课时分层作业11 数学归纳法(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(十一)　数学归纳法 说明：单选选择题每题五分，填空题每题5分，本试卷共78分 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2　　　　　　 B．1＋<2 C．1＋<3 D．1＋<3 2．用数学归纳法证明1－＋…＋＝＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A． B．－ C． D． 3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 4．利用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项　　 B．k项　 　C．2k-1项　　 D．2k项 5．对于不等式<n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1 ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________． 7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开的式子是________． 8．已知f (n)＝1＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f (2n)>时，f (2k+1)－f (2k)＝________． 三、解答题 9．(1)(教材P43习题1.4T3改编)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)； (2)用数学归纳法证明：1＋＋…＋<2(n∈N＋)． 10．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　) A．当n＝6时，该命题不成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝4时，该命题成立 11．记凸k边形的内角和为f (k)，则凸k＋1边形的内角和f (k＋1)＝f (k)＋________． 12．(源自苏教版教材)设n∈N*，f (n)＝5n＋2×3n-1＋1． (1)当n＝1，2，3，4时，计算f (n)的值． (2)你对f (n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十一) 1．B　[因为n∈N＋，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2．故选B．] 2．C　[因为当n＝k时，左端＝1－＋…＋，当n＝k＋1时，左端＝1－＋…＋．所以，左端应在n＝k的基础上加上．] 3．B　[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．] 4．D　[用数学归纳法证明不等式1＋＋…＋<n(n≥2，n∈N＋)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋…＋， 则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋＋…＋， ∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋…＋， 共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．] 5．D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D．] 二、填空题 6．n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为：n＝k＋2时等式成立．] 7．(k＋3)3　[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3． 为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可． 故答案为(k＋3)3．] 8．＋…＋　[因为假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时， f (2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋， 所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋…＋＋…＋－(1＋＋…＋) ＝＋…＋．] 9．证明：　(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边． ②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝， 那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝， 即当n＝k＋1时，等式成立． 综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)． (2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋…＋<2， 那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋<2， 因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2 <2k＋1， 所以2＝＝<＝2． 故当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上，由①②可知1＋＋…＋<2． 10．C　[若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立． 它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．] 11．π　[由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f (k＋1)＝f (k)＋π．] 12．解：　(1)当n＝1时， f (1)＝51＋2×31-1＋1＝8＝8×1； 当n＝2时， f (2)＝52＋2×32-1＋1＝32＝8×4； 当n＝3时， f (3)＝53＋2×33-1＋1＝144＝8×18； 当n＝4时， f (4)＝54＋2×34-1＋1＝680＝8×85． (2)猜想：当n∈N*时，f (n)＝5n＋2×3n-1＋1能被8整除． ①当n＝1时，有 f (1)＝51＋2×31-1＋1＝8， 能被8整除，命题成立． ②假设当n＝k时命题成立，即f (k)能被8整除，那么，当n＝k＋1时，有 f (k＋1)＝5k+1＋2×3(k+1)-1＋1＝5×5k＋6×3k-1＋1 ＝(5k＋2×3k-1＋1)＋4(5k＋3k-1)＝f (k)＋4(5k＋3k-1)． 这里，5k和3k-1均为奇数，它们的和(5k＋3k-1)必为偶数，从而4(5k＋3k-1)能被8整除．又依归纳假设，f (k)能被8整除，所以f (k＋1)能被8整除．这就是说，当n＝k＋1时命题也成立． 根据①和②可知，对任何n∈N*，命题总成立． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $