1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 学习任务 核心素养 1．掌握an与Sn的关系并会应用．(难点) 2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 3．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养． 2．借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养． 1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时) Sn＝n2＋n． 反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？ 2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？ 知识点1　等差数列前n项和“片段和”的性质 等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…，构成等差数列． 1．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________． 15　[由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，也就是4，5，S6－9成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15．] 知识点2　等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝． (2)若等差数列{an}的项数为2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝． (3)若等差数列{an}的项数为2n－1，则 S偶＝(n－1)an，S奇＝nan， S奇－S偶＝an，＝． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列． (　　) (2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…，成等差数列． (　　) (3)若等差数列的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 3．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9　　　　B．10　　　　C．11　　　　D．12 B　[∵＝，∴＝．∴n＝10．故选B．] 类型1　利用Sn与an的关系判断等差数列 【例1】　【链接教材P20例9】 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列． [解]　Sn＝2n2＋3n， 则当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1． 又a1＝5适合an＝4n＋1， ∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋)． 当n≥2时，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4， 故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列． [母题探究] (变条件)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． [解]　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n．又a1＝1不满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式是an＝ 当n≥2时，an－an－1＝2n－2(n－1)＝2． ∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列． 【教材原题·P20例9】 例9　设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，求证：{an}是等差数列． [证明]　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an 与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2) 可知，当n≥2时，有 an＝Sn－Sn－1 ＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)] ＝2n＋1． 当n＝1时，a1＝S1＝3，也满足上式． 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1(n∈N＋)． 当n≥2时，有 an－an－1＝2n＋1－[2(n－1)＋1]＝2， 所以数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列． 　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． [跟进训练] 1．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． [解]　当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5．经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5．数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列． 类型2　“片段和”性质 【例2】　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110． (1)可直接用等差数列的前n项和公式求解． (2)能否用等差数列前n项和的性质求解呢？ [解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则 解得 ∴S110＝110a1＋d ＝110× ＝－110． 法二：∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90， ∴a11＋a100＝－2． 又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝＝－110． 法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列， ∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22． ∴前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110． 法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d， 则＝a1＋(n－1)． ∴数列是等差数列，其公差为． ∴＝(100－10)×， 且＝(110－100)×． 代入已知数值，消去d，可得S110＝－110． 法五：令Sn＝An2＋Bn． 由S10＝100，S100＝10， ∴解得 ∴S110＝1102A＋110B＝1102×＋110×＝－110． 　方法一属于通性通法；方法二运用Sn和an之间的关系；方法三运用前n项和“片段和”的性质；方法四运用性质“也是等差数列”；方法五运用前n项和可用Sn＝An2＋Bn表示的特点．这五种解法从不同角度应用了等差数列的性质，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决． [跟进训练] 2．已知{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99．求a10＋a11＋a12的和． [解]　在等差数列{an}中，{an＋an＋1＋an＋2}也成等差数列，设公差为D， ∵a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99． ∴D＝99－105＝－6． ∴a10＋a11＋a12＝105＋(10－1)×(－6)＝51． 类型3　比值问题 【例3】　(1)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________． (2)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝________． 寻找等差数列前n项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转化． (1)　(2)　[(1)法一：＝＝＝＝＝＝． 法二：设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t， 故＝＝． (2)法一：＝＝＝＝． 法二：设an＝(n＋2)t，bn＝(2n＋1)t， 则＝＝＝．] [母题探究] 1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求． [解]　设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt． 则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t， b7＝T7－T6＝70t－54t＝16t． ∴＝＝． 2．(变结论)在本例(2)条件不变的情况下，求． [解]　设an＝(n＋2)t，bn＝(2n＋1)t． ∴＝＝＝． 　等差数列前n项和计算的两种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． [跟进训练] 3．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________． 5　[法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d， 则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5． 法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y， 则解得 ∴6d＝192－162＝30，∴d＝5． 法三：由题意知 由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得 (177－3d)·32＝(177＋3d)·27， 解得d＝5．] 类型4　裂项相消法求和 【例4】　设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 利用Sn与an的关系求an．然后通过分析的特点求和． [解]　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)． 又由题设可得a1＝2＝， 从而{an}的通项公式为an＝． (2)记的前n项和为Sn． 由(1)知＝＝． 则Sn＝＋…＋＝． 　裂项相消法求和的步骤 (1)方法解读 裂项相消法就是将数列的通项拆成两项的差，然后通过累加抵消掉中间的许多项的求和方法．此种方法适用于通项可以分裂成两式之差(尤其是分母为等差数列中的两项之积)等类型的数列求和问题． (2)方法步骤 第一步：求出数列的通项公式； 第二步：根据通项公式的特征准确裂项，表示为两项之差的形式； 第三步：把握消项的规律，准确求和． [跟进训练] 4．在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋…＋． [解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2， ∴前n项和Sn＝na1＋d ＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N＋)， ∴＝＝＝， ∴＋…＋ ＝ ＝ ＝． 1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn＝20，S2n＝80，则S3n＝(　　) A．130　　　B．180　　　C．210　　　D．260 B　[在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即20，60，S3n－80成等差数列．∴20＋(S3n－80)＝2×60． ∴S3n＝180．故选B．] 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D． A　[∵＝，∴＝＝＝＝1．故选A．] 3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　[由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0， 则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝． 故选B．] 4．数列的前100项的和为________． 　[∵＝．∴S100＝1－＋…＋＝1－＝．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)你是如何理解等差数列前n项和的公式的函数特征？ [提示]　公式Sn＝na1＋d具备二次函数的特点(d≠0)，当d＞0时，Sn存在最小值，而当d＜0时，Sn存在最大值． (2)等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？ [提示]　推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． (3)在什么情况下使用裂项相消法求和？主要的裂项方式有哪些？ [提示]　若{an}为等差数列，则满足特点的数列可用裂项相消法求和．形式为＝． 常见的裂项公式有： ＝＝＝． 课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用 一、选择题 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2　 　　B．－1　 　　C．0　 　　D．1 B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．] 2．已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列前8项和为(　　) A．36 B．24 C．16 D．12 D　[由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6， 所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12．故选D．] 3．(教材P21练习T2改编)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝20，S20＝15，则S30＝(　　) A．10 B．20 C．－30 D．－15 D　[由等差数列{an}的前n项和的性质可得：S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， ∴2×(15－20)＝20＋S30－15，解得S30＝－15．故选D．] 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16＝(　　) A．120 B．60 C．160 D．80 A　[因为等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27， 所以S9＝9a5＝54，3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝＝＝120．故选A．] 5．已知Sn＝An2＋Bn＋C，下列选项中能使{an}为以2作公差的等差数列的是(　　) A．A＝1，B＝2，C＝3 B．A＝1，B＝2，C＝0 C．A＝－1，B＝2，C＝0 D．A＝－1，B＝2，C＝1 B　[C＝0，公差为2A＝2，故A＝1，故选B．] 二、填空题 6．数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}的公差d＝________． －2　[当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2， 经检验，n＝1时，a1＝0也适合上式． 故an＝－2n＋2(n∈N*)， ∴d＝－2．] 7．在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 023的值为________． 2 023　[由等差数列的性质可知，为等差数列，设公差为d， ∵a1＝－2 021，∴＝－2 021，∵＝2d＝2， ∴d＝1，∴＝－2 021＋2 022×1＝1，则S2 023＝2 023．] 8．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N＋)，则a2 025的值为________． 1　[因为an＋1＝an＋(n∈N＋)， 所以an＋1－an＝＝， a2－a1＝1－， a3－a2＝， … a2 025－a2 024＝， 各式相加，可得a2 025－a1＝1－，a2 025－＝1－， 所以a2 025＝1．] 三、解答题 9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值． [解]　法一：＝＝＝＝＝＝＝． 法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列， ∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n． 又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)， Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R． ∴an＝Sn－Sn－1 ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1) ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1) ＝t(4n－1)(n≥2)， bn＝Tn－Tn－1 ＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5) ＝t(6n－5)(n≥2)． ∴＝＝(n≥2)， ∴＝＝＝． 10．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． [解]　(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以当n≥2时，Sn＝， 代入＝2可得，＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)． 又＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可知，bn＝，则＝2， 所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ ＝－，当n＝1时，不满足此式． 故an＝ 11．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N＋且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为(　　) A．S13＝0 B．a7＝0 C．{an}为递增数列 D．a13＝0 AB　[对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故B正确．对A，S13＝＝13a7＝0．故A正确． 对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误． 对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6．故D错误． 故AB正确．] 12．(多选题)已知等差数列的公差d≠0，前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的有(　　) A．a1∶d＝－17∶2 B．S18＝0 C．当d＞0时，a6＋a14＞0 D．当d＜0时，|a6|＞|a14| ABC　[因为{an}是等差数列，前n项和为Sn，由S6＝S12得S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0， 即3(a9＋a10)＝0，即a9＋a10＝0． 对于选项A：由a9＋a10＝0得2a1＋17d＝0，可得a1∶d＝－17∶2，故选项A正确；对于选项B：S18＝＝＝0，故选项B正确； 对于选项C：a6＋a14＝a9＋a11＝a9＋a10＋d＝d，若d＞0，则a6＋a14＝d＞0，故选项C正确；对于选项D：当d＜0时，a6＋a14＝d＜0，则a6＜－a14，因为d＜0，所以a6＞0，a14＜0，所以|a6|＜|a14|，故选项D不正确，故选ABC．] 13．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是______，项数是________． 11　7　[设等差数列{an}的项数为2n＋1， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1， 所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7， S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．] 14．若数列{an}满足a1＝0，a2＝1，a3＝3，且{an＋1－an}为等差数列，则an＝________． 　[设等差数列{an＋1－an}的公差为d，由题意得，a2－a1＝1，a3－a2＝2， ∴公差d＝2－1＝1， ∴an－an－1＝1＋(n－2)×1＝n－1(n≥2，n∈N＋)， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＝＝，n≥2，n∈N＋． 经检验，此式对a1也适用， ∴an＝(n∈N＋)．] 15．已知数列{an}满足a1＝3，且对任意正整数m，n，均有am＋n＝am＋an＋2mn． (1)求数列{an}的通项公式； (2)如果实数c使得＜c对所有正整数k都成立，求c的取值范围． [解]　(1)在am＋n＝am＋an＋2mn中，令m＝1，可得an＋1＝an＋a1＋2n＝an＋2n＋3，即an＋1－an＝2n＋3． 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝[2(n－1)＋3]＋[2(n－2)＋3]＋…＋(2×1＋3)＋3 ＝n(n＋2)， 所以数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)(n∈N＋)． (2)由(1)可得＝＝， 所以＝ ＝ ＝ ＝＜， 故c的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $