1.4 数学归纳法(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“数学归纳法”核心知识点，通过“姓氏递推”实例引入，系统梳理归纳法原理（验证初始值n=n0成立、假设n=k成立推证n=k+1成立），搭建从具体情境到抽象方法的学习支架，衔接等式、不等式证明及“归纳—猜想—证明”等应用题型。 资料以生活实例激发兴趣，通过“观察—抽象—推理”培养数学抽象与逻辑推理素养，涵盖多种证明题型并配例题、跟进训练及分层作业，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

*1.4　数学归纳法 学习任务 核心素养 1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．通过数学归纳法的应用，培养逻辑推理的核心素养． 我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？ 为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第(n＋1)代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了． 思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？ 知识点　数学归纳法 1．归纳法 由特殊到一般的推理方法，叫作归纳法． 2．数学归纳法 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： (1)证明n＝n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的正整数n，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? [提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可． (　　) (2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N＋)，第一步验证n＝3． (　　) (3)设Sk＝＋…＋，则Sk＋1＝＋…＋． (　　) [提示]　(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝＋…＋． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 类型1　用数学归纳法证明等式 【例1】　【链接教材P41例2】 (1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________． (2)用数学归纳法证明： ＋…＋＝(n∈N＋)． (1)2(2k＋1)　[令f (n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则 f (k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)， f (k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．] (2)[证明]　 ①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有 ＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋…＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 【教材原题·P41例2】 例2　用数学归纳法证明： 12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N＋)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立． (2)假设当n＝k时，等式成立，即 12＋22＋32＋…＋k2＝， 那么，当n＝k＋1时， 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝＋(k＋1)2 ＝ ＝ ＝． 这表明，当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)和(2)可以断定，等式对任何正整数n都成立． 　用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． [跟进训练] 1．用数学归纳法证明等式＝(－1)n-1． [证明]　①当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2 ＝(－1)k-1， 那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k-1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·＝(－1)k·， 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由①②知，对任意n∈N＋，都有＝(－1)n-1． 类型2　归纳—猜想—证明 【例2】　已知数列，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． [解]　S1＝ ＝ ； S2＝ ＋ ＝ ； S3＝ ＋ ＝ ； S4＝ ＋ ＝ ． 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1． 于是可以猜想Sn＝ ． 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，左边＝S1＝， 右边＝ ＝ ＝， 猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，即 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋… ＋＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝， 所以，当n＝k＋1时猜想也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N＋都成立． 　1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． [跟进训练] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明． [解]　当n＝2时， S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5； 当n＝3时， S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7； 当n＝4时， S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9． 猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明： 当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立； 假设当n＝k(k∈N＋)时，猜想成立， 即ak＝2k＋1，Sk＝＝k2＋2k， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1， ∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1， ∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk， ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1， 所以猜想成立． 综上所述，对于任意n∈N＋，an＝2n＋1均成立． 类型3　用数学归纳法证明不等式 【例3】　用数学归纳法证明1＋1＋＋…＋＋n(n∈N＋)． 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． [证明]　(1)当n＝1时， 1＋，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 即1＋ 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ． 又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立． 　1．用数学归纳法证不等式的关键点 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论． 2．常用的几点放缩技巧 (1)＜n＜； (2)＜＜(n∈N＋，n＞1)； (3)＞＝2()； (4)＜＝2()(k∈N＋，k＞1)． [跟进训练] 3．(源自人教B版教材)求证：当n是大于或等于5的正整数时，2n>n2． [证明]　(ⅰ)当n＝5时，25＝32，52＝25，显然25>52，所以此时命题成立． (ⅱ)假设n＝k(其中k≥5)时命题成立，即2k>k2． 因为k≥5，所以k2≥5k>2k＋1，因此 2k+1＝2×2k>2×k2≥k2＋5k>k2＋2k＋1＝(k＋1)2． 可知不等式当n＝k＋1时也成立． 综上可知，不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立． 1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为(　　) A．n∈N＋　　　　　　　 B．n∈N＋，n≥2 C．n∈N＋，n≥3 D．n∈N＋，n≥4 D　[当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立， 当n＝4时，64>61不等式成立， 故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为n≥4，n∈N＋，故选D．] 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确．] 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(　　) A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1) C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4) C　[当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C．] 4．用数学归纳法证明＋…＋＞．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． ＋…＋＞　[从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为，即不等式为＋…＋＞．] 5．用数学归纳法证明f (n)＝＋…＋的过程中，f (k＋1)－f (k)＝________． 　[依题意f (k)＝＋…＋，f (k＋1)＝＋…＋，所以f (k＋1)－f (k)＝．故答案为．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？ [提示]　“三个成立”是指：①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立． “一个结”就是结论：断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． (2)你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？ [提示]　①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； ②递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障； ③利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明． (3)与自然数n有关的命题都必须用数学归纳法证明吗？数学归纳法一般用来证明哪几种类型？ [提示]　数学归纳法证明的命题都是与自然数n有关的命题，但与自然数n有关的命题不一定都用数学归纳法来证明． 数学归纳证明的命题类型一般有：等式问题、不等式问题、整除问题，几何命题和“归纳—猜想—证明”等类型． 课时分层作业(十一)　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2　　　　　　 B．1＋<2 C．1＋<3 D．1＋<3 B　[因为n∈N＋，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2．故选B．] 2．用数学归纳法证明1－＋…＋＝＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A． B．－ C． D． C　[因为当n＝k时，左端＝1－＋…＋，当n＝k＋1时，左端＝1－＋…＋．所以，左端应在n＝k的基础上加上．] 3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 B　[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．] 4．利用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项　　 B．k项　 　C．2k-1项　　 D．2k项 D　[用数学归纳法证明不等式1＋＋…＋<n(n≥2，n∈N＋)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋…＋， 则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋＋…＋， ∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋…＋， 共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．] 5．对于不等式<n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1 ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D．] 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________． n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为：n＝k＋2时等式成立．] 7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开的式子是________． (k＋3)3　[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3． 为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可． 故答案为(k＋3)3．] 8．已知f (n)＝1＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f (2n)>时，f (2k+1)－f (2k)＝________． ＋…＋　[因为假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时， f (2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋， 所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋…＋＋…＋－(1＋＋…＋) ＝＋…＋．] 三、解答题 9．(1)(教材P43习题1.4T3改编)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)； (2)用数学归纳法证明：1＋＋…＋<2(n∈N＋)． [证明]　(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边． ②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝， 那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝， 即当n＝k＋1时，等式成立． 综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)． (2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋…＋<2， 那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋<2， 因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2 <2k＋1， 所以2＝＝<＝2． 故当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上，由①②可知1＋＋…＋<2． 10．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　) A．当n＝6时，该命题不成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝4时，该命题成立 C　[若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立． 它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．] 11．记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k＋1边形的内角和f (k＋1)＝f (k)＋________． π　[由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k＋1)＝f (k)＋π．] 12．(源自苏教版教材)设n∈N*，f (n)＝5n＋2×3n-1＋1． (1)当n＝1，2，3，4时，计算f (n)的值． (2)你对f (n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． [解]　(1)当n＝1时， f (1)＝51＋2×31-1＋1＝8＝8×1； 当n＝2时， f (2)＝52＋2×32-1＋1＝32＝8×4； 当n＝3时， f (3)＝53＋2×33-1＋1＝144＝8×18； 当n＝4时， f (4)＝54＋2×34-1＋1＝680＝8×85． (2)猜想：当n∈N*时，f (n)＝5n＋2×3n-1＋1能被8整除． ①当n＝1时，有 f (1)＝51＋2×31-1＋1＝8， 能被8整除，命题成立． ②假设当n＝k时命题成立，即f (k)能被8整除，那么，当n＝k＋1时，有 f (k＋1)＝5k+1＋2×3(k+1)-1＋1＝5×5k＋6×3k-1＋1 ＝(5k＋2×3k-1＋1)＋4(5k＋3k-1)＝f (k)＋4(5k＋3k-1)． 这里，5k和3k-1均为奇数，它们的和(5k＋3k-1)必为偶数，从而4(5k＋3k-1)能被8整除．又依归纳假设，f (k)能被8整除，所以f (k＋1)能被8整除．这就是说，当n＝k＋1时命题也成立． 根据①和②可知，对任何n∈N*，命题总成立． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $