专题2.1直线的斜率（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题2.1 直线的斜率 教学目标 1、理解倾斜角与斜率的概念、掌握倾斜角与斜率的关系； 2、掌握过两点的直线的斜率公式，理解斜率公式的几何意义； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)倾斜角与斜率的概念及关系；(2)斜率公式及应用． 2、难点：求倾斜角、斜率的范围. 知识点01 直线的倾斜角 1.直线的倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 倾斜角 图示 2.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 3.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注：(1)倾斜角表示直线的倾斜程度. (2)每条直线都有一个确定的倾斜角， 且方向相同的直线，其倾斜程度相等倾斜角相同；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； 【即学即练1-1】(2025高二上浙江绍兴期末)直线的倾斜角为(     ) A． B． C． D．不存在 【即学即练1-2】(2025高二上天津滨海新阶段练习)直线 的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 知识点02 直线的斜率 1.直线的斜率概念：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 注意：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； 2.斜率与倾斜角的对应关系：倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 的增减性 恒等于0 k随的增大而增大 k随的增大而减增大 3.过两点的直线的斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 注意：(1)的前提条件. (2)直线斜率的值与两点的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． (3)直线斜率的值与两点坐标的顺序无关，即． (4)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 4.斜率的几何意义：形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 5.直线的方向向量：直线上的以及与它平行的向量都是直线的方向向量； (1)如果直线的斜率存在，则直线的方向向量：； (2)如果直线的斜率不存在，则直线的方向向量：； (3)如果直线方向向量为：，则直线的斜率：； 如果直线方向向量为：，则直线的斜率：不存在。 注意：一条直线的方向向量不是唯一的，是一组平行向量。 【即学即练2-1】已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为(    )． A． B． C． D． 【即学即练2-2】已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为(    )． A． B． C． D． 【即学即练2-3】直线的一个方向向量为，倾斜角为，则(   ) A． B． C． D． 知识点03 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 1.直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (2)直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (3)当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； (4)当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 【即学即练3】(2025高二上天津红桥阶段练习)如图直线，，的斜率分别为，，，则(   ) A． B． C． D． 知识点04 两直线的平行与垂直 1.两直线平行 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2.两直线垂直 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【即学即练4-1】若三点在同一条直线上，则t的值为(   ) A． B． C． D． 题型01 倾斜角与斜率的关系 【典例1-1】(2025高二上浙江绍兴期末)直线的倾斜角为(     ) A． B． C． D．不存在 【典例1-2】(2025高二上浙江杭州期末)若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【典例1-4】(2025高二下·山西期中)若直线的倾斜角的大小为，则实数(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】(多选)下列说法正确的是(   ) A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【变式1-2】(2025高三全国专题练习)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】(2025高二上上海阶段练习)已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(2025高二上黑龙江期末)设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(2025高二上全国课后作业)设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 题型02 斜率的计算 【典例2-1】(2025高二上全国课后作业)若直线的倾斜角为，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【典例2-2】(2025高二上河南三门峡期末)经过两点的直线的斜率是(   ) A． B． C． D．1 【变式2-3】(2025高二上江苏常州期末)经过两点的直线的倾斜角为 . 【变式2-2】(2025高二上广东佛山期末)点，在斜率为的直线l上，则(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(2024高二上四川绵阳阶段练习)已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 题型03 直线的方向向量与斜率 【典例3】已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【变式3-1】(2025高二上山东青岛期中)直线的方向向量可以是(    ) A． B． C．(2，) D．(，2) 【变式3-2】若直线的一个方向向量是，则其斜率等于(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】(2025高二上重庆期中)若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是(    ) A． B． C． D． 题型04 已知斜率求参数 【典例4-1】(2025高二上河南开封期中)若经过，两点的直线斜率为1，则实数(    ) A．3 B． C．2 D．1 【典例4-2】(2025高二上青海海南期中)过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【变式4-1】(2025高二上河南南阳期末)点，直线的倾斜角为，若，则的值为(    ) A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【变式4-2】(2025高二上全国课后作业)已知三点共线，则(    ) A． B．6 C． D．2 【变式4-3】(2025高二上全国阶段练习)设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式4-4】过两点、的直线的倾斜角为，则的值为(    ) A．或 B． C． D． 题型05 倾斜角、斜率的取值范围问题 【典例5-1】(2025高二上江苏连云港期末)经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是(    ) A． B． C． D． 【典例5-2】(2025高二上黑龙江哈尔滨期末)已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段(含端点)总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【变式5-1】(2025高二下湖南岳阳开学考试)经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是(  ) A． B． C．，-1)) D．[1，+ 【变式5-2】(2025高二上云南曲靖阶段练习)已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为(   ) A． B． C． D． 【变式5-3】(2024高二上广东广州期中)已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 题型06 利用斜率解决平行问题 【典例6-1】(2025高二上全国课后作业)已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是(   ) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【典例6-2】(2025高二上天津期末)直线与平行，则实数的值为(    ) A．或0 B． C．或2 D．2 【变式6-1】(2024高二上河南期中)“”是“直线和直线平行”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】(2025高二上福建龙岩期末)直线：与直线：平行，则实数为(   ) A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【变式6-3】(2025高二上江苏镇江期末)已知，若，则a的值为(   ) A． B． C．1 D．或1 【变式6-4】(2025高二上浙江台州期末)台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点)，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 题型07 利用斜率解决垂直问题 【典例7-1】(2025高二上河南开封期中)直线和直线的位置关系为(   ) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【典例7-2】(2025高二上湖南衡阳期末)已知，直线，，若，则(   ) A． B． C． D． 【变式7-1】(2025高二下上海阶段练习)直线与垂直，则实数 . 【变式7-2】(2025高二上山东济南阶段练习)倾斜角为的直线与直线垂直，则(    ) A． B． C． D． 【变式7-3】(2025高二上四川南充阶段练习)若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【变式7-4】(2025高二上天津河西期中)已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 题型08 直线斜率在平面几何的应用 【典例8-1】(2025高二上青海海东期中)已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为(    ) A． B． C． D． 【典例8-2】(2025高一上四川达州期末)点在函数的图象上，当时，的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式8-1】(2025高二上全国课前预习)如图，四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式8-2】已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【变式8-3】2(2024·全国·模拟预测)已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．      【变式8-4】(2025高二上四川成都期中)下列说法正确的是(    ) A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 一、单选题 1．(2025高二上浙江杭州期末)过点和点的直线倾斜角为(   ) A． B． C． D． 2．(2025高二上江苏淮安期末)已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是(    ) A．2 B． C． D．－2 3．已知三点共线，则(    ) A． B．6 C． D．2 4．(2025高二上天津红桥阶段练习)如图中的直线，，的斜率分别为，，，则(   ) A． B． C． D． 5．(2025高二上广东深圳期末)直线，则 “”的充要条件是(    ) A． B． C．或 D．以上均不对 6．(2025高二上山东东营期末)已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 7．若，则经过两点，的直线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 8．(2025高二上福建福州阶段练习)直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(2025高二上四川广安阶段练习)在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是(    ) A．任意一条直线都有倾斜角 B．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 C．斜率相等的两直线平行 D．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 10.(23-24高二上福建福州阶段练习)下列说法正确的是( ) A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 11.(2025高二上辽宁大连阶段练习)已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是(    ) A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 三、填空题 12．(2025高二上贵州黔南·期中)已知两点，所在直线的斜率为，则 . 13．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 14．(2025高二上山东阶段练习)已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 .    四、解答题 15.(23-24高二上全国·课后作业)已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行?(2)直线的方向向量的坐标为．(3)直线的倾斜角为? 16.已知，，. (1)若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在(1)的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 17.(2025高二上浙江期中)已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 18.(2025高二上陕西安康阶段练习)直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围. 19.(2025高二上四川巴中阶段练习)已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角；(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 专题 2.1 直线的斜率 教学目标 1、理解倾斜角与斜率的概念、掌握倾斜角与斜率的关系； 2、掌握过两点的直线的斜率公式，理解斜率公式的几何意义； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)倾斜角与斜率的概念及关系；(2)斜率公式及应用． 2、难点：求倾斜角、斜率的范围. 1.直线的倾斜角的定义：当直线 l与 x轴相交时，我们以 x轴为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所成 的角α叫做直线 l的倾斜角． 倾斜角 0  0 90   90  90 180   图示 2.当直线 l与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. 3.直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°. 注：(1)倾斜角表示直线的倾斜程度. (2)每条直线都有一个确定的倾斜角， 且方向相同的直线，其倾斜程度相等倾斜角相同；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； 【即学即练 1-1】(2025 高二上浙江绍兴期末)直线� + 1 = 0 的倾斜角为( ) 第 2 页 共 13 页 A．0 B．� 4 C．� 2 D．不存在 【即学即练 1-2】(2025 高二上天津滨海新阶段练习)直线 � + � − 1 = 0 的倾斜角为( ) A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．135∘ 1.直线的斜率概念：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k表示，即 k＝tan α. 注意：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为 90°的直线没有斜率； 2.斜率与倾斜角的对应关系：倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 恒等于 0 k随 的增大而增大 k随 的增大而减增大 3.过两点的直线的斜率公式 经过两点�1(�1 , �1) , �2(�2 , �2)(�1 ≠ �2)的直线的斜率公式是 � = �2−�1 �2−�1 . 注意：(1)�1 ≠ �2的前提条件. (2)直线斜率的值与�1、�2两点的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． (3)直线斜率的值与两点坐标的顺序无关，即� = �2−�1 �2−�1 = �1−�2 �1−�2 ． (4)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 4.斜率的几何意义：形如�−� �−� 的代数式可以理解为过点�(�, �)与点�(�, �)直线的斜率���. 5.直线的方向向量：直线�1�2上的�1�2以及与它平行的向量都是直线的方向向量； (1)如果直线的斜率 k存在，则直线的方向向量：� = (1, �)； (2)如果直线的斜率不存在，则直线的方向向量：� = (0,1)； (3)如果直线方向向量为：� = (�, �)(x ≠ 0)，则直线的斜率：k = y x ； 如果直线方向向量为：� = (0, �)，则直线的斜率：不存在。 注意：一条直线的方向向量不是唯一的，是一组平行向量。 【即学即练 2-1】已知直线 l的一个方向向量为m = (1, 3)，则直线 l的倾斜角为( )． A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 【即学即练 2-2】已知直线 l的一个方向向量为m = (3, − 3)，则直线 l的倾斜角为( )． A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 第 3 页 共 13 页 【即学即练 2-3】直线 l的一个方向向量为� = (2,6)，倾斜角为 ，则 sin2α =( ) A．− 4 5 B．− 3 5 C．4 5 D．3 5 1.直线在 y轴上的截距大于 0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于 0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (2)直线在 y轴上的截距小于 0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于 0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (3)当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与 x轴垂直； (4)当直线的倾斜角为 0度时，斜率为 0，直线的图线与 x轴平行或重合． 【即学即练 3】(2025 高二上天津红桥阶段练习)如图直线�1，�2，�3的斜率分别为�1，�2，�3，则( ) A．�1 < �2 < �3 B．�3 < �1 < �2 C．�3 < �2 < �1 D．�1 < �3 < �2 第 4 页 共 13 页 1.两直线平行 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2.两直线垂直 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为 0⇔l1⊥l2 【即学即练 4-1】若 A(2, − 1), B( − 2,3), C(3, t)三点在同一条直线上，则 t 的值为( ) A．−2 B．−1 C．1 D．2 题型 01 倾斜角与斜率的关系 【典例 1-1】(2025 高二上浙江绍兴期末)直线� + 1 = 0的倾斜角为( ) A．0 B．� 4 C．� 2 D．不存在 【典例 1-2】(2025高二上浙江杭州期末)若一条直线经过两点(1,0)和( − 2, 3)，则该直线的倾斜角为( ) A．π 6 B．π 3 C．2π 3 D．5π 6 【典例 1-3】已知直线�的斜率� ∈ − 3, 1 ，则�的倾斜角的取值范围为( ) A． π 3 , 3π 4 B． π 6 , 3π 4 C． 0, π 4 ∪ 2π 3 ,π D． 0, π 6 ∪ 3π 4 ,π 【典例 1-4】(2025 高二下·山西期中)若直线� + �� − 1 = 0的倾斜角的大小为π 6 ，则实数� =( ) A． 3 B． 3 3 C．− 3 3 D．− 3 【变式 1-1】(多选)下列说法正确的是( ) A．若�是直线 l的倾斜角，则 0° ≤ � < 180° B．若 k是直线的斜率，则� ∈ � C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 第 5 页 共 13 页 【变式 1-2】(2025 高三全国专题练习)若直线�1: �� + 2� + 1 = 0的倾斜角是直线�2: � − 3� + 1 = 0 的倾斜 角的两倍，则实数� =( ) A．2 3 B． 3 C．−2 3 D．− 3 【变式 1-3】(2025 高二上上海阶段练习)已知直线 l的倾斜角�满足 60° < � ≤ 135°，则 l的斜率 k的取值范 围是( ) A．[ − 1, 3) B．[ − 3, 1] C．( − ∞, − 1] ∪ ( 3, + ∞) D．( − ∞, − 3] ∪ ( − 1, + ∞) 【变式 1-4】(2025高二上黑龙江期末)设直线�的方程为� = 3cos�� + 2 � ∈ � ，则直线�的倾斜角�的取值范 围为( ) A． 0, π 3 B． −∞, π 3 ∪ 2π 3 ,π C． π 3 , 2π 3 D． 0, π 3 ∪ 2π 3 ,π 【变式 1-5】(2025 高二上全国课后作业)设坐标平面内三点  , 3A m m  ，  2, 1B m  ，  1, 4C  ，直线 AC的 斜率等于直线 BC的斜率的三倍，则实数m的值为 . 题型 02 斜率的计算 【典例 2-1】(2025高二上全国课后作业)若直线�的倾斜角为5π 6 ，则直线�的斜率为( ) A．− 3 B． 3 C．− 3 3 D． 3 3 【典例 2-2】(2025高二上河南三门峡期末)经过� − 3, − 3 , � 3, 3 两点的直线的斜率是( ) A．− 3 B．−1 C． 3 D．1 【变式 2-3】(2025 高二上江苏常州期末)经过两点    3,2 , 0,3P Q 的直线 l的倾斜角为 . 【变式 2-2】(2025 高二上广东佛山期末)点� 1, �1 ，� 2, �2 在斜率为 3的直线 l上，则�2 − �1 =( ) A．− 3 B．− 3 3 C． 3 3 D． 3 【变式 2-3】(2024 高二上四川绵阳阶段练习)已知直线�经过点� 2,1 , � 4,5 两点．直线�的倾斜角是直线� 的倾斜角的 2 倍，则直线�的斜率为( ) A．− 4 3 B．4 3 C．− 4 5 D．4 5 题型 03 直线的方向向量与斜率 【典例 3】已知直线�的一个方向向量为� = 3, − 2 ，则直线�的斜率为( ) A．− 3 2 B．− 2 3 C．2 3 D．3 2 第 6 页 共 13 页 【变式 3-1】(2025 高二上山东青岛期中)直线 : 2 1 0l x y   的方向向量可以是( ) A． ( 1, 2)  B． (2,1) C．(2， 1 ) D．( 1 ，2) 【变式 3-2】若直线�的一个方向向量是 − 3, 6 ，则其斜率等于( ) A． 3 6 B．− 3 6 C．2 3 D．−2 3 【变式 3-3】(2025 高二上重庆期中)若直线 l的一个方向向量为  3,1e  ，则直线 l的倾斜角是( ) A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  题型 04 已知斜率求参数 【典例 4-1】(2025 高二上河南开封期中)若经过 (2, )A a ， ( , 2 1)B a a  两点的直线斜率为 1，则实数 a  ( ) A．3 B． 1 2  C．2 D．1 【典例 4-2】(2025 高二上青海海南期中)过 (3 1,3 2)A m m  ， 2 2(2 , )B m m 两个不同点的直线 l的斜率为 1， 则实数 m的值为 ． 【变式 4-1】(2025高二上河南南阳期末)点� 1,2 , � �, 4 ，直线��的倾斜角为�，若 sin� = 2 2 ，则�的值为( ) A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或 1 【变式 4-2】(2025 高二上全国课后作业)已知三点� 2, � , � 1,4 , � 3,8 共线，则� =( ) A．−6 B．6 C．−2 D．2 【变式 4-3】(2025 高二上全国阶段练习)设直线�的方程是� + �� − 4 = 0倾斜角为�.若� 6 < � < 3� 4 ，则�的取 值范围是( ) A． − 3 3 , 1 B． − 3, 1 C． − 3, 0 ∪ 0,1 D． −∞, − 3 3 ∪ 1, + ∞ 【变式 4-4】过两点� �2 + 2,�2 − 3 、� 3 − � −�2, 2� 的直线�的倾斜角为 45°，则�的值为( ) A．−2或−1 B．−1 C．1 2 D．−2 题型 05 倾斜角、斜率的取值范围问题 【典例 5-1】(2025高二上江苏连云港期末)经过两点� 1,� ，� � − 1,3 的直线的倾斜角是锐角，则实数 m 的范围是( ) 第 7 页 共 13 页 A．( − ∞, − 3) ∪ ( − 2, + ∞) B．( − 3, − 2) C．(2,3) D．( − ∞,2) ∪ (3, + ∞) 【典例 5-2】(2025高二上黑龙江哈尔滨期末)已知点 (1, 2)P ，经过点 P作直线 l，若直线 l与连接 (9,1)A ， (5,8)B 两点的线段(含端点)总有公共点，则直线 l的斜率 k的取值范围为( ) A． 1 3, 8 2      B． 1 3, 8 2     C． 1, 8       D． 1 3, , 8 2             【变式 5-1】(2025 高二下湖南岳阳开学考试)经过点  0, 1P  作直线 l，若直线 l与连接  1, 2A  ，  2,1B 两 点的线段总有公共点，求直线 l的斜率 k的取值范围是( ) A．  1,1 B． 11（ ，） C． （ ，-1) 1  （， )D．[1，+） 【变式 5-2】(2025 高二上云南曲靖阶段练习)已知直线�： �+ 2 � + � − 1 � + �− 1 = 0，若直线�与连接 � 1, − 2 ，� 2,1 两点的线段总有公共点，则�的倾斜角范围为( ) A． − π 4 , π 4 B． 3π 4 ,π C． π 4 , 3π 4 D． 0, π 4 ∪ 3π 4 ,π 【变式 5-3】(2024 高二上广东广州期中)已知实数 x、y满足方程� + 2� − 6 = 0，当 0 < � < 4时，则�−1 �+2 的 取值范围是 ． 题型 06 利用斜率解决平行问题 【典例 6-1】(2025 高二上全国课后作业)已知直线 1l 的倾斜角为60，直线 2l 经过点 ( 1, 3), (0,0)A B  ，则直 线 1 2,l l 的位置关系是( ) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【典例 6-2】(2025 高二上天津期末)直线 1 : 4 0l mx y   与 2 : ( 2) 4 0l m x my    平行，则实数m的值为( ) A． 3 或 0 B． 1 C． 1 或 2 D．2 【变式 6-1】(2024 高二上河南期中)“ 4a  ”是“直线  1 : 2 2 0l a x ay    和直线    2 : 1 2 1 0l a x a y     平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式 6-2】(2025 高二上福建龙岩期末)直线 1l ： 3 1 0ax y   与直线 2l ：3 1 0x ay   平行，则实数 a为( ) A．-3 B．3 C．3 或-3 D．1 或-1 【变式 6-3】(2025 高二上江苏镇江期末)已知 1 2: (1 ) 2 0, : 2 4 16 0l x a y a l ax y        ，若 1 2l l∥ ，则 a的 值为( ) 第 8 页 共 13 页 A． 2 3  B． 2 C．1 D． 2 或 1 【变式 6-4】(2025 高二上浙江台州期末)台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会 10 米气步枪比赛 1 金 1 银两块奖 牌后，10 米气步枪射击项目引起了大家的关注.在 10 米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶 心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点�, �)，运动员需要确保靶 纸上的黑色圆心(记为点�)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且 点� 0, 3 2 ，点� 4 5 , 89 50 ，则点�的坐标为( ) A． 10, 9 2 B． 10,5 C． 10, 11 2 D． 10,6 题型 07 利用斜率解决垂直问题 【典例 7-1】(2025 高二上河南开封期中)直线 : 3 1 0l x y   和直线 : 3 1 0m x y   的位置关系为( ) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【典例 7-2】(2025 高二上湖南衡阳期末)已知  0, π  ，直线 1 : cos 1 0l x y    ，  2 : 2cos 3 2 2 0l x y     ， 若 1 2l l ，则  ( ) A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 3π 4 【变式 7-1】(2025 高二下上海阶段练习)直线  1 : 1 2 1 0l a x ay    与 2 : 3 0l x ay   垂直，则实数 a  . 【变式 7-2】(2025 高二上山东济南阶段练习)倾斜角为的直线 l与直线3 4 0x y   垂直，则 2cos   ( ) A． 1 10 B． 1 9 C． 9 10 D． 1 3 【变式 7-3】(2025 高二上四川南充阶段练习)若直线  2 2 5 2 0x a y    与直线 2 1 0bx y   互相垂直，且 a、 b均为正实数，则 1 1 a b  的最小值是( ) A． 3 2 2 5  B．3 2 2 C． 3 2 2 5  D．3 2 2 第 9 页 共 13 页 【变式 7-4】(2025 高二上天津河西期中)已知直线 1 : 4 2l ax y  与直线 2 : 2 5 0l x y b   垂直，点 (1, )c 为垂足， 则a b c  等于 ． 题型 08 直线斜率在平面几何的应用 【典例 8-1】(2025高二上青海海东期中)已知点� −2,2 ，� 6,4 ，� 5,2 ，�是△ ���的垂心．则点 C的坐 标为( ) A． 6,2 B． −2,2 C． −4, − 2 D． 6, − 2 【典例 8-2】(2025 高一上四川达州期末)点�(�, �)在函数� = 2� + 4的图象上，当� ∈ [2,5]时，2+� �+1 的取值范 围是( ) A． 7 3 , 8 3 B． 8 3 , 10 3 C． 5 3 , 16 3 D． 5 3 , 8 3 【变式 8-1】(2025高二上全国课前预习)如图，四边形����的四个顶点分别为�(0,0)，�(2, − 1)，�(4,2)，�(2,3)， 试判断四边形����的形状，并给出证明. 【变式 8-2】已知正△ ���的顶点�(1,1)，�(1,3)，顶点�在第一象限，若点�(�, �)是△ ���内部及其边界上 一点，则 � �+1 的最大值为( ) A．1 2 B．3 2 C．2 3 D．3 3−3 2 【变式 8-3】2(2024·全国·模拟预测)已知函数� � = � 2 − 3, � ≤ 0 2� − 3, � > 0，若对任意的� ∈ −1,2 , � � + 1 ≥ �� 恒成立，则实数�的取值范围是 ． 【变式 8-4】(2025 高二上四川成都期中)下列说法正确的是( ) A．“ 1a   ”是“直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直”的必要不充分条件 B．“ 2a   ”是“直线 22 0ax y a   与直线  1 1 0x a y    互相平行”的充要条件 C．直线 sin 2 0x y    的倾斜角的取值范围是 π 3π0, , π 4 4           D．若  1,0A 、  1,2B  ，直线 l过  0, 1P  且与线段 AB相交，则 l的斜率    , 3 1,k       第 10 页 共 13 页 1．(2025高二上浙江杭州期末)过点(0,0)和点(0,1)的直线倾斜角为( ) A．45° B．90° C．135° D．0° 2．(2025高二上江苏淮安期末)已知直线 l经过两点� −4,1 ，� 0, − 1 ，则直线 l的斜率是( ) A．2 B．1 2 C．− 1 2 D．－2 3．已知三点      2, , 1,4 , 3,8A y B C 共线，则 y  ( ) A． 6 B．6 C． 2 D．2 4．(2025高二上天津红桥阶段练习)如图中的直线�1，�2，�3的斜率分别为�1，�2，�3，则( ) A．�1 < �2 < �3 B．�3 < �1 < �2 C．�3 < �2 < �1 D．�1 < �3 < �2 5．(2025高二上广东深圳期末)直线�1: � + 1 � + � − 1 = 0, �2: 2� + �� + � − 2 = 0，则 “�1//�2”的充要条件 是( ) A．� = 1 B．� =− 2 C．� = 1或−2 D．以上均不对 6．(2025高二上山东东营期末)已知直线�1的斜率为−1，直线�2的倾斜角比直线�1的倾斜角小30∘，则直线�2 的斜率为( ) A．−2 + 3 B．−2 − 3 C．−2+ 3 2 D．−2− 3 2 7．若 π0 2   ，则经过两点  1 0,cosP  ，  2 sin ,0P  的直线的倾斜角为( ) A． B． π 2  C． π  D．  8．(2025高二上福建福州阶段练习)直线 l过 0, − 1 与连接�(2,3), �( − 3,2)的线段相交，则直线 l的斜率 k 的取值范围是( ) A．[ − 1,2] B．( − ∞, − 2] ∪ [1, + ∞) C．[ − 2,1] ∪ (2,3) D． 2, + ∞ ∪ −∞, − 1 第 11 页 共 13 页 9.(2025高二上四川广安阶段练习)在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是( ) A．任意一条直线都有倾斜角 B．若一条直线的倾斜角为�，则该直线的斜率为 tan� C．斜率相等的两直线平行 D．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 10.(23-24 高二上福建福州阶段练习)下列说法正确的是( ) A．直线 3 3 y x  的倾斜角为150 B．若直线 1l 与直线 2l 的斜率相等，则 1 2//l l C． 1l 的斜率为 2， 2l 经过点 (1,2), (4,8)U V ，则 1 2l l D．过点 (5,4)且倾斜角为90的直线方程为 5x  11.(2025 高二上辽宁大连阶段练习)已知：直线 1 : cos sin 1l x y   ，直线 2 : cos sin 1l x y   ，直线 3 : sin cos 1l x y   ，直线 4 : sin cos 1l x y   ，则下列正确的是( ) A．对任意的 2 3, l l  R 恒成立 B．对任意的 1 4, l l R ∥ 恒成立 C．存在 R，使得 1 3l l 成立 D．存在 R，使得 2 4l l∥ 成立 12．(2025高二上贵州黔南·期中)已知两点� �,2 ，� 2,4 所在直线的斜率为 1，则� = . 13．已知四边形MNPQ的顶点        1,1 , 3, 1 , 4,0 , 2,2M N P Q ，则四边形MNPQ的形状为 . 14．(2025高二上山东阶段练习)已知点� −1,0 , � 0,2 ，过� − 3 2 , 1 2 的直线�与线段��有交点，则直线�的斜 率的取值范围是 . 15.(23-24 高二上全国·课后作业)已知直线 l经过两点    1, , ,1A m B m ，问：当m取何值时： (1)直线 l与 x轴平行?(2)直线 l的方向向量的坐标为  3,1 ．(3)直线的倾斜角为 45? 第 12 页 共 13 页 16.已知  1,2A ，  5,0B ，  3,4C . (1)若A， B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标； (2)在(1)的条件下，判断A， B，C，D构成的平行四边形是否为菱形. 17.(2025高二上浙江期中)已知� 2,3 ，� −4,1 ，� 0, − 3 ． (1)求直线 AB和 AC的斜率；(2)若点 D在线段 BC(包括端点)上移动时，求直线 AD的斜率的变化范围． 第 13 页 共 13 页 18.(2025高二上陕西安康阶段练习)直线�过点� 2,2 ，且与以� −1, − 1 和� 3,2 − 3 为端点的线段相交. (1)求直线�的斜率 k的取值范围；(2)求直线�的倾斜角�的取值范围. 19.(2025高二上四川巴中阶段练习)已知坐标平面内三点� −1,1 ，� 1,1 ，� 2, 3 + 1 . (1)求直线 AC的倾斜角；(2)若 D为△ ���的 AB边上一动点，求直线 CD的倾斜角的取值范围. 专题2.1 直线的斜率 教学目标 1、理解倾斜角与斜率的概念、掌握倾斜角与斜率的关系； 2、掌握过两点的直线的斜率公式，理解斜率公式的几何意义； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)倾斜角与斜率的概念及关系；(2)斜率公式及应用． 2、难点：求倾斜角、斜率的范围. 知识点01 直线的倾斜角 1.直线的倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 倾斜角 图示 2.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 3.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注：(1)倾斜角表示直线的倾斜程度. (2)每条直线都有一个确定的倾斜角， 且方向相同的直线，其倾斜程度相等倾斜角相同；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； 【即学即练1-1】(2025高二上浙江绍兴期末)直线的倾斜角为(     ) A． B． C． D．不存在 【答案】C【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【解】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为.故选：C 【即学即练1-2】(2025高二上天津滨海新阶段练习)直线 的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，求出，再由，可得倾斜角. 【解】设直线的倾斜角为，则，又， ∴．∴其倾斜角为.故选：D. 知识点02 直线的斜率 1.直线的斜率概念：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 注意：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； 2.斜率与倾斜角的对应关系：倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 的增减性 恒等于0 k随的增大而增大 k随的增大而减增大 3.过两点的直线的斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 注意：(1)的前提条件. (2)直线斜率的值与两点的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． (3)直线斜率的值与两点坐标的顺序无关，即． (4)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 4.斜率的几何意义：形如的代数式可以理解为过点与点直线的斜率. 5.直线的方向向量：直线上的以及与它平行的向量都是直线的方向向量； (1)如果直线的斜率存在，则直线的方向向量：； (2)如果直线的斜率不存在，则直线的方向向量：； (3)如果直线方向向量为：，则直线的斜率：； 如果直线方向向量为：，则直线的斜率：不存在。 注意：一条直线的方向向量不是唯一的，是一组平行向量。 【即学即练2-1】已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为(    )． A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【解】由题意，直线l的斜率为，所以，所以.故选：B． 【即学即练2-2】已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为(    )． A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【解】由题意，直线l的斜率，所以，所以.故选：D． 【即学即练2-3】直线的一个方向向量为，倾斜角为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】先求出直线的斜率，再利用正切二倍角求出. 【解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则.；故选：D 知识点03 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 1.直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (2)直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (3)当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； (4)当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 【即学即练3】(2025高二上天津红桥阶段练习)如图直线，，的斜率分别为，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以．故选：D 知识点04 两直线的平行与垂直 1.两直线平行 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2.两直线垂直 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【即学即练4-1】若三点在同一条直线上，则t的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得．故选：A. 题型01 倾斜角与斜率的关系 【典例1-1】(2025高二上浙江绍兴期末)直线的倾斜角为(     ) A． B． C． D．不存在 【答案】C【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【解】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为.故选：C 【典例1-2】(2025高二上浙江杭州期末)若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为(    ) A． B． C． D． 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得.故该直线的倾斜角为.故选：D. 【典例1-3】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知.故选：C. 【典例1-4】(2025高二下·山西期中)若直线的倾斜角的大小为，则实数(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【解】直线的斜率，解得.故选：D. 【变式1-1】(多选)下列说法正确的是(   ) A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率.所以ABD正确，C错误.故选：ABD 【变式1-2】(2025高三全国专题练习)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得，故选：C． 【变式1-3】(2025高二上上海阶段练习)已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【解】当时，；当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是.故选：C. 【变式1-4】(2025高二上黑龙江期末)设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【解】直线的斜率为，故， 又，故.故选：D. 【变式1-5】(2025高二上全国课后作业)设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或.故答案为：或. 题型02 斜率的计算 【典例2-1】(2025高二上全国课后作业)若直线的倾斜角为，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【分析】根据即可求解出斜率． 【解】直线的斜率为，故选：C． 【典例2-2】(2025高二上河南三门峡期末)经过两点的直线的斜率是(   ) A． B． C． D．1 【分析】由斜率计算公式即可求解； 【解】由，可得，故选：C. 【变式2-3】(2025高二上江苏常州期末)经过两点的直线的倾斜角为 . 【答案】【分析】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 【解】由题意：，设直线的倾斜角为，则，且. 所以.故答案为： 【变式2-2】(2025高二上广东佛山期末)点，在斜率为的直线l上，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据两点求概率即可求参； 【解】点，在斜率为的直线l上，则.故选：D. 【变式2-3】(2024高二上四川绵阳阶段练习)已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【解】由得，设的倾斜角为，所以， 故，故直线的斜率为，故选：A 题型03 直线的方向向量与斜率 【典例3】已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.故选：B 【变式3-1】(2025高二上山东青岛期中)直线的方向向量可以是(    ) A． B． C．(2，) D．(，2) 【答案】A【分析】先得到直线的斜率，进而可得解. 【解】直线的斜率为2，经对比选项，只有满足题意.故选：A. 【变式3-2】若直线的一个方向向量是，则其斜率等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据直线的方向向量，可求得直线的斜率. 【解】由于直线的一个方向向量是，则直线的斜率为．故选：D. 【变式3-3】(2025高二上重庆期中)若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角. 【解】设倾斜角为，因为直线的方向向量是，则直线的斜率， 故倾斜角的正切值为，且，所以的倾斜角为.故选：A. 题型04 已知斜率求参数 【典例4-1】(2025高二上河南开封期中)若经过，两点的直线斜率为1，则实数(    ) A．3 B． C．2 D．1 【答案】B【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，．故选：B． 【典例4-2】(2025高二上青海海南期中)过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意；综上所述：.故答案为：. 【变式4-1】(2025高二上河南南阳期末)点，直线的倾斜角为，若，则的值为(    ) A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【解】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得．综上，的值为3或．故选：C. 【变式4-2】(2025高二上全国课后作业)已知三点共线，则(    ) A． B．6 C． D．2 【答案】B【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值. 【解】由题可得，即，解得．故选：B 【变式4-3】(2025高二上全国阶段练习)设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合倾斜角与斜率的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解】直线的方程是倾斜角为， 当时，直线的斜率不存在，则； 当时，. 若，则，求得； 若，则，求得. 综上可得，的取值范围为.故选：B. 【变式4-4】过两点、的直线的倾斜角为，则的值为(    ) A．或 B． C． D． 【答案】D【分析】根据斜率公式计算可得. 【解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得.故选：D 题型05 倾斜角、斜率的取值范围问题 【典例5-1】(2025高二上江苏连云港期末)经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是(    ) A． B． C． D． 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ，解得 ，即实数m的范围是，故选：C. 【典例5-2】(2025高二上黑龙江哈尔滨期末)已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段(含端点)总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解】由题意作图如下：设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以.故选：B. 【变式5-1】(2025高二下湖南岳阳开学考试)经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是(  ) A． B． C．，-1)) D．[1，+ 【答案】A【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【解】，如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是，故选：A 【变式5-2】(2025高二上云南曲靖阶段练习)已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【解】直线方程可化为，由，可得直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上，所以，即， 因为所以或；故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D． 【变式5-3】(2024高二上广东广州期中)已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】【分析】转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【解】方程，令，则，令，则， 设点，，所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，，所以的取值范围为.故答案为：. 题型06 利用斜率解决平行问题 【典例6-1】(2025高二上全国课后作业)已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是(   ) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合.故选：A 【典例6-2】(2025高二上天津期末)直线与平行，则实数的值为(    ) A．或0 B． C．或2 D．2 【答案】D【分析】由题意，得，或.当时，重合，不符合题意，当时，即得. 【解】由题意，可得，或， 当时，，，此时重合，不符合题意； 当时，，，，符合题意.故选：D 【变式6-1】(2024高二上河南期中)“”是“直线和直线平行”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可. 【解】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由，即，解得， 经检验时，两直线平行，故. 综上，“”是“直线和直线平行”的充要条件.故选：C 【变式6-2】(2025高二上福建龙岩期末)直线：与直线：平行，则实数为(   ) A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【解】由题意可得：，解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故，故选：B 【变式6-3】(2025高二上江苏镇江期末)已知，若，则a的值为(   ) A． B． C．1 D．或1 【答案】C【分析】根据两直线平行的公式求解即可. 【解】若，则，即，解得或. 当时，满足； 当时，重合； 故.故选：C 【变式6-4】(2025高二上浙江台州期末)台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点)，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以.故选：B 题型07 利用斜率解决垂直问题 【典例7-1】(2025高二上河南开封期中)直线和直线的位置关系为(   ) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以．故选：A． 【典例7-2】(2025高二上湖南衡阳期末)已知，直线，，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【解】由可得，化简得， 解得或(舍去)；又，得，故选：B 【变式7-1】(2025高二下上海阶段练习)直线与垂直，则实数 . 【答案】或【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【解】因为直线与垂直， 所以，解得或，故答案为：或. 【变式7-2】(2025高二上山东济南阶段练习)倾斜角为的直线与直线垂直，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答. 【解】直线的斜率为，而直线l与直线垂直， 且为直线的倾斜角，于是得，而， 则，计算可得.故选：C. 【变式7-3】(2025高二上四川南充阶段练习)若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为.故选：C. 【变式7-4】(2025高二上天津河西期中)已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 【答案】【分析】利用两直线的垂直条件求解参数，再计算代数式即可. 【解】因为，所以， 因为两条直线垂直，且， 所以，解得，此时， 将代入中，得到， 解得，此时垂足为点，将代入中， 得到，解得， 故.故答案为： 题型08 直线斜率在平面几何的应用 【典例8-1】(2025高二上青海海东期中)已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为(    ) A． B． C． D． 【分析】求出直线的斜率，则可求出直线斜率和直线倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【解】设C点标为，直线AH斜率，∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率，∴直线AC斜率，∴， ∴点C的坐标为．故选：D. 【典例8-2】(2025高一上四川达州期末)点在函数的图象上，当时，的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据点在函数的图象上可求出当时的两端点坐标，将看作函数的图象上的点与点(-1，-2)连线的斜率，即可求得答案. 【解】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 ；而可看作函数的图象上的点与点 (-1，-2)连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 ；故选：B. 【变式8-1】(2025高二上全国课前预习)如图，四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，；因此四边形是平行四边形. 【变式8-2】已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为；故选：B. 【变式8-3】2(2024·全国·模拟预测)已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】【分析】作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可. 【解】由得，作出在内的图象如图所示， 设， 直线恒过定点， 直线的斜率，直线的斜率， 所以数形结合可知，即的取值范围为．故答案为：.      【变式8-4】(2025高二上四川成都期中)下列说法正确的是(    ) A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 【答案】BCD【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行，则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示：设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点(不包括点)运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点(不包括点)往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.故选：BCD. 一、单选题 1．(2025高二上浙江杭州期末)过点和点的直线倾斜角为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为.故选：B. 2．(2025高二上江苏淮安期末)已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是(    ) A．2 B． C． D．－2 【答案】C【分析】利用直线斜率公式直接进行求解即可. 【解】因为直线l经过两点，， 所以直线l的斜率是，故选：C. 3．已知三点共线，则(    ) A． B．6 C． D．2 【答案】B【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值. 【解】由题可得，即，解得．故选：B 4．(2025高二上天津红桥阶段练习)如图中的直线，，的斜率分别为，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解】设直线,的倾斜角为，由图可知， 所以，即，，所以．故选：D. 5．(2025高二上广东深圳期末)直线，则 “”的充要条件是(    ) A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”.故选：B. 6．(2025高二上山东东营期末)已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小，所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为故选：B. 7．若，则经过两点，的直线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 【答案】B【分析】先利用两点的坐标求出直线的斜率，再利用诱导公式验证各选项. 【解】由题意，得该直线的斜率为，且， 且，， ，所以该直线的倾斜角为.故选：B． 8．(2025高二上福建福州阶段练习)直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】数形结合，将问题转化为直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线，再由斜率的定义求解即可； 【解】直线l过点.如图，由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或， 而，因此或， 即k的取值范围是.故选：D. 二、多选题 9.(2025高二上四川广安阶段练习)在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是(    ) A．任意一条直线都有倾斜角 B．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 C．斜率相等的两直线平行 D．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 【答案】BCD【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，B错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，C错误； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，D错误；故选:BCD. 10.(23-24高二上福建福州阶段练习)下列说法正确的是( ) A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.    故选：AD. 11.(2025高二上辽宁大连阶段练习)已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是(    ) A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【解】对于A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； 对于B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； 对于C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； 对于D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意；故选：ACD． 三、填空题 12．(2025高二上贵州黔南·期中)已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】0【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得.故答案为：. 13．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形【分析】求出直线斜率，根据斜率判断位置关系，即可得出结论. 【解】，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形. 又.平行四边形为矩形.故答案为：矩形. 14．(2025高二上山东阶段练习)已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】【分析】根据斜率公式即可得，进而可求解. 【解】直线的斜率为，直线的斜率为， 故直线与线段有交点，则,即，故答案为：.    四、解答题 15.(23-24高二上全国·课后作业)已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行?(2)直线的方向向量的坐标为．(3)直线的倾斜角为? 【分析】利用斜率公式及直线的方向向量的概念求解． 【解】(1)若直线与轴平行，则直线的斜率，所以． (2)直线的方向向量的坐标为，故，即，解得． (3)由题意可知，直线的斜率，即，解得． 16.已知，，. (1)若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在(1)的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【分析】(1)分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可；(2)分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【解】(1)由题意得，，，设. 若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即. 综上，点的坐标为(-1，6)或(7，2)或(3，-2). (2)若的坐标为(-1，6)， 因为，，所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为(7，2)，因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为(3，-2)，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 17.(2025高二上浙江期中)已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【分析】(1)由斜率公式直接求解；(2)由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解】(1)由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． (2)当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 18.(2025高二上陕西安康阶段练习)直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围. 【分析】(1)在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围；(2)根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解】(1)在平面直角坐标系中画出图象如图：， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. (2)由(1)可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 19.(2025高二上四川巴中阶段练习)已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角；(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【分析】(1)由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 (2)数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解】(1)由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. (2)如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，， 所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 23 页 专题 2.1 直线的斜率 教学目标 1、理解倾斜角与斜率的概念、掌握倾斜角与斜率的关系； 2、掌握过两点的直线的斜率公式，理解斜率公式的几何意义； 3、理解并掌握两直线的平行、垂直与斜率的关系； 教学重难点 1、重点：(1)倾斜角与斜率的概念及关系；(2)斜率公式及应用． 2、难点：求倾斜角、斜率的范围. 1.直线的倾斜角的定义：当直线 l与 x轴相交时，我们以 x轴为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所成 的角α叫做直线 l的倾斜角． 倾斜角 0  0 90   90  90 180   图示 2.当直线 l与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. 3.直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°. 注：(1)倾斜角表示直线的倾斜程度. (2)每条直线都有一个确定的倾斜角， 且方向相同的直线，其倾斜程度相等倾斜角相同；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等； 【即学即练 1-1】(2025 高二上浙江绍兴期末)直线� + 1 = 0 的倾斜角为( ) 第 2 页 共 23 页 A．0 B．� 4 C．� 2 D．不存在 【答案】C【分析】根据直线方程得直线与 x轴垂直可得解. 【解】直线� + 1 = 0 即� =− 1，是一条与 x轴垂直的直线， 所以直线� + 1 = 0 的倾斜角为π 2 .故选：C 【即学即练 1-2】(2025 高二上天津滨海新阶段练习)直线 � + � − 1 = 0 的倾斜角为( ) A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．135∘ 【答案】D【分析】设直线�的倾斜角为�，求出 tan�，再由 0 ≤ � < π，可得倾斜角. 【解】设直线�的倾斜角为�，则� = tan� =− 1，又 0 ≤ � < π， ∴� = 3π 4 ．∴其倾斜角为135∘.故选：D. 1.直线的斜率概念：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k表示，即 k＝tan α. 注意：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为 90°的直线没有斜率； 2.斜率与倾斜角的对应关系：倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 恒等于 0 k随 的增大而增大 k随 的增大而减增大 3.过两点的直线的斜率公式 经过两点�1(�1 , �1) , �2(�2 , �2)(�1 ≠ �2)的直线的斜率公式是 � = �2−�1 �2−�1 . 注意：(1)�1 ≠ �2的前提条件. (2)直线斜率的值与�1、�2两点的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． (3)直线斜率的值与两点坐标的顺序无关，即� = �2−�1 �2−�1 = �1−�2 �1−�2 ． (4)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 4.斜率的几何意义：形如�−� �−� 的代数式可以理解为过点�(�, �)与点�(�, �)直线的斜率���. 5.直线的方向向量：直线�1�2上的�1�2以及与它平行的向量都是直线的方向向量； (1)如果直线的斜率 k存在，则直线的方向向量：� = (1, �)； (2)如果直线的斜率不存在，则直线的方向向量：� = (0,1)； (3)如果直线方向向量为：� = (�, �)(x ≠ 0)，则直线的斜率：k = y x ； 如果直线方向向量为：� = (0, �)，则直线的斜率：不存在。 注意：一条直线的方向向量不是唯一的，是一组平行向量。 【即学即练 2-1】已知直线 l的一个方向向量为m = (1, 3)，则直线 l的倾斜角为( )． 第 3 页 共 23 页 A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 【答案】B【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【解】由题意，直线 l的斜率为 3，所以 tanα = 3，所以α = π 3.故选：B． 【即学即练 2-2】已知直线 l的一个方向向量为m = (3, − 3)，则直线 l的倾斜角为( )． A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 【答案】D【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【解】由题意，直线 l的斜率 k = − 3 3 =− 3 3 ，所以 tanα =− 3 3 ，所以α = 5π 6 .故选：D． 【即学即练 2-3】直线 l的一个方向向量为� = (2,6)，倾斜角为 ，则 sin2α =( ) A．− 4 5 B．− 3 5 C．4 5 D．3 5 【答案】D【分析】先求出直线的斜率 tan ，再利用正切二倍角求出 tan 2 . 【解】因为直线 l的一个方向向量为� = (2,6)，所以 k = tanα = 3， 则.sin2α = 2tanα 1+tan2α = 6 1+9 = 3 5 ；故选：D 1.直线在 y轴上的截距大于 0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于 0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (2)直线在 y轴上的截距小于 0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于 0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对 于 x轴的正方向的倾斜程度也就越大； (3)当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与 x轴垂直； 第 4 页 共 23 页 (4)当直线的倾斜角为 0度时，斜率为 0，直线的图线与 x轴平行或重合． 【即学即练 3】(2025 高二上天津红桥阶段练习)如图直线�1，�2，�3的斜率分别为�1，�2，�3，则( ) A．�1 < �2 < �3 B．�3 < �1 < �2 C．�3 < �2 < �1 D．�1 < �3 < �2 【答案】D【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解】设直线�1, �2,�3的倾斜角为�1,�2,�3，由图可知0∘ < �3 < �2 < 90∘ < �1 < 180∘，所以 tan�1 < 0,tan�2 > tan�3 > 0，即 0 < �3 < �2，�1 < 0，所以�1 < �3 < �2．故选：D 1.两直线平行 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2.两直线垂直 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为 0⇔l1⊥l2 【即学即练 4-1】若 A(2, − 1), B( − 2,3), C(3, t)三点在同一条直线上，则 t 的值为( ) A．−2 B．−1 C．1 D．2 【答案】A【分析】由三点共线得 AB ACk k ，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 第 5 页 共 23 页 【解】因为 , ,A B C 三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以 AB ACk k ，则 3+1 −2−2 = �+1 3−2 ，解得 t =− 2．故选：A. 题型 01 倾斜角与斜率的关系 【典例 1-1】(2025 高二上浙江绍兴期末)直线� + 1 = 0 的倾斜角为( ) A．0 B．� 4 C．� 2 D．不存在 【答案】C【分析】根据直线方程得直线与 x轴垂直可得解. 【解】直线� + 1 = 0 即� =− 1，是一条与 x轴垂直的直线， 所以直线� + 1 = 0 的倾斜角为π 2 .故选：C 【典例 1-2】(2025高二上浙江杭州期末)若一条直线经过两点(1,0)和( − 2, 3)，则该直线的倾斜角为( ) A．π 6 B．π 3 C．2π 3 D．5π 6 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解】直线的斜率为 3−0 −2−1 =− 3 3 ，设该直线的倾斜角为�, � ∈ 0,π ， 故 tan� =− 3 3 ，解得� = 5π 6 .故该直线的倾斜角为5π 6 .故选：D. 【典例 1-3】已知直线�的斜率� ∈ − 3, 1 ，则�的倾斜角的取值范围为( ) A． π 3 , 3π 4 B． π 6 , 3π 4 C． 0, π 4 ∪ 2π 3 ,π D． 0, π 6 ∪ 3π 4 ,π 【答案】C【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【解】设�的倾斜角为�，则� ∈ 0,π ，且� = tan� ∈ − 3, 1 ， 如图，由正切函数的性质知� ∈ 0, π 4 ∪ 2π 3 ,π .故选：C. 【典例 1-4】(2025 高二下·山西期中)若直线� + �� − 1 = 0 的倾斜角的大小为π 6 ，则实数� =( ) A． 3 B． 3 3 C．− 3 3 D．− 3 【答案】D【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【解】直线� + �� − 1 = 0 的斜率� =− 1 � = tan π 6 = 3 3 ，解得� =− 3.故选：D. 【变式 1-1】(多选)下列说法正确的是( ) A．若�是直线 l的倾斜角，则 0° ≤ � < 180° B．若 k是直线的斜率，则� ∈ � C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【解】直线的倾斜角�必定存在，且满足 0 ≤ � < 180°； 直线的斜率� ∈ R，但不是所有直线都存在斜率.所以 ABD正确，C错误.故选：ABD 【变式 1-2】(2025 高三全国专题练习)若直线�1: �� + 2� + 1 = 0 的倾斜角是直线�2: � − 3� + 1 = 0 的倾斜 角的两倍，则实数� =( ) A．2 3 B． 3 C．−2 3 D．− 3 第 6 页 共 23 页 【答案】C【分析】求出直线�2的倾斜角，从而得到直线�1的倾斜角及斜率，得到�. 【解】因为直线�2的斜率�2 = 3 3 ，对应的倾斜角为 π 6 ， 由题意可得，直线�1的倾斜角为 π 3 ，故其斜率�1 =− � 2 = 3，解得� =− 2 3，故选：C． 【变式 1-3】(2025 高二上上海阶段练习)已知直线 l的倾斜角�满足 60° < � ≤ 135°，则 l的斜率 k的取值范 围是( ) A．[ − 1, 3) B．[ − 3, 1] C．( − ∞, − 1] ∪ ( 3, + ∞) D．( − ∞, − 3] ∪ ( − 1, + ∞) 【答案】C【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系� = tan�，�为倾斜角，分别求出倾斜角在60°和135°时斜 率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【解】当� = 60°时，� = tan60° = 3；当� = 135°时，� = tan135° =− 1. 因为� = tan�在[60°, 90°)上单调递增，在(90°, 135°]上也单调递增. 当60° ≤ � < 90°时，� = tan� ≥ tan60° = 3； 当90° < � ≤ 135°时，� = tan� ≤ tan135° =− 1. 所以�的取值范围是( − ∞, − 1] ∪ [ 3, + ∞).故选：C. 【变式 1-4】(2025高二上黑龙江期末)设直线�的方程为� = 3cos�� + 2 � ∈ � ，则直线�的倾斜角�的取值范 围为( ) A． 0, π 3 B． −∞, π 3 ∪ 2π 3 ,π C． π 3 , 2π 3 D． 0, π 3 ∪ 2π 3 ,π 【分析】先求出直线�的斜率范围，从而得到 tan� ∈ − 3, 3 ，得到答案. 【解】直线�的斜率为 3cos� ∈ − 3, 3 ，故 tan� ∈ − 3, 3 ， 又� ∈ 0,π ，故� ∈ 0, π 3 ∪ 2π 3 ,π .故选：D. 【变式 1-5】(2025 高二上全国课后作业)设坐标平面内三点  , 3A m m  ，  2, 1B m  ，  1, 4C  ，直线 AC的 斜率等于直线 BC的斜率的三倍，则实数m的值为 . 【答案】1或 2【分析】由题设 3AC BCk k ，应用斜率的两点式列方程求 m值，注意验证结果. 【解】由 3AC BCk k ，得 4 3 4 13 1 1 2 m m m           ，即 7 5 1 m m m      . 所以     1 5 7 0m m m     ，得 2 3 2 0m m   ，即   1 2 0m m   . 1m  或 2m  ，经验证均符合题意，故m的值是1或 2 .故答案为：1或 2 . 题型 02 斜率的计算 【典例 2-1】(2025高二上全国课后作业)若直线�的倾斜角为5π 6 ，则直线�的斜率为( ) A．− 3 B． 3 C．− 3 3 D． 3 3 【分析】根据�=tan 5π 6 即可求解出斜率． 【解】直线�的斜率为 tan 5π 6 =− 3 3 ，故选：C． 【典例 2-2】(2025高二上河南三门峡期末)经过� − 3, − 3 , � 3, 3 两点的直线的斜率是( ) A．− 3 B．−1 C． 3 D．1 第 7 页 共 23 页 【分析】由斜率计算公式即可求解； 【解】由� − 3, − 3 , � 3, 3 ，可得��� = 3− −3 3− − 3 = 3，故选：C. 【变式 2-3】(2025 高二上江苏常州期末)经过两点    3,2 , 0,3P Q 的直线 l的倾斜角为 . 【答案】 5π 6 【分析】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 【解】由题意： 3 2 3 30 3PQ k     ，设直线 l的倾斜角为θ，则 3tanθ 3   ，且  0, π  . 所以 5πθ 6  .故答案为： 5π 6 【变式 2-2】(2025 高二上广东佛山期末)点� 1, �1 ，� 2, �2 在斜率为 3的直线 l上，则�2 − �1 =( ) A．− 3 B．− 3 3 C． 3 3 D． 3 【答案】D【分析】根据两点求概率即可求参； 【解】点� 1, �1 ，� 2, �2 在斜率为 3的直线 l上，则 �2−�1 2−1 = �2 − �1 = 3.故选：D. 【变式 2-3】(2024 高二上四川绵阳阶段练习)已知直线�经过点� 2,1 , � 4,5 两点．直线�的倾斜角是直线� 的倾斜角的 2 倍，则直线�的斜率为( ) A．− 4 3 B．4 3 C．− 4 5 D．4 5 【答案】A【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【解】由� 2,1 , � 4,5 得��� = 5−1 4−2 = 2，设�的倾斜角为�，所以 tan� = 2， 故 tan2� = 2tan� 1−tan2� =− 4 3 ，故直线�的斜率为− 4 3 ，故选：A 题型 03 直线的方向向量与斜率 【典例 3】已知直线�的一个方向向量为� = 3, − 2 ，则直线�的斜率为( ) A．− 3 2 B．− 2 3 C．2 3 D．3 2 【答案】B【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【解】因为直线�的一个方向向量为� = 3, − 2 ，所以直线�的斜率为− 2 3 .故选：B 【变式 3-1】(2025 高二上山东青岛期中)直线 : 2 1 0l x y   的方向向量可以是( ) A． ( 1, 2)  B． (2,1) C．(2， 1 ) D．( 1 ，2) 【答案】A【分析】先得到直线的斜率，进而可得解. 【解】直线 : 2 1 0l x y   的斜率为 2，经对比选项，只有 ( 1, 2)  满足题意.故选：A. 【变式 3-2】若直线�的一个方向向量是 − 3, 6 ，则其斜率等于( ) A． 3 6 B．− 3 6 C．2 3 D．−2 3 【答案】D【分析】根据直线的方向向量，可求得直线�的斜率. 【解】由于直线�的一个方向向量是 − 3, 6 ，则直线�的斜率为 6 − 3 =− 2 3．故选：D. 【变式 3-3】(2025 高二上重庆期中)若直线 l的一个方向向量为  3,1e  ，则直线 l的倾斜角是( ) 第 8 页 共 23 页 A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  【答案】A【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角. 【解】设倾斜角为 ，因为直线 l的方向向量是  3,1e  ，则直线 l的斜率 1 3 33 k   ， 故倾斜角 的正切值为 3tan 3   ，且  0, π  ，所以 l的倾斜角为 π6  .故选：A. 题型 04 已知斜率求参数 【典例 4-1】(2025 高二上河南开封期中)若经过 (2, )A a ， ( , 2 1)B a a  两点的直线斜率为 1，则实数 a  ( ) A．3 B． 1 2  C．2 D．1 【答案】B【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数 a . 【解】过 (2, )A a ， ( , 2 1)B a a  两点的直线斜率为 2 1 1 2 a a a      ， 所以 2 1 2a a a     ，解得， 1 2 a   ．故选：B． 【典例 4-2】(2025 高二上青海海南期中)过 (3 1,3 2)A m m  ， 2 2(2 , )B m m 两个不同点的直线 l的斜率为 1， 则实数 m的值为 ． 【答案】 1 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【解】根据题意可得 2 2 3 2 1 2 3 1 m m m m      ，解得 1m  或 1 ， 当 1m  时，点 A，B重合，不符合题意，舍去； 当 1m   时，经验证，符合题意；综上所述： 1m   .故答案为： 1 . 【变式 4-1】(2025高二上河南南阳期末)点� 1,2 , � �, 4 ，直线��的倾斜角为�，若 sin� = 2 2 ，则�的值为( ) A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或 1 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【解】由 sin� = 2 2 得，� = π 4 或� = 3π 4 ． 当� = π 4 时，��� = 4−2 �−1 = 1，解得� = 3； 当� = 3π 4 时，��� = 4−2 �−1 =− 1，解得� =− 1．综上，�的值为 3或−1．故选：C. 【变式 4-2】(2025 高二上全国课后作业)已知三点� 2, � , � 1,4 , � 3,8 共线，则� =( ) A．−6 B．6 C．−2 D．2 【答案】B【分析】根据三点共线列方程，从而求得�的值. 【解】由题可得��� = ���，即 4−� 1−2 = 8−4 3−1 ，解得� = 6．故选：B 【变式 4-3】(2025 高二上全国阶段练习)设直线�的方程是� + �� − 4 = 0 倾斜角为�.若� 6 < � < 3� 4 ，则�的取 值范围是( ) 第 9 页 共 23 页 A． − 3 3 , 1 B． − 3, 1 C． − 3, 0 ∪ 0,1 D． −∞, − 3 3 ∪ 1, + ∞ 【答案】B【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合倾斜角与斜率的关系可得出关于实数�的不 等式，综合可得出实数�的取值范围. 【解】∵直线�的方程是� + �� − 4 = 0 倾斜角为�， 当� = � 2 时，直线�的斜率不存在，则� = 0； 当� ≠ � 2 时，tan� =− 1 � . 若 � 6 < � < � 2 ，则 tan� =− 1 � > 3 3 ，求得− 3 < � < 0； 若 � 2 < � < 3� 4 ，则 tan� =− 1 � <− 1，求得 0 < � < 1. 综上可得，�的取值范围为 − 3, 1 .故选：B. 【变式 4-4】过两点� �2 + 2,�2 − 3 、� 3 − � −�2, 2� 的直线�的倾斜角为 45°，则�的值为( ) A．−2或−1 B．−1 C．1 2 D．−2 【答案】D【分析】根据斜率公式计算可得. 【解】因为过两点� �2 + 2,�2 − 3 、� 3 − � −�2, 2� 的直线�的倾斜角为 45 ∘， 所以��� = tan45∘ = 1，即 �2−3−2� �2+2− 3−�−�2 = 1 3 − � −�2 ≠ �2 + 2 ，解得� =− 2.故选：D 题型 05 倾斜角、斜率的取值范围问题 【典例 5-1】(2025高二上江苏连云港期末)经过两点� 1,� ，� � − 1,3 的直线的倾斜角是锐角，则实数 m 的范围是( ) A．( − ∞, − 3) ∪ ( − 2, + ∞) B．( − 3, − 2) C．(2,3) D．( − ∞,2) ∪ (3, + ∞) 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【解】由题意经过两点� 1,� ，� � − 1,3 的直线的倾斜角是锐角， 可知�− 1 ≠ 1 ，且3−� �−2 > 0 ，解得 2 < � < 3 ，即实数 m的范围是(2,3)，故选：C. 【典例 5-2】(2025高二上黑龙江哈尔滨期末)已知点 (1, 2)P ，经过点 P作直线 l，若直线 l与连接 (9,1)A ， (5,8)B 两点的线段(含端点)总有公共点，则直线 l的斜率 k的取值范围为( ) A． 1 3, 8 2      B． 1 3, 8 2     C． 1, 8       D． 1 3, , 8 2             【答案】B【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解】由题意作图如下：设直线 AP的斜率为 APk ，直线 BP的斜率为 BPk ，直线 l的斜率为 lk ， 由图可知 AP l BPk k k  ， 由  9,1A ，  5,8B ，  1,2P ，则 1 2 1 9 1 8AP k     ， 8 2 6 3 5 1 4 2BP k     ， 第 10 页 共 23 页 所以 1 3 8 2l k   .故选：B. 【变式 5-1】(2025 高二下湖南岳阳开学考试)经过点  0, 1P  作直线 l，若直线 l与连接  1, 2A  ，  2,1B 两 点的线段总有公共点，求直线 l的斜率 k的取值范围是( ) A．  1,1 B． 11（ ，） C． （ ，-1) 1  （， )D．[1，+） 【答案】A【分析】先求得 ,PA PBk k ，再利用数形结合法求解. 【解】  1 2 1 11, 1 0 1 0 2PA PB k k             ，如图所示： 由图知：若直线 l与连接  1, 2A  ，  2,1B 两点的线段总有公共点， 则直线 l的斜率 k的取值范围是 1,1 ，故选：A 【变式 5-2】(2025 高二上云南曲靖阶段练习)已知直线�： �+ 2 � + � − 1 � + �− 1 = 0，若直线�与连接 � 1, − 2 ，� 2,1 两点的线段总有公共点，则�的倾斜角范围为( ) A． − π 4 , π 4 B． 3π 4 ,π C． π 4 , 3π 4 D． 0, π 4 ∪ 3π 4 ,π 【答案】D【分析】先求出直线�所过定点�的坐标，数形结合可求出直线�的斜率的取值范围，即可得出直线 �的倾斜角的取值范围． 【解】直线�方程可化为� � + � + 1 + 2� − � − 1 = 0，由 � + � + 1 = 0 2� − � − 1 = 0，可得直线�过定点� 0, − 1 ， 设直线�的斜率为�，直线�的倾斜角为�，则 0 ≤ � < π 因为直线��的斜率为−1− −2 0−1 =− 1，直线��的斜率为−1−1 0−2 = 1， 因为直线�经过点� 0, − 1 ，且与线段��总有公共点， 将� 1, − 2 代入方程： �+ 2 � + � − 1 � + � − 1 = 0 可得：3 = 0 不成立，� 1, − 2 不在直线�上，所以−1 < � ≤ 1，即−1 < tan� ≤ 1， 因为 0 ≤ � < π所以 0 ≤ � ≤ π 4 或 3π 4 < � < π；故直线�的倾斜角的取值范围是 0, π 4 ∪ 3π 4 ,π ．故选：D． 第 11 页 共 23 页 【变式 5-3】(2024 高二上广东广州期中)已知实数 x、y满足方程� + 2� − 6 = 0，当 0 < � < 4 时，则�−1 �+2 的 取值范围是 ． 【答案】 0,1 【分析】转化为线段��上的点与� −2,1 构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【解】方程� + 2� − 6 = 0，令� = 0，则� = 3，令� = 4，则� = 1， 设点� 0,3 ，� 4,1 ，所以�−1 �+2 可以表示线段��上的点与� −2,1 构成的直线的斜率， ��� = 3−1 0+2 = 1，��� = 0，所以 �−1 �+2 的取值范围为 0,1 .故答案为： 0,1 . 题型 06 利用斜率解决平行问题 【典例 6-1】(2025 高二上全国课后作业)已知直线 1l 的倾斜角为60，直线 2l 经过点 ( 1, 3), (0,0)A B  ，则直 线 1 2,l l 的位置关系是( ) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解】依题意，直线 1l 的斜率 1 tan 60 3k    ，直线 2l 的斜率 2 3 0 3 1 0 k      ， 即 1 2k k ，所以 1 2l l// 或 1 2,l l 重合.故选：A 【典例 6-2】(2025 高二上天津期末)直线 1 : 4 0l mx y   与 2 : ( 2) 4 0l m x my    平行，则实数m的值为( ) A． 3 或 0 B． 1 C． 1 或 2 D．2 【答案】D【分析】由题意  2 2 0m m   ，得 1m   ，或 2m  .当 1m   时，1 2,l l 重合，不符合题意，当 2m  时 1 2l l// ，即得. 【解】由题意  2 2 0m m   ，可得 1m   ，或 2m  ， 当 1m   时， 1 : 4 0l x y    ， 2 : 4 0l x y   ，此时 1 2,l l 重合，不符合题意； 当 2m  时， 1 : 2 4 0l x y   ， 2 : 2 2 0l x y   ， 1 2l l// ，符合题意.故选：D 【变式 6-1】(2024 高二上河南期中)“ 4a  ”是“直线  1 : 2 2 0l a x ay    和直线    2 : 1 2 1 0l a x a y     平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可. 【解】当 4a  时， 1 : 3 2 1 0l x y   ， 2 : 3 2 1 0l x y   ，两直线斜率都为 3 2 k   且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由 ( 2)( 2) ( 1) 0a a a a     ，即 4 0a   ，解得 4a  ， 经检验 4a  时，两直线平行，故 4a  . 综上，“ 4a  ”是“直线  1 : 2 2 0l a x ay    和直线    2 : 1 2 1 0l a x a y     平行”的充要条件.故选：C 第 12 页 共 23 页 【变式 6-2】(2025 高二上福建龙岩期末)直线 1l ： 3 1 0ax y   与直线 2l ：3 1 0x ay   平行，则实数 a为( ) A．-3 B．3 C．3 或-3 D．1 或-1 【答案】B【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【解】由题意可得： 3 3 0a a    ，解得： 3a   ， 当 3a  时，直线 1l ：3 3 1 0x y   与直线 2l ：3 3 1 0x y   平行， 当 3a   时，直线 1l ： 3 3 1 0x y    即3 3 1 0x y   ，与直线 2l ：3 3 1 0x y   ，重合，舍去， 故 3a  ，故选：B 【变式 6-3】(2025 高二上江苏镇江期末)已知 1 2: (1 ) 2 0, : 2 4 16 0l x a y a l ax y        ，若 1 2l l∥ ，则 a的 值为( ) A． 2 3  B． 2 C．1 D． 2 或 1 【答案】C【分析】根据两直线平行的公式求解即可. 【解】若 1 2l l∥ ，则  1 4 2 1 0a a    ，即 2 2 0a a   ，解得 1a  或 2a   . 当 1a  时， 1 2: 2 1 0, : 2 4 16 0l x y l x y      满足； 当 2a   时， 1 2: 4 0, : 4 4 16 0l x y l x y       重合； 故 1a  .故选：C 【变式 6-4】(2025 高二上浙江台州期末)台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会 10 米气步枪比赛 1 金 1 银两块奖 牌后，10 米气步枪射击项目引起了大家的关注.在 10 米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶 心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点�, �)，运动员需要确保靶 纸上的黑色圆心(记为点�)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且 点� 0, 3 2 ，点� 4 5 , 89 50 ，则点�的坐标为( ) A． 10, 9 2 B． 10,5 C． 10, 11 2 D． 10,6 【答案】B【分析】由题意�, �, �三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解】由题意�, �, �三点共线，设� 10, � ，因为� 0, 3 2 ，� 4 5 , 89 50 ， 所以��� = 89 50− 3 2 4 5−0 = 7 20 = ��� = �−32 10−0 ，解得� = 5，所以� 10,5 .故选：B 题型 07 利用斜率解决垂直问题 【典例 7-1】(2025 高二上河南开封期中)直线 : 3 1 0l x y   和直线 : 3 1 0m x y   的位置关系为( ) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 第 13 页 共 23 页 【答案】A【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【解】直线 : 3 1 0l x y   和直线 : 3 1 0m x y   的斜率分别为 1 , 3 3  ， 因为  1 3 1 3     ，所以 l m ．故选：A． 【典例 7-2】(2025 高二上湖南衡阳期末)已知  0, π  ，直线 1 : cos 1 0l x y    ，  2 : 2cos 3 2 2 0l x y     ， 若 1 2l l ，则  ( ) A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 3π 4 【答案】B【分析】由 1 2l l 可得    cos 2cos 3 1 2 0       ，进而可得 1cos 2   ，进而可得. 【解】由 1 2l l 可得    cos 2cos 3 1 2 0       ，化简得 22cos 3cos 2 0    ， 解得 1cos 2   或 cos 2   (舍去)；又  0, π  ，得 π 3   ，故选：B 【变式 7-1】(2025 高二下上海阶段练习)直线  1 : 1 2 1 0l a x ay    与 2 : 3 0l x ay   垂直，则实数 a  . 【答案】1或 1 2  【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【解】因为直线  1 : 1 2 1 0l a x ay    与 2 : 3 0l x ay   垂直， 所以    1 1 2 0a a a     ，解得 1a  或 1 2  ，故答案为：1或 1 2  . 【变式 7-2】(2025 高二上山东济南阶段练习)倾斜角为的直线 l与直线3 4 0x y   垂直，则 2cos   ( ) A． 1 10 B． 1 9 C． 9 10 D． 1 3 【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线 l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答. 【解】直线3 4 0x y   的斜率为 3 ，而直线 l与直线3 4 0x y   垂直， 且为直线 l的倾斜角，于是得 1tan 3   ，而0 π  ， 则 2 2 sin 1 cos 3 sin cos 1           ，计算可得 2 9cos 10   .故选：C. 【变式 7-3】(2025 高二上四川南充阶段练习)若直线  2 2 5 2 0x a y    与直线 2 1 0bx y   互相垂直，且 a、 b均为正实数，则 1 1 a b  的最小值是( ) A． 3 2 2 5  B．3 2 2 C． 3 2 2 5  D．3 2 2 【答案】C【分析】由两直线垂直可得出 2 5a b  ，将代数式 1 1 a b  与  1 2 5 a b 相乘，展开后利用基本不等 式可求得 1 1 a b  的最小值. 第 14 页 共 23 页 【解】因为 a、b均为正实数，且直线  2 2 5 2 0x a y    与直线 2 1 0bx y   互相垂直， 则  2 2 2 5 0b a   ，可得 2 5a b  ， 所以，  1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 22 3 3 2 5 5 5 5 a b a ba b a b a b b a b a                            ， 当且仅当 2 2 5 0, 0 a b b a a b a b          时，即当 5 25 2 5 2 5 a b        时，等号成立， 因此， 1 1 a b  的最小值为 3 2 2 5  .故选：C. 【变式 7-4】(2025 高二上天津河西期中)已知直线 1 : 4 2l ax y  与直线 2 : 2 5 0l x y b   垂直，点 (1, )c 为垂足， 则a b c  等于 ． 【答案】 4 【分析】利用两直线的垂直条件求解参数，再计算代数式即可. 【解】因为 1 : 4 2l ax y  ，所以 1 : 4 2 0l ax y   ， 因为两条直线垂直，且 2 : 2 5 0l x y b   ， 所以 2 5 4 0a    ，解得 10a  ，此时 1 0:10 4 2l x y   ， 将 (1, )c 代入 1 0:10 4 2l x y   中，得到10 4 2 0c   ， 解得 2c   ，此时垂足为点 (1, 2) ，将 (1, 2) 代入 2 : 2 5 0l x y b   中， 得到 2 5 ( 2) 0b    ，解得 2b   ， 故 10 12 2 4a b c       .故答案为： 4 题型 08 直线斜率在平面几何的应用 【典例 8-1】(2025高二上青海海东期中)已知点� −2,2 ，� 6,4 ，� 5,2 ，�是△ ���的垂心．则点 C的坐 标为( ) A． 6,2 B． −2,2 C． −4, − 2 D． 6, − 2 【分析】求出直线��，��的斜率，则可求出直线��斜率和直线��倾斜角，联立方程组求出 C的坐标； 【解】设 C点标为 �, � ，直线 AH斜率��� = 2−2 5+2 = 0，∴�� ⊥ ��，而点 B的横坐标为 6，则� = 6， 直线 BH的斜率��� = 4−2 6−5 = 2，∴直线 AC斜率��� = �−2 6+2 =− 1 2 ，∴�= − 2， ∴点 C的坐标为(6, − 2)．故选：D. 【典例 8-2】(2025 高一上四川达州期末)点�(�, �)在函数� = 2� + 4 的图象上，当� ∈ [2,5]时，2+� �+1 的取值范 围是( ) 第 15 页 共 23 页 A． 7 3 , 8 3 B． 8 3 , 10 3 C． 5 3 , 16 3 D． 5 3 , 8 3 【答案】B【分析】根据点�(�, �)在函数� = 2� + 4 的图象上可求出当� ∈ [2,5]时的两端点坐标，将2+� �+1 看作 函数� = 2� + 4 的图象上的点与点(-1，-2)连线的斜率，即可求得答案. 【解】因为点�(�, �)在函数� = 2� + 4 的图象上， 所以� = 2 时，� = 8 ；当� = 5 时，� = 14； 故设�(2,8), �(5,14) ；而2+� �+1 可看作函数� = 2� + 4 的图象上的点与点� (-1，-2)连线的斜率， 故� ∈ [2,5]时，��� ≤ 2+� �+1 ≤ ���, 而��� = 10 3 , ��� = 8 3 ,所以 8 3 ≤ 2+� �+1 ≤ 10 3 ；故选：B. 【变式 8-1】(2025高二上全国课前预习)如图，四边形����的四个顶点分别为�(0,0)，�(2, − 1)，�(4,2)，�(2,3)， 试判断四边形����的形状，并给出证明. 【分析】通过计算得到��� = ���，��� = ���，从而判断出四边形����的形状. 【解】由已知可得��边所在直线的斜率��� = −1−0 2−0 =− 1 2 ， ��边所在直线的斜率��� = 3−2 2−4 =− 1 2 ， ��边所在直线的斜率��� = 2− −1 4−2 = 3 2 ， ��边所在直线的斜率��� = 3−0 2−0 = 3 2 . 因为��� = ���，��� = ���，所以��//��，��//��；因此四边形����是平行四边形. 【变式 8-2】已知正△ ���的顶点�(1,1)，�(1,3)，顶点�在第一象限，若点�(�, �)是△ ���内部及其边界上 一点，则 � �+1 的最大值为( ) A．1 2 B．3 2 C．2 3 D．3 3−3 2 【答案】B【分析】确定 C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【解】正△ ���的顶点�(1,1)，�(1,3)且顶点�在第一象限，故顶点�的坐标为(1 + 3，2)， � �+1 可看作△ ���内部及其边界上一点与点( − 1,0)的连线斜率， 当�运动到点�(1,3)时，直线的斜率最大，故 � �+1 的最大值为 3 1+1 = 3 2 ；故选：B. 第 16 页 共 23 页 【变式 8-3】2(2024·全国·模拟预测)已知函数� � = � 2 − 3, � ≤ 0 2� − 3, � > 0，若对任意的� ∈ −1,2 , � � + 1 ≥ �� 恒成立，则实数�的取值范围是 ． 【答案】 −3, 2 3 【分析】作出� = � � 在 −1,2 内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可. 【解】由 � � + 1 ≥ ��得 � � ≥ �� − 1，作出� = � � 在 −1,2 内的图象如图所示， 设� −1,2 , � 2,1 , � 3 2 , 0 ， 直线� = �� − 1恒过定点� 0, − 1 ， 直线��的斜率��� = 2+1 −1 =− 3，直线��的斜率��� = 2 3 ， 所以数形结合可知��� ≤ � ≤ ���，即−3 ≤ � ≤ 2 3 , �的取值范围为 −3, 2 3 ．故答案为： −3, 2 3 . 【变式 8-4】(2025 高二上四川成都期中)下列说法正确的是( ) A．“ 1a   ”是“直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直”的必要不充分条件 B．“ 2a   ”是“直线 22 0ax y a   与直线  1 1 0x a y    互相平行”的充要条件 C．直线 sin 2 0x y    的倾斜角的取值范围是 π 3π0, , π 4 4           D．若  1,0A 、  1,2B  ，直线 l过  0, 1P  且与线段 AB相交，则 l的斜率    , 3 1,k       【答案】BCD【分析】利用两直线垂直求出参数 a的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断 A 选项；利 用两直线平行求出参数 a的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断 B 选项；求出直线斜率的取值范围， 利用倾斜角与斜率的关系可判断 C 选项；数形结合求出直线 l斜率的取值范围，可判断 D选项. 【解】对于 A 选项，若直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直， 则 2 0a a  ，解得 1a   或 0a  ， 所以，“ 1a   ”是“直线 2 1 0a x y   与直线 2 0x ay   互相垂直”充分不必要条件，A 错； 对于 B 选项，若直线 22 0ax y a   与直线  1 1 0x a y    互相平行，则  2 1 2a a a a      ，解得 2a   ， 第 17 页 共 23 页 所以，“ 2a   ”是“直线 22 0ax y a   与直线  1 1 0x a y    互相平行”的充要条件，B 对； 对于 C 选项，直线 sin 2 0x y    的斜率为  sin 1,1k     ， 当  1,0k  时， 3π , π 4      ；当  0,1k 时， π0, 4      . 因此，直线 sin 2 0x y    的倾斜角的取值范围是 π 3π0, , π 4 4           ，C 对； 对于 D 选项，如下图所示：设线段 AB交 y轴于点C，直线 l交线段 AB于点M ，  0 1 1 1 0PA k      ，  2 1 3 1 0PB k        ， 当点M 在从点A往点C (不包括点C )运动时，此时，直线 l的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线 l的倾斜角逐项增大，此时，直线 l的斜率为 1ABk k  ； 当点M 从点(不包括点C )C往点 B运动时，此时，直线 l的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线 l的倾斜角逐渐增大，此时，直线 l的斜率为 3ACk k   . 综上所述，直线 l的斜率的取值范围是    , 3 1,k       ，D对.故选：BCD. 1．(2025高二上浙江杭州期末)过点(0,0)和点(0,1)的直线倾斜角为( ) A．45° B．90° C．135° D．0° 【答案】B【分析】根据两点坐标得到直线为� = 0，即可得倾斜角. 【解】由过点(0,0)和点(0,1)的直线为� = 0，即其倾斜角为 90°.故选：B. 2．(2025高二上江苏淮安期末)已知直线 l经过两点� −4,1 ，� 0, − 1 ，则直线 l的斜率是( ) A．2 B．1 2 C．− 1 2 D．－2 【答案】C【分析】利用直线斜率公式直接进行求解即可. 【解】因为直线 l经过两点� −4,1 ，� 0, − 1 ， 所以直线 l的斜率是 −1−1 0− −4 =− 1 2 ，故选：C. 3．已知三点      2, , 1,4 , 3,8A y B C 共线，则 y  ( ) A． 6 B．6 C． 2 D．2 【答案】B【分析】根据三点共线列方程，从而求得 y的值. 第 18 页 共 23 页 【解】由题可得 AB BCk k ，即 4 8 4 1 2 3 1 y     ，解得 6y  ．故选：B 4．(2025高二上天津红桥阶段练习)如图中的直线�1，�2，�3的斜率分别为�1，�2，�3，则( ) A．�1 < �2 < �3 B．�3 < �1 < �2 C．�3 < �2 < �1 D．�1 < �3 < �2 【答案】D【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解】设直线�1, �2,�3的倾斜角为�1,�2,�3，由图可知0∘ < �3 < �2 < 90∘ < �1 < 180∘， 所以 tan�1 < 0,tan�2 > tan�3 > 0，即 0 < �3 < �2，�1 < 0，所以�1 < �3 < �2．故选：D. 5．(2025高二上广东深圳期末)直线�1: � + 1 � + � − 1 = 0, �2: 2� + �� + � − 2 = 0，则 “�1//�2”的充要条件 是( ) A．� = 1 B．� =− 2 C．� = 1 或−2 D．以上均不对 【答案】B【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的�值，再分别代入检验两直线是否重合， 从而确定两直线平行的充要条件. 【解】因为直线�1: � + 1 � + � − 1 = 0, �2: 2� + �� + � − 2 = 0， 当�1//�2时， � + 1 � = 2，解得� = 1 或−2， 当� = 1 时，�1: 2� + � − 1 = 0, �2: 2� + � − 1 = 0，此时两直线重合，舍去， 又� =− 2时，�1: � − � + 1 = 0, �2: � − � − 2 = 0，此时�1//�2， 所以 “�1//�2”的充要条件是“� =− 2”.故选：B. 6．(2025高二上山东东营期末)已知直线�1的斜率为−1，直线�2的倾斜角比直线�1的倾斜角小30∘，则直线�2 的斜率为( ) A．−2 + 3 B．−2 − 3 C．−2+ 3 2 D．−2− 3 2 【答案】B【分析】求出直线�2的倾斜角为105∘，利用两角和的正切即可求解. 【解】因为直线�1的斜率为−1，所以直线�1的倾斜角为135∘， 又直线�2的倾斜角比直线�1的倾斜角小30∘，所以直线�2的倾斜角为105∘， tan105∘ = tan 45∘ + 60∘ = tan45 ∘+tan60∘ 1−tan45∘tan60∘ = 1+ 3 1−1× 3 =− 2 − 3， 故直线�2的斜率为−2 − 3.故选：B. 7．若 π0 2   ，则经过两点  1 0,cosP  ，  2 sin ,0P  的直线的倾斜角为( ) A． B． π 2  C． π  D．  【答案】B【分析】先利用两点的坐标求出直线的斜率，再利用诱导公式验证各选项. 【解】由题意，得该直线的斜率为 0 cos cos sin 0 sin k          ，且 π0 2   ， 第 19 页 共 23 页 且 πsin( )π cos cos2tan( ) π2 sin sincos( ) 2             ，       sin π sin sintan π cos π cos cos               ， sin( ) sin sintan( ) cos( ) cos cos               ，所以该直线的倾斜角为 π 2  .故选：B． 8．(2025高二上福建福州阶段练习)直线 l过 0, − 1 与连接�(2,3), �( − 3,2)的线段相交，则直线 l的斜率 k 的取值范围是( ) A．[ − 1,2] B．( − ∞, − 2] ∪ [1, + ∞) C．[ − 2,1] ∪ (2,3) D． 2, + ∞ ∪ −∞, − 1 【答案】D【分析】数形结合，将问题转化为直线�以直线��为起始位置，绕点 P逆时针旋转到直线��，再 由斜率的定义求解即可； 【解】直线 l过点� 0, − 1 .如图，由题意，直线�与线段��总有公共点， 即直线�以直线��为起始位置，绕点 P逆时针旋转到直线��即可， 直线�的斜率为�，直线��, ��的斜率分别为���, ���，于是� ≤ ���或� ≥ ���， 而��� = 3−(−1) 2−0 = 2, ��� = 2−(−1) −3−0 =− 1，因此� ≤− 1或� ≥ 2， 即 k的取值范围是 2, + ∞ ∪ −∞, − 1 .故选：D. 9.(2025高二上四川广安阶段练习)在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是( ) A．任意一条直线都有倾斜角 B．若一条直线的倾斜角为�，则该直线的斜率为 tan� C．斜率相等的两直线平行 D．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 【答案】BCD【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 若一条直线的倾斜角� = 90∘，则斜率不存在，B错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，C错误； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，D错误；故选:BCD. 10.(23-24 高二上福建福州阶段练习)下列说法正确的是( ) A．直线 3 3 y x  的倾斜角为150 B．若直线 1l 与直线 2l 的斜率相等，则 1 2//l l C． 1l 的斜率为 2， 2l 经过点 (1,2), (4,8)U V ，则 1 2l l D．过点 (5,4)且倾斜角为90的直线方程为 5x  【答案】AD【分析】由斜率与倾斜角的关系可得 A 正确；由两直线斜率关系可得 B 错误；由斜率的定义和 第 20 页 共 23 页 两直线垂直斜率关系可得 C 错误；由斜率与倾斜角关系可得 D 正确； 【解】对于 A，直线 3 3 y x  的斜率 3 3 k   ，该直线的倾斜角为150，故 A 正确； 对于 B，直线 1l 与 2l 斜率相等时， 1 2//l l 或 1l 与 2l 重合，故 B 错误； 对于 C， 2l 的斜率为 8 2 2 4 1 k    ，由 2 2 1   ，所以 1 2l l 不成立，故 C 错误； 对于 D，过点 (5,4)且倾斜角为 90°的直线方程为 5x  ，故 D正确. 故选：AD. 11.(2025 高二上辽宁大连阶段练习)已知：直线 1 : cos sin 1l x y   ，直线 2 : cos sin 1l x y   ，直线 3 : sin cos 1l x y   ，直线 4 : sin cos 1l x y   ，则下列正确的是( ) A．对任意的 2 3, l l  R 恒成立 B．对任意的 1 4, l l R ∥ 恒成立 C．存在 R，使得 1 3l l 成立 D．存在 R，使得 2 4l l∥ 成立 【答案】ACD【分析】利用 1 2 1 2 0A A B B  来判断否垂直来研究 A，C 选项；利用 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 AB A B BC B C      来判断平行 问题，来研究 B，D． 【解】对于 A．直线 2 : cos sin 1l x y   ，直线 3 : sin cos 1l x y   ， 又  cos sin sin cos 0      ， R，故 2 3l l 恒成立，选项正确，符合题意； 对于 B． 1 : cos sin 1l x y   ， 4 : sin cos 1l x y   ， 又  cos cos sin sin 1 0        ，故 1 4, l l R  不成立，选项错误，不符合题意； 对于 C． 1 : cos sin 1l x y   ， 3 : sin cos 1l x y   ， 又当 π 2   时， cos sin sin cos 0     ，故 1 3l l 成立，选项正确，符合题意； 对于 D． 2 : cos sin 1l x y   ， 4 : sin cos 1l x y   ， 又当 3π 4   时，     2 2cos cos sin sin sin cos 0           ， 且      1 sin cos 1 2 0          ，使得 2 4l l∥ 成立，选项正确，符合题意；故选：ACD． 12．(2025高二上贵州黔南·期中)已知两点� �,2 ，� 2,4 所在直线的斜率为 1，则� = . 【答案】0【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【解】因为两点� �,2 ，� 2,4 所在直线的斜率为 1， 所以��� = 4−2 2−� = 1，解得� = 0.故答案为：0. 13．已知四边形MNPQ的顶点        1,1 , 3, 1 , 4,0 , 2,2M N P Q ，则四边形MNPQ的形状为 . 【答案】矩形【分析】求出直线 , , ,MN PQ MQ NP斜率，根据斜率判断位置关系，即可得出结论. 【解】  1 1 2 01, 1 1 3 2 4MN PQ k k             ，且 P不在直线MN上， / /MN PQ . 第 21 页 共 23 页 又  0 12 1 1, 1 2 1 4 3MQ NP k k          ，且 N不在直线上， / /MQ NP ，四边形MNPQ为平行四边形. 又 1,MN MQk k MN MQ     .平行四边形MNPQ为矩形.故答案为：矩形. 14．(2025高二上山东阶段练习)已知点� −1,0 , � 0,2 ，过� − 3 2 , 1 2 的直线�与线段��有交点，则直线�的斜 率的取值范围是 . 【答案】 −1,1 【分析】根据斜率公式即可得��� ≤ �� ≤ ���，进而可求解. 【解】直线��的斜率为��� = 2−12 0+32 = 1，直线��的斜率为��� = 0−12 −1+32 =− 1， 故直线�与线段��有交点，则��� ≤ �� ≤ ���,即−1 ≤ �� ≤ 1，故答案为： −1,1 . 15.(23-24 高二上全国·课后作业)已知直线 l经过两点    1, , ,1A m B m ，问：当m取何值时： (1)直线 l与 x轴平行?(2)直线 l的方向向量的坐标为  3,1 ．(3)直线的倾斜角为 45? 【分析】利用斜率公式及直线的方向向量的概念求解． 【解】(1)若直线 l与 x轴平行，则直线 l的斜率 0k  ，所以 1m  ． (2)直线 l的方向向量的坐标为  3,1 ，故 1 3 k  ，即 1 1 1 3 m m    ，解得 1 2 m  ． (3)由题意可知，直线 l的斜率 tan 45 1k    ，即 1 1 1 m m    ，解得 0m  ． 16.已知  1,2A ，  5,0B ，  3,4C . (1)若A， B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标； (2)在(1)的条件下，判断A， B，C，D构成的平行四边形是否为菱形. 【分析】(1)分四边形 ABCD、ABDC、ACBD是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解， 即可；(2)分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为 1 ，即可. 【解】(1)由题意得 0 2 1 5 1 2AB k     ， 4 2 1 3 1AC k    ， 4 0 2 3 5BC k     ，设  ,D a b . 若四边形 ABCD是平行四边形，则 CD ABk k ， AD BCk k ，即 4 1 3 2 2 2 1 b a b a           ，解得 1 6 a b     ，即  1,6D  . 若四边形 ABDC是平行四边形，则 CD ABk k ， BD ACk k ，即 4 1 2 2 0 1 5 b a b a          ，解得 7 2 a b    ，即  7, 2D . 第 22 页 共 23 页 若四边形 ACBD是平行四边形，则 CD ABk k ， BD ACk k ，即 0 1 5 2 2 1 b a b a          ，解得 3 2 a b     ，即  3, 2D  . 综上，点D的坐标为(-1，6)或(7，2)或(3，-2). (2)若D的坐标为(-1，6)， 因为 1ACk  ， 6 0 1 1 5BD k      ，所以 1AC BDk k   ，所以 AC BD ， 所以平行四边形 ABCD为菱形. 若D的坐标为(7，2)，因为 2BCk   ， 2 2 0 7 1AD k    ， 所以 0 1BC ADk k    ，所以平行四边形 ABDC 不是菱形. 若D的坐标为(3，-2)，因为 1 2AB k   ，直线CD的斜率不存在，所以平行四边形 ACBD不是菱形. 因此，平行四边形 ABCD为菱形,平行四边形 ABDC , ACBD不是菱形. 17.(2025高二上浙江期中)已知� 2,3 ，� −4,1 ，� 0, − 3 ． (1)求直线 AB和 AC的斜率；(2)若点 D在线段 BC(包括端点)上移动时，求直线 AD的斜率的变化范围． 【分析】(1)由斜率公式直接求解；(2)由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解】(1)由斜率公式可得直线 AB的斜率��� = 1−3 −4−2 = 1 3 ， 直线 AC的斜率��� = 3− −3 2−0 = 3， 故直线 AB的斜率为1 3 ，直线 AC的斜率为 3． (2)当 D由 B运动到 C时，直线 AD的倾斜角增大且为锐角， 直线 AD的斜率由���增大到���， 所以直线 AD的斜率的变化范围是 1 3 , 3 . 18.(2025高二上陕西安康阶段练习)直线�过点� 2,2 ，且与以� −1, − 1 和� 3,2 − 3 为端点的线段相交. (1)求直线�的斜率 k的取值范围；(2)求直线�的倾斜角�的取值范围. 【分析】(1)在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析�，�，�三点之间的关系，不难给出直线�的斜率� 的取值范围；(2)根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线�的倾斜角�的取值范围． 【解】(1)在平面直角坐标系中画出图象如图：��� = −1−2 −1−2 = 1, ��� = 2− 3−2 3−2 =− 3， 第 23 页 共 23 页 直线�过点� 2,2 ，且与以� −1, − 1 和� 3,2 − 3 为端点的线段相交. 所以直线�的斜率�的取值范围� ∈ −∞, − 3 ∪ 1, + ∞ . (2)由(1)可知，� ∈ −∞, − 3 ∪ 1, + ∞ ， 直线��的倾斜角为π 4 ，直线��的倾斜角为2π 3 ， 由此可得此时直线�的倾斜角�的取值范围 π 4 , π 2 ∪ π 2 , 2π 3 ， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线�的倾斜角� = π 2 ， 综上，直线�的倾斜角�的取值范围 π 4 , 2π 3 . 19.(2025高二上四川巴中阶段练习)已知坐标平面内三点� −1,1 ，� 1,1 ，� 2, 3 + 1 . (1)求直线 AC的倾斜角；(2)若 D为△ ���的 AB边上一动点，求直线 CD的倾斜角的取值范围. 【分析】(1)由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 (2)数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解】(1)由� −1,1 ，� 2, 3 + 1 得��� = 3+1−1 2− −1 = 3 3 ， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是 0,π ，所以直线 AC的倾斜角为π 6 . (2)如图，当直线 CD绕点 C由 CA逆时针转到 CB时，直线 CD与线段 AB恒有交点，即 D在线段 AB上， 此时���由���增大到���，又��� = 3 3 ，��� = 3+1−1 2−1 = 3， 所以���的取值范围为 3 3 , 3 ， 即直线 CD的倾斜角的取值范围为 π 6 , π 3