2.1 直线的斜率(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

2.1　直线的斜率 学习任务 核心素养 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1．通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的核心素养． 2．通过学习直线斜率的概念及计算，培养数学抽象和数学运算素养． 我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线． 如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？ 知识点1　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0． 2．直线的倾斜角α的取值范围为0α<π． 1．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ [提示]　由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°． (　　) (2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在． (　　) (3)不存在倾斜角相同的直线． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角． 如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论： (1)经过A(－1，－1)，B(3，－1)的直线l1； (2)经过C(2，1)，D(2，2)的直线l2； (3)经过E(－1，0)，F (1，2)的直线l3． 知识点2　直线的斜率 1．直线的斜率 一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝tan α． 2．过两点的直线的斜率公式 经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线(设直线的倾斜角为α)的斜率公式为k＝tan α＝． 2．当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？ [提示]　当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　) (2)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应． (　　) (3)与y轴垂直的直线的斜率为0． (　　) (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 类型1　直线的倾斜角 【例1】　(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．30°或150° D．60°或120° (2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°α<180°时，倾斜角为α－135° (1)D　(2)D　[(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°． (2)根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知： 当0°α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．] 　求直线倾斜角的方法及注意点 (1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为． ②注意直线倾斜角的取值范围是0α<π． [跟进训练] 1．(多选题)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋60°　　　　　　 B．α＋120° C．α－60° D．120°－α BC　[直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°α<60°时，直线l1的倾斜角为180°－(60°－α)＝120°＋α．] 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 135°　[设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．] 类型2　直线的斜率 【例2】　(1)求经过两点A(2，3)，B(4，5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α； (2)求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率． [解]　(1)直线AB的斜率kAB＝＝1， 即tan α＝1， 又0α<π，所以倾斜角α＝． (2)当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率kAB＝． 　应用直线的斜率公式应注意的问题 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与点P1，P2的先后顺序无关． [跟进训练] 3．过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________． 1　[由斜率公式k＝＝1，得m＝1．] 4．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)． (1)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ (2)当m为何值时，直线l的斜率是1? [解]　(1)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1． (2)由题意知m＋1≠2m，即m≠1，直线l的斜率k＝＝1，解得m＝． 类型3　直线的倾斜角和斜率的综合 【例3】　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1． (1)要使直线l与线段AB有公共点，则k－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°α135°． 　1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝，求出kPA，kPB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 2．直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． [跟进训练] 5．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． [解]　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝．直线AC的斜率kAC＝＝．故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为． (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是． 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 ABC　[由直线的倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误．故选ABC．] 2．(教材P63习题2.1T1改编)下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4，2)与(－4，1)　　　 B．(0，3)与(3，0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2，2)与(－2，5) D　[D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．] 3．过点A(－)与点B(－)的直线的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．60° A　[kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°．] 4．已知点P(－1，－1)，另有两点A(1，0)，B(0，1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为________． 　[因为A(1，0)，B(0，1)，又过点P的直线l与线段AB有交点，所以直线l的斜率的取值范围为．] 5．经过A(m，3)(其中m≥1)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________． 0°<α90°　[当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时， tan α＝>0，∴0°<α<90°．故0°<α90°．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？ [提示]　当直线l与x轴相交时，把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0，因此，直线的倾斜角的取值范围是0α<π． (2)直线的斜率是如何定义的？直线经过两点，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？ [提示]　把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，倾斜角是的直线没有斜率． 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的斜率公式是k＝． (3)当直线的倾斜角由0逐渐增大到π时，其斜率如何变化？ [提示]　当0α<时，斜率为非负值，且逐渐增大，当α＝时，斜率不存在，当<α<π时，斜率为负值，且逐渐增大． 课时分层作业(十二)　直线的斜率 一、选择题 1．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　) A．60°　　　　　　　 B．30° C．60°或120° D．30°或150° C　[∵直线l的斜率的绝对值等于， ∴直线l的斜率等于±．设直线l的倾斜角为θ， ∴tan θ＝或tan θ＝－， ∴θ＝60°或120°． 故选C．] 2．经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为60°，则y＝(　　) A．－2 B．－2 C．－－2 D．－ B　[由＝＝y＋2，得y＋2＝tan 60°＝，∴y＝－2．] 3．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 D　[直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2．直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2．] 4．若A(2，3)，B(3，2)，C三点共线，则实数m的值为(　　) A．2　　　B．1　　　C．　　　D．－2 C　[设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC， 则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即－1＝－(m－2)，解得m＝．] 5．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　) A．[0，1] B．[0，2] C． D．(0，3] B　[如图，经过(1，2)和(0，0)的斜率k＝2，若l不通过第四象限，则0k2．故选B． ] 二、填空题 6．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________． (－2，1)　[由题意知，kAB＝＝．因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝<0，解得－2<t<1．] 7．直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________． 30°　　[如图所示． ∵直线l的倾斜角为150°，∴绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝tan α＝tan 30°＝．] 8．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________． (3，0)或(0，3)　[由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m，0)，则＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3，0)或(0，3)．] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)求满足下列条件的直线的斜率： (1)经过点A(2，－8)，B(5，1)； (2)经过点C(0，2)，D(2，－1)； (3)经过点M(－1，3)，N(0，3)． [解]　由经过两点的直线斜率的计算公式，可得 (1)kAB＝＝3． (2)kCD＝＝－． (3)kMN＝＝0． 10．已知点A(n，－n－3)，B(2，n－1)，C(－1，4)，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数n的值． [解]　由题意知n≠－1，直线AC的斜率为，直线BC的斜率为，所以＝3×， 整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2． 11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　) A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2 B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2 C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2 D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2 ABC　[当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k1＞k2，选项A说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C说法错误；若k1＝k2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确．] 12．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ C　[设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知，这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－．] 13．已知直线l的倾斜角的范围是45°α135°，则直线l的斜率的取值范围是________． (－∞，－1]∪[1，＋∞)或不存在　[当倾斜角α＝90°时，直线l的斜率不存在； 当45°α<90°时，直线l的斜率k＝tan α，则k∈[1，＋∞)； 当90°<α135°时，直线l的斜率k＝tan α， 则k∈(－∞，－1]． 故直线l的斜率不存在或斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．] 14．设直线l的斜率为k，且－1<k<1，则直线l的倾斜角α的取值范围是________． {α|0°α<45°或135°<α<180°}　[(1)当－1<k<0时，即－1<tan α<0，此时135°<α<180°． (2)当0k<1时，即0tan α<1，此时0°α<45°．综上知直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°α<45°或135°<α<180°}．] 15．如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． [解]　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以斜率kOD＝kBC＝tan 60°＝； ∵CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以斜率kOB＝kCD＝0； 由菱形的性质知，∠COB＝×60°＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以两条对角线的斜率分别为：kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $