所以两条直线不平行也不重合， 所以m(m－2)≠3，解得m≠－1，m≠3， 所以m的取值范围是m≠－1且m≠3，故选A．] 5．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴上截距为8的直线的方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0 A　[由得∴交点坐标为(1，6)．又直线过点(0，8)， ∴直线方程为y－8＝x，即2x＋y－8＝0．故选A．] 二、填空题 6．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p＝________． 20　[由两直线互相垂直，得－＝－1，m＝10． 又垂足坐标为(1，p)，代入直线方程10x＋4y－2＝0，得p＝－2， 将(1，－2)代入直线方程2x－5y＋n＝0，得n＝－12， 所以m－n＋p＝20．] 7．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点________． (－3，1)　[方程(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0可化为 m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 令得 即直线l过定点(－3，1)．] 8．已知直线l1过点P1(0，－1)，P2(2，0)，l2：x＋y－1＝0，则直线l1与l2的交点坐标为________． 　[直线l1的方程为x－2y－2＝0．由解得] 三、解答题 9．已知直线l1：2x－ay＋1＝0，直线l2：4x＋6y－7＝0． (1)若l1∥l2，求a的值； (2)若l1与l2相交，交点纵坐标为正数，求实数a的取值范围． [解]　(1)由l1∥l2，得2×6－(－a)×4＝0，解得a＝－3． (2)联立方程组解得y＝，a≠－3． 由已知，得2a＋6>0，解得a>－3． 即实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 10．如图，在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标． [解]　由方程组 得顶点A(－1，0)，则边AB所在直线的斜率kAB＝＝1． ∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0， ∴直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)． ∵BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0， ∴kBC＝－2． 又点B的坐标为(1，2)， ∴BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2． 由得即C(5，－6)． 综上，A(－1，0)，C(5，－6)． 11．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　) A．{θ|0<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°} C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°} C　[由题可知k≠－1，联立解得x＝，y＝， ∴两直线的交点坐标为． ∵两直线的交点在第一象限，∴解得k>．又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>，∴30°<θ<90°．故选C．] 12．(多选题)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为(　　) A．－ B． C． D．－ ACD　[因为三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点，直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或 －，直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－，所以实数m的取值集合为，故选ACD．] 13．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0．试确定m，n的值，使： (1)l1与l2相交于点P(m，－1)，则m＝________，n＝________． (2)l1∥l2，则m，n满足的条件为________． (1)1　7　(2)m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2　[(1)将点P(m，－1)代入两直线方程得： m2－8＋n＝0和2m－m－1＝0， 解得m＝1，n＝7． (2)由l1∥l2得：m2－8×2＝0，得m＝±4， 当m＝4时，直线l1：4x＋8y＋n＝0，直线l2：2x＋4y－1＝0． 要使l1∥l2，则n≠－2． 当m＝－4时，直线l1：－4x＋8y＋n＝0，直线l2：2x－4y－1＝0 要使l1∥l2，则n≠2．] 14．过点M(0，1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为________． x＋4y－4＝0　[过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1． 设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A，B两点． 由得A的横坐标xA＝． 由得B的横坐标xB＝． ∵点M平分线段AB，∴＝0，解得k＝－．故所求的直线方程为x＋4y－4＝0．] 15．已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0． (1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M； (2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，求直线l2的方程． [解]　(1)证明：l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0⇒m(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0． ⇒则M(－1，－2)， ∴无论m为何实数，直线l1恒过一定点M(－1，－2)． (2)由题意知直线l2的斜率k<0， 设直线l2：y＋2＝k(x＋1)， 令x＝0，得y＝k－2．令y＝0，得x＝－1． ∴三角形面积S＝|k－2|· ＝＝， ∵k<0，∴－>0，－k>0， ∴－－k≥2＝4， 当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号， ∴直线l2的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即2x＋y＋4＝0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $