2.3.1 两条直线平行与垂直的判定(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

本高中数学讲义聚焦两条直线平行与垂直的判定核心知识点，从直线倾斜角与斜率的关系切入，系统梳理斜率存在时“k1=k2且b1≠b2”（平行）、“k1k2=-1”（垂直）的判定条件，以及斜率不存在或利用一般式方程中法向量、方向向量的判定方法，构建从基础几何直观到代数方程应用的学习支架。 资料以直观想象（倾斜角关系探究）、逻辑推理（判定条件的充要性辨析）和数学运算（斜率计算、方程求解）为核心素养导向，设计“知识点辨析+例题解析+跟进训练+综合应用”的分层教学环节，如通过“两直线斜率相等是否为平行充要条件”等问题深化理解，课中助力教师高效授课，课后通过课时分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

2.3　两条直线的位置关系 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 学习任务 核心素养 1．掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判定方法．(重点) 2．能用方程思想判定两条直线的位置关系．(难点) 通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 两直线平行，则两直线的倾斜角有什么关系？进而两直线的斜率有什么关系？反之，结论成立吗？ 知识点1　两条直线平行的判定 1．如图，两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2． (1)l1∥l2 ⇔k1＝k2且b1≠b2． (2)若k1＝k2并且b1＝b2，那么两条直线重合． 2．如果l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，这时仍有l1∥l2． 1．(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ (2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？ [提示]　(1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在． (2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A，B，C三点共线． 1．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A．1　　　 B．－1　　　 C．2　　　 D．－2 B　[因为kMN＝＝－1，所以若直线PQ与直线MN平行，则＝－1，解得m＝－1．此时直线PQ与MN不重合，故选B．] 直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别为n1＝(1，k1)，n2＝(1，k2)，若l1⊥l2，则k1，k2满足什么关系？反之，结论是否成立？ 知识点2　两条直线垂直的判定 一般地，设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 ⇔k1·k2＝－1． 2．“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？ [提示]　不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在． 2．l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________． －　[由条件l1⊥l2得－＝－1，解得m＝－．] 知识点3　利用两条直线的方向向量或法向量判定平行或垂直 已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量， (1)判定两条直线平行 l1∥l2 ⇔法向量平行⇔A1B2－A2B1＝0⇔A2＝λA1，B2＝λB1，λ为非零实数． (2)判定两条直线垂直 l1⊥l2 ⇔法向量垂直⇔ (A1，B1)·(A2，B2)＝A1A2＋B1B2＝0． 若已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则(1，k1)，(1，k2)分别是l1，l2的方向向量，于是l1⊥l2 ⇔方向向量垂直⇔ (1，k1)·(1，k2)＝1＋k1k2＝0⇔k1k2＝－1． 3．已知两条直线l1：mx＋y－1＝0和l2：x＋y＋2＝0互相垂直，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．2 B　[∵l1⊥l2，显然m≠0且m≠2，∴＝－1，解得m＝1．] 类型1　判定两条直线的位置关系 【例1】　【链接教材P78例4】 判断下列直线的位置关系： (1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0； (2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0； (3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0． [解]　(1)直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0，由题意知＝≠，∴l1∥l2． (2)由题意知＝＝，∴l1与l2重合． (3)由题意知，当a＝－1时，l1：y＝5，l2：x＋2＝0，∴l1⊥l2．当a≠－1时，k1＝a＋1，k2＝－＝－．∴k1·k2＝(a＋1)×＝－1，∴l1⊥l2．综上，得l1⊥l2． 【教材原题·P78例4】 例4　已知λ≠－1，求λ取什么值时，直线l1：2x＋(λ＋1)y＝2与直线l2：λx＋y＝1： (1)重合；(2)平行；(3)垂直． [解]　直线l1的斜率k1＝－，它在y轴上的截距b1＝． 直线l2的斜率k2＝－λ，它在y轴上的截距b2＝1． (1)重合⇔k1＝k2，b1＝b2⇔⇔λ＝1． (2)平行⇔k1＝k2，b1≠b2⇔⇔λ＝－2． (3)垂直⇔k1k2＝－1⇔·(－λ)＝－1⇔λ＝－． 　两条直线位置关系的判定方法 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0． (1)若A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)，则两直线相交． (2)若A1A2＋B1B2＝0，则两直线相互垂直． (3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0或＝≠(A2B2C2≠0)，则两直线平行． [跟进训练] 1．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，分别就下列条件求出实数m的值． (1)直线l1与l2垂直； (2)直线l1与l2平行． [解]　(1)∵l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0垂直， ∴(m－2)×1＋3m＝0，解得m＝． (2)∵l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0平行， ∴m(m－2)－1×3＝0且≠，解得m＝－1． 类型2　根据平行或垂直求直线的方程 【例2】　已知直线过点P． (1)若直线与3x－2y＋4＝0平行，求直线的方程； (2)若直线与3x－2y＋4＝0垂直，求直线的方程． [解]　(1)若直线与直线3x－2y＋4＝0平行，设所求直线方程为3x－2y＋C＝0， 将点P的坐标代入所求直线方程得3×2－2×1＋C＝0，解得C＝－4， 故所求直线方程为3x－2y－4＝0． (2)法一：直线3x－2y＋4＝0的斜率为k1＝， 设所求直线的斜率为k2，则k1k2＝－1，可得k2＝－， 故所求直线方程为y－1＝－，即2x＋3y－7＝0． 法二：由题意，设所求直线的方程为2x＋3y＋C1＝0， 因为直线过点P，将其坐标代入上述方程可得4＋3＋C1＝0，解得C1＝－7， 故所求的直线方程为2x＋3y－7＝0． 　已知直线l的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)． (1)与直线l平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0； (2)与直线l垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋C2＝0． [跟进训练] 2．过点且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是(　　) A．2x－y＝0　　　　　 B．2x－y－3＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y－4＝0 C　[因为所求直线与直线x＋2y－9＝0平行，可设所求直线方程为x＋2y＋C＝0(C≠－9)， 将点的坐标代入直线的方程x＋2y＋C＝0得1＋2×2＋C＝0，解得C＝－5． 因此，所求直线的方程为x＋2y－5＝0．] 3．已知直线l经过点，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0 C　[∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋C＝0， ∵直线l经过点，∴1－2＋C＝0，即C＝1． ∴直线l的方程为x＋2y＋1＝0．] 类型3　平行与垂直的综合应用 【例3】　(1)已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为________． (2)已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标． 如何利用直线的平行与垂直关系，求点的坐标？ (1)(10，－6)　[设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝，直线BC的斜率kBC＝－，直线AD的斜率kAD＝， 由AB⊥CD，且AD∥BC， 得 解得所以点D的坐标为(10，－6)．] (2)[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)． 　　　 图(1)　　　　　　　　图(2) ②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝． 由AD∥BC⇒kAD＝kBC， 即＝－3； 由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1， 即·(－3)＝－1． 解得故A． 综上所述，A点坐标为(1，－1)或． 　关于直线平行与垂直的综合应用 (1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解． (2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论． [跟进训练] 4．在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标． [解]　设D(x，y)，因为DC∥AB，所以＝　①，又因为DA⊥AB，所以·＝－1　②． 由①②解得x＝－11，y＝2．所以D(－11，2)． 1．若过点A(2，－2)，B(5，6)的直线与过点P(2m，1)，Q(－1，－m)的直线平行，则m的值为(　　) A．－1　　　　　　　　 B．－ C．2 D． B　[由题意知：＝＝，解得m＝－．] 2．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A． B．a C．－ D．－或不存在 D　[由l1⊥l2，当a≠0时＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在，故应选D．] 3．下列直线与直线x－2y＋1＝0平行的是(　　) A．2x＋y－1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．2x－y－1＝0 D．x－2y－1＝0 D　[已知直线x－2y＋1＝0的斜率为k＝，与直线x－2y＋1＝0平行的直线满足斜率k＝，且能化成x－2y＋C＝0的形式． 选项A中，直线2x＋y－1＝0的斜率为：k1＝－2≠，故不平行； 选项B中，直线x＋2y－1＝0的斜率为：k2＝－≠，故不平行； 选项C中，直线2x－y－1＝0的斜率为：k3＝2≠，故不平行； 选项D中，直线x－2y－1＝0的斜率为：k4＝，故斜率相等，又直线x－2y－1＝0中，C＝－1≠1，故x－2y＋1＝0与x－2y－1＝0不重合，故满足题意．] 4．若直线l1：3x－(b＋2)y＋2＝0与l2：(4b＋4)x＋9y－18b＝0垂直，则l2的截距式方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 C　[因为l1与l2垂直，所以3(4b＋4)－9(b＋2)＝0，解得b＝2， 则l2的方程为12x＋9y－36＝0，即＝1．] 5．已知两条直线l1：x＋4y＋3m－5＝0，l2：2x＋y－8＝0，若l1⊥l2，则m的值为________． －　[当5＋m＝0时，不满足l1⊥l2，舍去； 当5＋m≠0时，直线l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝－． ∵l1⊥l2， ∴k1·k2＝－·＝－1，解得m＝－．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)如何判定两直线方程平行或垂直？ [提示]　①设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 ⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1． ②设两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 ⇔法向量平行⇔A2＝λA1，B2＝λB1，λ为非零实数．l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． (2)如何求与已知直线平行的直线方程？ [提示]　①根据两直线平行可求其斜率，利用点斜式求解． ②与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)． (3)如何求与已知直线垂直的直线方程？ [提示]　①根据两直线垂直可求其斜率，利用点斜式求解． ②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋D＝0． 课时分层作业(十六)　两条直线平行与垂直的判定 一、选择题 1．设直线l1：kx＋y＋1＝0，l2：(k－1)x－2y＋1＝0，若l1⊥l2，则k＝(　　) A．－1　 　B．－1或2　 　C．2　 　D．0 B　[由l1⊥l2，则k＋1×＝0，即k2－k－2＝0，解得k＝2或k＝－1．] 2．从原点O作直线l的垂线，垂足为点，则直线l的方程为(　　) A．2x－y＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y－4＝0 C　[由题意知，原点与点构成直线的斜率为＝2，所以直线l的斜率为－， 所以直线l的方程为y－2＝－，整理可得x＋2y－5＝0．] 3．“m＝－1”是“直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直，可得m×2＋(m－1)×m＝0，∴m2＋m＝0，∴m＝0或m＝－1． 当m＝－1时，直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直； 当直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直时，m＝－1不一定成立．所以“m＝－1”是“直线mx＋y＋1＝0和直线2x＋my＋3＝0垂直”的充分不必要条件，故选A．] 4．(教材P78例3改编)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 C　[易知kAB＝＝－，kAC＝＝， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．] 5．下列命题中，正确的是(　　) A．斜率相等的两条直线一定平行 B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等 C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行 D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行 D　[A错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－ ＝1－，则k1＝k2，又直线l1与直线l2不重合，所以l1∥l2．] 二、填空题 6．若直线l1：ax＋2y＋a＋3＝0与l2：x＋(a－1)y－2＝0平行，则实数a的值为________． 2　[直线l1：ax＋2y＋a＋3＝0与l2：x＋(a－1)y－2＝0平行， 则a－1×2＝0，解得a＝2或a＝－1， 当a＝－1时，两直线重合，舍去，所以a＝2．] 7．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，则所得到的直线方程为________． y＝－x＋　[直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y＝－x，再将该直线向右平移1个单位长度得到的直线方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋．] 8．已知点A(－3，－2)，B(6，1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________． (0，－11)　[设P(0，y)，由题意知，kAB，kAP存在，又知∠BAP＝90°，所以kAB·kAP＝＝＝－1，解得y＝－11． 所以点P的坐标是(0，－11)．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． [解]　如图，由已知可得 AB边所在直线的斜率kAB＝－， CD边所在直线的斜率kCD＝－， BC边所在直线的斜率kBC＝， DA边所在直线的斜率kDA＝． 因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA． 因此四边形ABCD是平行四边形． 10．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求实数m的值． [解]　如图，易知直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝． 当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2． 当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝， ∴线段AB的垂直平行线l2的斜率k2＝． ∵l1与l2平行，∴k1＝k2，即＝， 解得m＝4＋． 综上，实数m的值为4＋． 11．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　) A．1 B． C． D．1或 D　[由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或．] 12．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是(　　) A．19 B． C．5 D．4 B　[由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补，又由题意得∠COA＝90°，所以∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得y＝．故选B．] 13．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________． －2　[依题意，知直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有＝1，所以a＝0．又直线l2与l1平行， 所以1＝－，即b＝－2， 所以a＋b＝－2．] 14．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根．若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________． －2　2　[由根与系数的关系，知k1k2＝， 若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，得m＝－2； 若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝16－8m＝0，得m＝2．] 15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． [解]　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 又PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1．① 由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2．② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1)． (2)设Q(x，0)， ∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP． 又kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1，∴Q(1，0)． 又∵M(1，－1)， ∴MQ⊥x轴． ∴直线MQ的倾斜角为90°． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $