课时分层作业24 椭圆的标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(二十四) 1．C　[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12， 故焦点为(0，±12)．] 2．B　[若方程＝1表示椭圆， 则解得2<m<6且m≠4，所以“2<m<6”是方程“＝1为椭圆”的必要而不充分条件．] 3．B　[∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝． ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4， ∴a＝2． ∴b2＝a2－c2＝9． 故椭圆C的标准方程是＝1或＝1．] 4．B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．] 5．B　[设椭圆的右焦点为F2， 由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|， 又|MF1|＋|MF2|＝2a， 所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c， 故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．] 6．＝1　[由题意可得 解得 故椭圆的方程为＝1．] 7．4　[设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10， 又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8， 又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4．] 8．　[如图，由＝1， 知a2＝9，b2＝7，c2＝2． 所以a＝3，b＝，c＝． 所以|F1F2|＝2． 设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x． 因为∠AF1F2＝45°， 所以(6－x)2＝x2＋8－4x·，所以x＝． 所以＝×2＝．] 9．解：　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，又椭圆M过点，则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1． (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1， 得y0＝±． 又＝1，所以＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为． 10．解：　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)．由点M是线段PD的中点，得 x＝x0，y＝． 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以 ＝4． ① 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得 x2＋4y2＝4， 即＋y2＝1． 所以点M的轨迹是椭圆． 11．A　[由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， 在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝， ∵0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝60°．] 12．D　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， ∵点P在椭圆上，∴＝1，即y2＝，∴y＝±． ∴点M的纵坐标为±．] 13．B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．] 14．＝1　　[因为·＝0， 所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10， 所以F1(－10，0)，F2(10，0)， 所以2a＝|PF1|＋|PF2| ＝＝12， 所以a＝6，b2＝80．所以椭圆方程为＝1． 如图所示， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M， 则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16， 所以|PF1|＝＝＝8， 所以sin ∠PF1F2＝＝＝．] 15．解：　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|＝＝4， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4． (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－． 又＝1，所以＝1， 化简得λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点， 所以λ＝－7． (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB| 4＋|BF2|， 所以△PBF1的周长4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十四)　椭圆的标准方程 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分 一、选择题 1．(教材P121练习T1改编)椭圆＝1的焦点坐标是(　　) A．(±5，0)　　　　　　 B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12，0) 2．“2<m<6”是“方程＝1为椭圆”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1或＝1 C．＝1 D．＝1或＝1 4．设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1 5．已知椭圆＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A．圆　　　B．椭圆　　　C．线段　　　D．直线 二、填空题 6．已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F (3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为________． 7．已知椭圆＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________． 8．已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________． 三、解答题 9．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 10．(源自人教A版教材)如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．) 11．P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60°　　　B．30°　　　C．120°　　　D．150° 12．椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A．± B．± C．± D．± 13．已知P为椭圆＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 14．已知点P(6，8)是椭圆＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点．若·＝0，则椭圆的标准方程是______________，sin ∠PF1F2＝________． 15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $