课时分层作业15 直线的一般式方程 直线的方向向量与法向量(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(十五)　直线的一般式方程　直线的方向向量与法向量 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分 一、选择题 1．直线方程2x－y＋m＝0的一个方向向量d可以是(　　) A．(2，－1)　　　　　　　 B．(2，1) C．(－1，2) D．(1，2) 2．若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A． B． C． D． 3．过点且方向向量为的直线的方程为(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x＋y－5＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y＋3＝0 4．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为(　　) A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0 C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0 5．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)经过第二、三、四象限，则A，B，C需满足条件(　　) A．C＝0，AB<0 B．AC<0，BC<0 C．A，B，C同号 D．A＝0，BC<0 二、填空题 6．已知直线l与过点A(7，4)，B(－5，6)的直线垂直，且过M，则直线l的一般式方程为________． 7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的一般式方程为_________________． 8．若直线y＝2x与直线(a2－a)x－y＋a＋1＝0平行，则a＝________． 三、解答题 9．(源自北师大版教材)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(－2，1)，C(0，－1)，求BC边上的高所在直线的方程． 10．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示． (1)求直线AB的方程； (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 11．直线(a2＋1)x＋y＋4＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 12．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 13．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3，5)，则直线l的一般式方程为________． 14．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|．若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________． 15．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十五) 1．D　[依题意，为直线的一个法向量，∴方向向量为，故选D．] 2．A　[因为A，B，所以＝． 因为＝，所以是直线l的一个方向向量．] 3．C　[因为所求直线的方向向量为，所以该直线的斜率为k＝－2， 又该直线过点，因此所求直线方程为y－＝－2，即2x＋y－3＝0．] 4．A　[法一：由题意得 所以所以直线方程为－5x＋y＋＝0，即15x－3y－7＝0． 法二：由A－2B＋3C＝0得A－B＋C＝0， 则直线Ax＋By＋C＝0过点， 其方程为y＋＝5，即15x－3y－7＝0． 故选A．] 5．C　[由题可知B≠0，由Ax＋By＋C＝0， 得y＝－x－． ∵直线Ax＋By＋C＝0经过第二、三、四象限， ∴ ∴A，B，C同号．故选C．] 6．6x－y－1＝0　[因为直线l与过点A(7，4)，B(－5，6)的直线垂直，所以直线的法向量为n＝＝，设直线l的一般式方程为－12x＋2y＋C＝0， 因为过点M，所以0－2＋C＝0，解得C＝2， 所以直线l的一般式方程为6x－y－1＝0．] 7．x－3y＋24＝0　[由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4．根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0．] 8．2　[方程(a2－a)x－y＋a＋1＝0可化为y＝(a2－a)x＋a＋1， 由题意知 解得a＝2．] 9．解：　由已知，可得＝(－2，2)． 因为＝(－2，2)就是BC边上的高所在直线的法向量，又所求直线经过点A(1，2)， 所以所求直线的方程为 －2(x－1)＋2(y－2)＝0，即x－y＋1＝0． 10．解：　(1)由题图可知A(60，6)，B(80，10)， 则直线AB的两点式方程为＝， 即x－5y－30＝0． (2)依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克的行李． 11．D　[直线的斜截式方程为y＝－(a2＋1)x－4，所以斜率k＝－(a2＋1)，即tan α＝－(a2＋1)，所以tan α－1，解得<α，即倾斜角的取值范围是．] 12．A　[因为点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点 P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．] 13．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0　[因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tan α＝±，又因为直线l经过点P(3，5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0．] 14．－　x＋y－5＝0　[由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补， 故kPB＝－kPA＝－； 因为直线PA的方程为x－y＋1＝0， ∴kPB＝－1，由x＝2时，y＝3， 即直线PB过(2，3)， 故直线PB的方程为y－3＝－(x－2)， 即x＋y－5＝0．] 15．解：　设AB，AC边上的中线分别为CD， BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x，1)． 又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为． 又∵点D在中线x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴B点坐标为(5，1)． 同理可求出C点的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $